8、質(zhì)量為M＝30 kg，乙和他的冰車總質(zhì)量也是30 kg.游戲時，甲推著一個質(zhì)量為m＝15 kg的箱子和他一起以v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來，為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處，乙迅速抓?。挥嫳婺Σ粒?
圖5
(1)若甲將箱子以速度v推出，甲的速度變?yōu)槎嗌伲?用字母表示)
(2)設(shè)乙抓住迎面滑來的速度為v的箱子后反向運動，乙抓住箱子后的速度變?yōu)槎嗌伲?用字母表示)
(3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度應(yīng)滿足什么條件？箱子被推出的速度至少多大？
答案 (1)
(2)
(3)v1≤v2 5.2 m/s
解析 (1)甲將箱子推出的過程
9、，甲和箱子組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律得：(M＋m)v0＝mv＋Mv1①
解得v1＝②
(2)箱子和乙作用的過程動量守恒，以箱子的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv－Mv0＝(m＋M)v2③
解得v2＝④
(3)甲、乙不相撞的條件是v1≤v2⑤
其中v1＝v2為甲、乙恰好不相撞的條件．
聯(lián)立②④⑤三式，并代入數(shù)據(jù)得
v≥5.2 m/s.
四、反沖運動的應(yīng)用——“人船模型”
1．“人船模型”問題
兩個原來靜止的物體發(fā)生相互作用時，若所受外力的矢量和為零，則動量守恒．在相互作用的過程中，任一時刻兩物體的速度大小之比等于質(zhì)量的反比．這樣的問題歸為“人船模型”問題．
10、
2．人船模型的特點
(1)兩物體滿足動量守恒定律：m11－m22＝0.
(2)運動特點：人動船動，人停船停，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它們質(zhì)量的反比；人船平均速度(瞬時速度)比等于它們質(zhì)量的反比，即＝＝.
(3)應(yīng)用此關(guān)系時要注意兩個問題：即公式中1、2和s1、s2一般都是相對地面而言的．
例5 長為L、質(zhì)量為M的小船停在靜水中，質(zhì)量為m的人從靜止開始從船頭走到船尾，不計水的阻力，求船和人相對地面的位移各為多少？
答案 L L
解析 設(shè)任一時刻人與船速度大小分別為v1、v2，作用前都靜止．因整個過程中動量守恒，所以有mv1＝Mv2
而整個過程中的平均速度
11、大小為1、2，則有m1＝M2.
兩邊乘以時間t有m1t＝M2t，即ms1＝Ms2.
且s1＋s2＝L，可求出s1＝ L，s2＝ L.
借題發(fā)揮 “人船模型”是利用平均動量守恒求解的一類問題，解決這類問題應(yīng)明確：
(1)適用條件：①系統(tǒng)由兩個物體組成且相互作用前靜止，系統(tǒng)總動量為零；②在系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生相對運動的過程中至少有一個方向的動量守恒(如水平方向或豎直方向)．
(2)畫草圖：解題時要畫出各物體的位移關(guān)系草圖，找出各長度間的關(guān)系，注意兩物體的位移是相對同一參照物的位移.
對動量守恒條件的理解
1.如圖6所示，在光滑的水平面上有一靜止的斜面，斜面光滑，現(xiàn)有一個小球從斜面頂點由靜止
12、釋放，在小球下滑的過程中，以下說法正確的是( )
圖6
A．斜面和小球組成的系統(tǒng)動量守恒
B．斜面和小球組成的系統(tǒng)僅在水平方向上動量守恒
C．斜面向右運動
D．斜面靜止不動
答案 BC
解析 球和斜面組成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，故水平方向動量守恒；小球下滑時，對地有向下的加速度，即系統(tǒng)存在向下的加速度，故系統(tǒng)豎直方向上所受合外力不為零，合外力向下，因此不能說系統(tǒng)動量守恒，故B、C對．
多物體、多過程中的動量守恒問題
2．質(zhì)量相等的五個物塊在一光滑水平面上排成一條直線，且彼此隔開一定的距離，具有初速度v0的第5號物塊向左運動，依次與其余四個靜止物塊發(fā)生碰撞，如圖7
13、所示，最后這五個物塊粘成一個整體，求它們最后的速度為多少？
圖7
答案 v0
解析 由五個物塊組成的系統(tǒng)，沿水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)動量守恒，mv0＝5mv，v＝v0，即它們最后的速度為v0.
動量守恒中的臨界問題
3．如圖8所示，甲車質(zhì)量m1＝20 kg，車上有質(zhì)量M＝50 kg的人，甲車(連同車上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行．此時質(zhì)量m2＝50 kg的乙車正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑來，為了避免兩車相撞，當(dāng)兩車相距適當(dāng)距離時，人從甲車跳到乙車上，求人跳出甲車的水平速度(相對地面)應(yīng)當(dāng)在什么范圍以內(nèi)才能避免兩車相撞？不計地面和小車的摩擦．
圖8
答案
14、 大于等于3.8 m/s
解析 人跳到乙車上后，如果兩車同向，甲車的速度小于或等于乙車的速度就可以避免兩車相撞．
以人、甲車、乙車組成的系統(tǒng)為研究對象，由水平方向動量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′，解得v′＝1 m/s.
