幾何證明選講教學指導 新課標 選修4-1

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1、幾何證明選講教學指導 在全省高中數學選修模塊教學研討會上對選修系列4教學指導研討的發(fā)言 吳公強 　　　按照我省及寧夏回族自治區(qū)高中數學選修４專題系列選課方案，及０７年高考說明的要求，我省統(tǒng)一選學４－１幾何證明選講?。矗簿仃嚺c變換　４－４坐標系與參數方程?。矗挡坏仁竭x講　四門課程，以下我代表中心組就這四門課程的定位、教學目標、教學法及復習迎考建議，借這個機會分專題同同志們一起進行研討． 關于選修4-1專題：幾何證明選講的教學研究 一、學習本課程已有的相關知識準備 （一）初中具體目標 　　1．圖形的認識 　　(1)點、線、面 　　通過豐富的實例，進一步認識點、線、面（如交通圖

2、上用點表示城市，屏幕上的畫面是由點組成的）。 　?。?）角 　　①通過豐富的實例，進一步認識角。 　?、跁容^角的大小，能估計一個角的大小，會計算角度的和與差，認識度、分、秒，會進行簡單換算。 　?、哿私饨瞧椒志€及其性質【1】角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角的內部到兩邊距離相等的點在角的平分線上。 　?。?）相交線與平行線 　?、倭私庋a角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等。 　?、诹私獯咕€、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質，體會點到直線距離的意義。 　?、壑肋^一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。 　

3、　④了解線段垂直平分線及其性質【1】線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上。 　?、葜纼芍本€平行同位角相等，進一步探索平行線的性質。 　?、拗肋^直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線,會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。 　?、唧w會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離。 　　（4）三角形 　?、倭私馊切斡嘘P概念（內角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性。 　?、谔剿鞑⒄莆杖切沃形痪€的性質。 　　③了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形

4、全等的條件。 　?、芰私獾妊切蔚挠嘘P概念，探索并掌握等腰三角形的性質【2】等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一。和一個三角形是等腰三角形的條件【3】[3]有兩個角相等的三角形是等腰三角形。；了解等邊三角形的概念并探索其性質。 　　⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質【4】直角三角形的兩銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊一半。和一個三角形是直角三角形的條件【5】有兩個角互余的三角形是直角三角形。 　?、摅w驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 　?。?）四邊形 　　①探索并了解多邊形的內角和與外角和公

5、式，了解正多邊形的概念。 　?、谡莆掌叫兴倪呅巍⒕匦?、菱形、正方形、梯形的概念和性質，了解它們之間的關系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。 　?、厶剿鞑⒄莆掌叫兴倪呅蔚挠嘘P性質【1】平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。和四邊形是平行四邊形的條件【2】一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 　?、芴剿鞑⒄莆站匦?、菱形、正方形的有關性質【3】矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分。和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件【4】三個角是直角的四邊形，或對角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形，或對角線互相垂直的平行四邊形

6、是菱形。 　?、萏剿鞑⒘私獾妊菪蔚挠嘘P性質【5】等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等。和四邊形是等腰梯形的條件?！?】同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。 　?、尢剿鞑⒘私饩€段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木　　重心）。 了解三角形的內心和外心。 　　⑦通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。 　?。?）圓 　　①理解圓及其有關概念，了解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系。 　　②探索圓的性質，了解圓周角與圓心角的關系、

7、直徑所對圓周角的特征。 　?、哿私馊切蔚膬刃暮屯庑?。 　?、芰私馇芯€的概念，探索切線與過切點的半徑之間的關系；能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線。 　?、輹嬎慊￠L及扇形的面積，會計算圓錐的側面積和全面積。 　?。?）尺規(guī)作圖 　　①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線。 　?、诶没咀鲌D作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。 　?、厶剿魅绾芜^一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。 　　④了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，

8、會寫已知、求作和作法（不要求證明）。 　　（8）視圖與投影 　?、贂嫽編缀误w（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。 　?、诹私庵崩庵?、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和制作立體模型。 　?、哿私饣編缀误w與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系；通過典型實例，知道這種關系在現實生活中的應用（如物體的包裝）。 　　④觀察與現實生活有關的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等)，了解并欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。 　　⑤通過背景豐富的實例，知道物體的陰影是怎么形成的，并能根據

