安徽省中考數(shù)學一輪復習 第二部分 熱點專題突破 專題3 題中無圓用圓解題課件

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1、專題三題中無圓,用圓解題命題者說典例精析針對訓練解答一道數(shù)學題,往往有好多種方法,其中有簡單明了的,也有轉彎抹角的.如果我們能將所學的數(shù)學知識融會貫通,就能在短時間里打開思路,找到較為簡潔的方法,這一點在時間寶貴的考試中尤為重要.比如一道數(shù)學題,試題表面沒有涉及圓的知識,但如果我們能想到用圓的知識解答,往往就會柳暗花明,事半功倍,這就是我們說的“用圓求解,另辟蹊徑”.有關這類試題,2016年和2018年安徽數(shù)學中考體現(xiàn)最為集中,如2016年的第10題、第14題、第23題,2018年的第14題、第23題等.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3利用直角三角形外接圓解題典例1( 2016安徽第

2、10題 )如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC內部的一個動點,且滿足PAB=PBC.則線段CP長的最小值為 ( )命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3【解析】由PAB=PBC,易得APB=90,即P點在ABP的外接圓上.ABP外接圓的圓心O為AB的中點,如圖,連接OC,OC與ABP的外接圓在ABC內部交于點P,這時線段CP長最小.在RtOBC中,OB=3,BC=4,由勾股定理得OC=5,又OP=3,CP=2.【答案】 B命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3【名師點撥】 本題給我們的啟發(fā)是:已知條件中有直角三角形,我們可以想到以這個直角三角形的斜邊為直徑畫出它

3、的外接圓,這個外接圓就成了“輔助線”,然后就可以用圓的有關知識解題,這樣可以起到事半功倍之奇效.這個方法還可在解答其他幾何問題中推而廣之.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3命題拓展命題拓展考向考向作一般三角形的外接圓解題作一般三角形的外接圓解題1.如圖,在ABC中,AD平分BAC,交BC于點D,求證: .命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3【名師點撥】 本題也可用相似三角形知識解答( 見本書相似三角形一節(jié) ),這里不再贅述.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3利用四邊形外接圓解題典例2( 2018安徽第23題節(jié)選 )如圖,RtABC中,ACB=90,點D為邊AC上一點,DE

4、AB于點E,點M為BD中點,CM的延長線交AB于點F.( 1 )求證:CM=EM;( 2 )若BAC=50,求EMF的大小.【解析】( 1 )利用四邊形BCDE外接圓證明CM=EM;( 2 )根據(jù)圓周角定理求得CME=80,從而求出EMF.【答案】 ( 1 )易得BED和BCD均為直角三角形,則這兩個三角形有公共的外接圓,即四邊形BCDE有一個外接圓,且直徑為BD,M為圓心,CM=EM.( 2 )BAC=50,ACB=90,ABC=40,由( 1 )得ABC為圓周角,CME為圓心角,且ABC與CME對同弧,CME=80,即EMF=100.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3【名師點撥】

5、本題在本書專題二用“數(shù)”解“形”的典例3中已經(jīng)用另一種方法解答.兩個方法比較后發(fā)現(xiàn):此題不用圓的知識也可以解答,但想到了圓的知識,就可以另辟蹊徑.通過本節(jié)課的學習希望同學們能形成“題中無圓,可用圓求解”的意識.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3命題拓展命題拓展考向一考向一利用圓的對稱性解題利用圓的對稱性解題2.如圖,在四邊形ABCD中,ABC=ADC=90,M,N分別為AC,BD的中點,求證:MN垂直平分BD.【答案】ABC=ADC=90,易得RtABC和RtADC有同一個外接圓( 如圖 ), M為圓心,N為BD的中點,由垂徑定理得MN垂直平分BD.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2

6、類型3考向二考向二利用有公共斜邊的兩個直角三角形外接圓解題利用有公共斜邊的兩個直角三角形外接圓解題3.如圖,在ABC中,AD,BE是兩條高,M,N分別是AB,DE的中點.給出如下結論: ;MN垂直平分DE;ANB90.其中正確結論的序號是.( 把所有正確結論的序號都填在橫線上 ) 命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3【名師點撥】 考向二中的問題就是將考向一中的一個直角三角形沿斜邊折疊,折疊后這兩個直角三角形仍有同一個外接圓,我們仍可以用圓的知識答題.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3利用圓的定義解題典例3( 2016安徽第23題節(jié)選 )如圖1,點A,B分別在射線OM,ON上,且M