以人與甲車為一系統(tǒng)，人跳離甲車過程水平方向動量守恒，得：(m1＋M)v＝m1v′＋Mu，解得u＝3.8 m/s.
因此，只要人跳離甲車的速度u≥3.8 m/s，就可避免兩車相撞．
“人船”模型的應(yīng)用
4．如圖9所示，質(zhì)量為m、半徑為R的小球，放在半徑為2R、質(zhì)量為2m的大空心球內(nèi)．大球開始靜止在光滑的水平面上，當(dāng)小球從圖示位置無初速度
15、地沿大球內(nèi)壁滾到最低點時，大球移動的距離是多少？
圖9
答案 R
解析 由水平方向平均動量守恒有：mx小球＝2mx大球，又x小球＋x大球＝R，所以x大球＝R.
(時間：60分鐘)
題組一 動量守恒條件及系統(tǒng)和過程的選取
1．下列四幅圖所反映的物理過程中，系統(tǒng)動量守恒的是( )
答案 AC
解析 A項中子彈和木塊組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，豎直方向所受合外力為零，系統(tǒng)動量守恒；B項中在彈簧恢復(fù)原長的過程中，系統(tǒng)在水平方向始終受墻的作用力，系統(tǒng)動量不守恒；C項中木球與鐵球組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動量守恒；D項中木塊下滑過程中，斜面始終受到擋板的作用力，系統(tǒng)
16、動量不守恒．
2.如圖1所示，A、B兩木塊緊靠在一起且靜止于光滑水平面上，物塊C以一定的初速度v0從A的左端開始向右滑行，最后停在B木塊的右端，對此過程，下列敘述正確的是( )
圖1
A．當(dāng)C在A上滑行時，A、C組成的系統(tǒng)動量守恒
B．當(dāng)C在B上滑行時，B、C組成的系統(tǒng)動量守恒
C．無論C是在A上滑行還是在B上滑行，A、B、C組成的系統(tǒng)動量都守恒
D．當(dāng)C在B上滑行時，A、B、C組成的系統(tǒng)動量不守恒
答案 BC
解析 當(dāng)C在A上滑行時，對A、C組成的系統(tǒng)，B對A的作用力為外力，外力不等于0，故系統(tǒng)動量不守恒，選項A錯誤；當(dāng)C在B上滑行時，A、B已分離，對B、C組成的系統(tǒng)，
17、沿水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)動量守恒，選項B正確；若將A、B、C三物塊視為一系統(tǒng)，則沿水平方向無外力作用，系統(tǒng)動量守恒，選項C正確，選項D錯誤．
3.平板車B靜止在光滑水平面上，在其左端另有物體A以水平初速度v0向車的右端滑行，如圖2所示．由于A、B間存在摩擦，因而A在B上滑行后，A開始做減速運動，B做加速運動(設(shè)B車足夠長)，則B車速度達到最大時，應(yīng)出現(xiàn)在( )
圖2
A．A的速度最大時
B．A、B速度相等時
C．A在B上相對靜止時
D．B車開始做勻速直線運動時
答案 BCD
解析 由于A、B之間存在摩擦力，A做減速運動，B做加速運動，當(dāng)兩個物體的速度相等時，相對靜止
18、，摩擦力消失，變速運動結(jié)束，此時A的速度最小，B的速度最大，因此選項A錯誤B、C正確，此后A、B一起勻速運動，所以D項正確．
4.如圖3所示，小車放在光滑的水平面上，將系著繩的小球拉開一定的角度，然后同時放開小球和小車，那么在以后的過程中( )
圖3
A．小球向左擺動時，小車也向左運動，且系統(tǒng)動量守恒
B．小球向左擺動時，小車向右運動，且系統(tǒng)動量守恒
C．小球向左擺到最高點，小球的速度為零而小車的速度不為零
D．在任意時刻，小球和小車在水平方向上的動量一定大小相等、方向相反
答案 BD
解析 小球擺動過程中，豎直方向上合力不為零，故系統(tǒng)總動量不守恒，但水平方向不受外力，在
19、水平方向動量守恒，所以選項B、D正確．
題組二 “人船模型”的應(yīng)用
5．某人站在靜止于水面的船上，從某時刻開始，人從船頭走向船尾，水的阻力不計，則( )
A．人勻速運動，船則勻速后退，兩者的速度大小與它們的質(zhì)量成反比
B．人走到船尾不再走動，船也停止不動
C．不管人如何走動，人在行走的任意時刻人和船的速度方向總是相反的，大小與它們的質(zhì)量成反比
D．船的運動情況與人行走的情況無關(guān)
答案 ABC