9、光線的方向辨認實物的陰影（如在陽光或燈光下，觀察手的陰影或人的身影）。 　?、蘖私庖朁c、視角及盲區(qū)的涵義，并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。 　?、咄ㄟ^實例了解中心投影和平行投影。 　　2．圖形與變換 　?。?）圖形的軸對稱 　　①通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質。 　　②能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；探索簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸。 　?、厶剿骰緢D形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及其相關性質。 　?、苄蕾p現實生活中的軸對稱圖形，結合現實生活中典型實例了解

10、并欣賞物體的鏡面對稱，能利用軸對稱進行圖案設計。 　?。?）圖形的平移 　?、偻ㄟ^具體實例認識平移，探索它的基本性質，理解對應點連線平行且相等的性質。 　?、谀馨匆笞鞒龊唵纹矫鎴D形平移后的圖形。 　　③利用平移進行圖案設計，認識和欣賞平移在現實生活中的應用。 　　（3）圖形的旋轉 　?、偻ㄟ^具體實例認識旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質。 　?、诹私馄叫兴倪呅?、圓是中心對稱圖形。 　?、勰軌虬匆笞鞒龊唵纹矫鎴D形旋轉后的圖形。 　?、苄蕾p旋轉在現實生活中的應用。 　?、萏剿鲌D形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋

11、轉及其組合)。［參見例2和例3］ 　?、揿`活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。 　　（4）圖形的相似 　?、倭私獗壤幕拘再|，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。 　?、谕ㄟ^具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方。 　?、哿私鈨蓚€三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件。 　　④了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。 　　⑤通過典型實例觀察和認識現實生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測量旗桿的高度）。 　?、尥ㄟ^實例認識銳角三角函

12、數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角。 　?、哌\用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。 　　3．圖形與坐標 　　（1）認識并能畫出平面直角坐標系；在給定的直角坐標系中，會根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標。［參見例4］ 　?。?）能在方格紙上建立適當的直角坐標系，描述物體的位置。［參見例5］ 　?。?）在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化。［參見例6］ 　?。?）靈活運用不同的方式確定物體的位置。［參見例7］ 　　4．圖形與證明

13、 　?。?）了解證明的含義 　　①理解證明的必要性。 　　②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件(題設)和結論。 　?、劢Y合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。 　?、芡ㄟ^具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。 　?、萃ㄟ^實例，體會反證法的含義。 　?、拚莆沼镁C合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據。 　?。?）掌握以下基本事實，作為證明的依據 　　①一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。 　　②兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。 　?、廴魞蓚€三

14、角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個三角形全等。 　?、苋热切蔚膶?、對應角分別相等。 　?。?）利用（2）中的基本事實證明下列命題 　?、倨叫芯€的性質定理（內錯角相等、同旁內角互補）和判定定理（內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行）。 　?、谌切蔚膬冉呛投ɡ砑巴普摚ㄈ切蔚耐饨堑扔诓幌噜彽膬蓛冉堑暮?，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角）。 　?、壑苯侨切稳鹊呐卸ǘɡ?。 　?、芙瞧椒志€性質定理及逆定理； 　　三角形的三條角平分線交于一點（內心）。 　?、荽怪逼椒志€性質定理及逆定理； 　　三角形的三邊的垂直平分線交于一點（外心）。

15、 　?、奕切沃形痪€定理。 　?、叩妊切巍⒌冗吶切?、直角三角形的性質和判定定理。 　?、嗥叫兴倪呅巍⒕匦?、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。 ?。?）通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數學發(fā)展和人類文明的價值。 《幾何原本》全書共分１３卷，有５條公設、５個公理，１１９個定義和４６５　個命題，構成歷史上第一個數學公理體系。命題１。４７　就是著名的“勾股定理” （二）高中必選系列 2-2 推理與證明具體目標　 推理方法: （1）合情推理（歸納推理和類比推理）． （2）演繹推理． 證明方法:直接證明與間接證明．數學歸納法． （1）了解合情推理的含義，

16、能進行簡單的歸納推理和類比推理，做出數學猜想，體會并認識合理推理在數學發(fā)現中的作用． （2）了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯系和差異．掌握演繹推理的“三段論”，能進行一些簡單的演繹推理． （3）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法。了解綜合法和分析法的思考過程和特點．能套用綜合法或分析法的思考過程，證明一些簡單的數學命題（證明步驟一般不超過五步）． （4）了解反證法的思考過程和特點，能套用反證法的思考過程，證明一些簡單的數學命題（證明步驟一般不超過四步）． （5）了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題（不要求用數學歸納法證明不等式有關命題，