7、ON為鈍角,現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向MON的外側作等腰直角三角形,分別是OAP,OBQ,C,D,E分別是OA,OB,AB的中點.( 1 )求證:PCE EDQ;( 2 )如圖2,延長PC,QD交于點R,若MON=150,求證:ABR為等邊三角形.命題者說典例精析針對訓練類型1類型2類型3【解析】( 1 )利用三角形中位線性質和等腰直角三角形的定義和性質可證結論;( 2 )根據(jù)圓周角定理得出ARB=60,即可證明ABR為等邊三角形.【答案】 ( 1 )由三角形中位線定理易得CEOD,CE=OD,DEOC,DE=OC,即四邊形OCED為平行四邊形,OCE=ODE,PCE=QDE,PC=OC,QD

8、=OD,PC=DE,CE=DQ,PCE EDQ.( 2 )由題可知RC垂直平分OA,RD垂直平分OB,即RA=RO=RB.易得A,O,B三點都在以R為圓心,RA為半徑的圓上,MON=150為圓周角,ARB為圓心角,易得ARB=60,ABR為等邊三角形.命題者說典例精析針對訓練123456789101.如圖,在ABC中,A=30,BC=4,點O到A,B,C三點的距離都為R,則R的長為 ( )【解析】易得O為ABC外接圓的圓心,延長CO交ABC外接圓于點D,連接DB,則DBC為直角三角形,D=A=30,R=4.A命題者說典例精析針對訓練123456789102.如圖,ABC中,AB=BC=CA=8

9、,P是BC上一點,BP=5,沿著過P點的一條折痕PD折疊點B至B,連接AB,則線段AB的最小值為 ( )【解析】如圖,以P點為圓心,PB長為半徑作圓,與PA交于點B,此時AB的長度最小.過點A作AEBC于點E,在ABE中,BE=4,AE= ,PE=1,在RtAPE中,AP=7, PB=PB=5,AB的最小值為2.B命題者說典例精析針對訓練12345678910D命題者說典例精析針對訓練12345678910命題者說典例精析針對訓練123456789104.如圖,在矩形紙片ABCD的CD邊上找一點E,將BCE沿BE折疊,點C恰好落在邊AD上的點F處,設FED=,則EBF=( 用表示 ).【解析】

10、容易發(fā)現(xiàn)四邊形BCEF有一個外接圓,FED=2EBF,EBF= .命題者說典例精析針對訓練123456789105.如圖,P為等邊ABC外的一個動點( P點與A點分別在BC所在直線的不同側 ),且APB=60,AB=1,則PB+PC的最大值為 .【解析】APB=60,動點P一定在ABC的外接圓O的劣弧BC上.如圖,取PD=PC,連接CD,ABC為等邊三角形,APC=ABC=60,即CDP也為等邊三角形,易得ACD BCP,AD=BP,即AP=BP+CP,當AP為O的直徑時,BP+CP的值最大,PB+PC的最大值為 .命題者說典例精析針對訓練123456789106.如圖,在等邊ABC中,AB=

11、3,M是AB邊上一點,MA=2,N是AC邊上一動點( N不與A重合 ),將AMN沿MN折疊得到AMN,A恰巧落在等邊ABC的邊上,則AN的長為.命題者說典例精析針對訓練12345678910命題者說典例精析針對訓練123456789107.( 2018浙江舟山 )如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點E在CD上,DE=1,點F為邊AB上一動點,以EF為斜邊作RtEFP.若點P在矩形ABCD的邊上,且這樣的直角三角形恰好有兩個,則AF的值是.【解析】在點F的運動過程中分別以EF為直徑作圓.當點F與點A重合時,以EF為斜邊的RtEFP恰好有兩個,符合題意.在點F從點A向點B運動過程中,當0

12、AF1時,共有4個點P使EFP是以EF為斜邊RtEFP.當AF=1時,有1個點P使EFP是以EF為斜邊的RtEFP.命題者說典例精析針對訓練12345678910命題者說典例精析針對訓練123456789108.如圖,在ABC中,D是BC邊的中點,E,F兩點在AB邊上, FDE=FED,BDE與DFE相似,求證:BECE.解:BDE與DFE相似,B=FDE,FDE=FED,B=FED,BD=DE=CD,點B,C,E在以BC為直徑的圓上,BECE.命題者說典例精析針對訓練123456789109.如圖,在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=2,P為ABC所在平面內一點,如果點P滿足BPC

13、=90,設Q是AB的中點,設PQ=x,試求x的取值范圍.命題者說典例精析針對訓練1234567891010.( 2018貴州遵義 )如圖,正方形ABCD的對角線交于點O,點E,F分別在AB,BC上( AEBE ),且EOF=90,OE,DA的延長線交于點M,OF,AB的延長線交于點N,連接MN.( 1 )求證:OM=ON;( 2 )若正方形ABCD的邊長為4,E為OM的中點,求MN的長.命題者說典例精析針對訓練12345678910解:( 1 )易證AOM BON,OM=ON.( 2 )如圖,MON=90,MAN=90.點M,A,O,N四點共圓.由( 1 )知OM=ON,OMN=OAB=45.過點O作OHAD于點H,正方形ABCD的邊長為4,OH=2,HA=2.