17、以及平面圖形中的有關命題）． 二、課程標準內容與要求 幾何證明選講有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程。本專題從復習相似圖形的性質入手，證明一些反映圓與直線關系的重要定理，并通過對圓錐曲線性質的進一步探索，提高學生空間想像能力、幾何直觀能力和運用綜合幾何方法解決問題的能力。 1. 復習相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。 2. 證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理。 3. 證明相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理。 4.

18、了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。 5. 通過觀察平面截圓錐面的情境，體會下面定理： 定理 在空間中，取直線為軸，直線與相交于O點，其夾角為α，圍繞旋轉得到以O為頂點，為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸交角為β（π與平行，記住β＝0），則： （1）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓； （2）β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線； （3）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線。 6. 利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內部，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下

19、方，并且與平面π及圓錐均相切）證明上述定理（1）情況。 7. 試證明以下結果：①在6中，一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π'；②如果平面π與平面π'的交線為m，在5（1）中橢圓上任取一點A，該Dandelin球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數e。（稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數e為離心率。） 8. 探索定理中（3）的證明，體會當β無限接近α時平面π的極限結果。 三、教學建議 1、重視數學思維能力的培養(yǎng) （1）一堂課能使學生有所領悟，就意味著有可能發(fā)展學生的數學空間。

20、在本專題教學中要重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應用和培養(yǎng)。 （2）培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。簡單地講：幾何直觀能力就是發(fā)現輔助線的能力。 （3） 以問題解決為特征的思維，是普遍存在的形式。對問題解決者來說，問題的解決過程總是創(chuàng)造性的。而重現和親歷發(fā)現的過程，是學習、研究數學的高招，也是我們從事數學的高招。 （4）重視直覺的培養(yǎng)和訓練，引用彭加勒的一個著名觀點，那就是：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)現?！? （5）注意辯證思維的引導。以研究圖形為主的幾何證明專題，在對圖形認識的時候應當引導學生還要建立背景的意識，當以一部分圖形為主要觀察對象時，其他部分就變成了背景，我們需要一道學生注意辯證地觀察

21、、分析問題。 如： 已知：在三角形ABC中，由頂點B出發(fā)的高BD、角平分線BF和中線BE，分∠ABC為4 等分，求∠ABC的大小。 Ａ Ｄ Ｆ Ｅ Ｃ Ｂ 在解本題時，有兩類刺激：一類是角；一類是線段。涉及到角的是：高、角的四等分線構成的角的大小等；涉及到線段的是：中線角平分線的性質等。學生在解題中，對這兩類刺激并不是均等地接受的。多數學生都因為角的信息量大而把角作為“圖形”，而把線當作背景。實際上，此處的“圖形”處于未分化的模糊狀態(tài)。不宜直接由此解證題目，那就需要將“圖形”與“背景”加以轉換加以求解。 2、對本專題的教學，都應力求深入淺出。在對內容與要求

22、6、7的兩個命題證明過程中，蘊涵著豐富的數學思想方法，它們有助于學生體會空間想像能力和幾何直觀能力在解決問題中的作用，有助于提高學生綜合運用幾何知識解決問題的能力。教學時，教師應鼓勵學生獨立思考，主動嘗試、探索，必要時要給予適當的指導，并應鼓勵學生寫出課題報告，盡可能清晰地表達自己的思考過程與論證過程。 在條件允許的學校，教師可以利用現代計算機技術，動態(tài)地展現Dandelin兩球的方法，幫助學生利用幾何直觀進行思維。 ３、考試內容： 相似三角形.、平行截割定理.、直角三角形射影定理.、圓周角定理.、圓的切線的判定定理及性質定理.、相交弦定理.、圓內接四邊形的性質定理與判定定理.、切割線定理.． ４、考試要求： 1． 理解相似三角形的定義與性質，了解平面截割定理． 掌握以下定理的證明：（1）直角三角形射影定理；（2）圓周角定理；（3）圓的切線判定定理與性質定理；（4）相交弦定理；（5）圓內接四邊形的性質定理與判定定理（6）切割線定理