解析 由動量守恒定律可知，A、B、C正確．
6．一條約為180 kg的小船漂浮在靜水中，當(dāng)人從船尾走向船頭時，小船也發(fā)生了移動，忽略水的阻力，以下是某同學(xué)利用有關(guān)物理知識分析人與船相互
20、作用過程時所畫出的草圖(如圖所示)，圖中虛線部分為人走到船頭時的情景，請用有關(guān)物理知識判斷下列圖中所描述物理情景正確的是( )
答案 B
解析 人和船組成的系統(tǒng)動量守恒，總動量為零，人向前走時，船將向后退，B正確．
7.小車靜置在光滑水平面上，站在車上一端的人練習(xí)打靶，靶裝在車的另一端，如圖4所示(小圓點表示槍口)．已知車、人、槍和靶的總質(zhì)量為M(不含子彈)，每顆子彈質(zhì)量為m，共n發(fā)．打靶時，每發(fā)子彈都打中靶且留在靶里，并等前一發(fā)打入靶中后，再打下一發(fā)．若槍口到靶的距離為d，待打完n發(fā)子彈后，小車移動的距離為________．
圖4
答案
解析 依次打完n發(fā)子彈可等效為
21、將n發(fā)子彈一次射出，由動量守恒定律可得，Ms1－nms2＝0，又s1＋s2＝d
解得s1＝d
題組三 多物體、多過程中動量守恒定律的應(yīng)用
8．一彈簧槍對準(zhǔn)以6 m/s的速度沿光滑桌面迎面滑來的木塊發(fā)射一顆鉛彈，射出速度為10 m/s，鉛彈射入木塊后未穿出，木塊繼續(xù)向前運動，速度變?yōu)? m/s.如果想讓木塊停止運動，并假定鉛彈射入木塊后都不會穿出，則應(yīng)再向木塊迎面射入的鉛彈數(shù)為( )
A．5顆 B．6顆
C．7顆 D．8顆
答案 D
解析 設(shè)木塊質(zhì)量為m1，鉛彈質(zhì)量為m2，第一顆鉛彈射入，有m1v0－m2v＝(m1＋m2)v1，代入數(shù)據(jù)可得＝15，設(shè)再射入n顆鉛彈木塊停止，有
22、(m1＋m2)v1－nm2v＝0，解得n＝8.
9．在光滑水平面上有兩輛車，上面分別站著A、B兩個人，人與車的質(zhì)量總和相等，在A的手中拿有一個球，兩車均保持靜止?fàn)顟B(tài)．當(dāng)A將手中球拋給B，B接到后，又拋給A，如此反復(fù)多次，最后球落在B的手中．則關(guān)于A、B速率的大小是( )
A．A、B兩車速率相等 B．A車速率大
C．A車速率小 D．兩車均保持靜止?fàn)顟B(tài)
答案 B
解析 由動量守恒可知，總動量始終為零，則兩輛車(包括各自車上站的人)的動量大小相等，方向相反．這樣質(zhì)量大的速度就小，最后球在B車上，所以A車速率大．
10.如圖5所示，質(zhì)量為M的盒子放在光滑的水平面上，盒子內(nèi)表面不光滑，
23、盒內(nèi)放有一塊質(zhì)量為m的物體．從某一時刻起給m一個水平向右的初速度v0，那么在物塊與盒子前后壁多次往復(fù)碰撞后( )
圖5
A．兩者的速度均為零
B．兩者的速度總不會相等
C．物體的最終速度為，向右
D．物體的最終速度為，向右
答案 D
解析 物體與盒子組成的系統(tǒng)所受合外力為零，物體與盒子前后壁多次往復(fù)碰撞后，以速度v共同運動，由動量守恒定律得：mv0＝(M＋m)v，故v＝，方向向右．
題組四 綜合應(yīng)用
11.質(zhì)量為M＝2 kg的小平板車靜止在光滑水平面上，車的一端靜止著質(zhì)量為mA＝2 kg的物體A(可視為質(zhì)點)，如圖6所示，一顆質(zhì)量為mB＝20 g的子彈以600 m/s的
24、水平速度射穿A后，速度變?yōu)?00 m/s，最后物體A相對車靜止，求平板車最后的速度是多大．
圖6
答案 2.5 m/s
解析 子彈擊穿A后，A在水平方向上獲得一個速度vA，最后當(dāng)A相對車靜止時，它們的共同速度為v.子彈射穿A的過程極短，因此車對A的摩擦力、子彈的重力作用可略去，即認為子彈和A組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，同時，由于作用時間極短，可認為A的位置沒有發(fā)生變化，設(shè)子彈擊穿A后的速度為v′，由動量守恒定律有mBv0＝mBv′＋mAvA，得
vA＝＝ m/s＝5 m/s
A獲得速度vA相對車滑動，由于A與車間有摩擦，最后A相對車靜止，以共同速度v運動，對于A與車組成的系統(tǒng)，水
25、平方向動量守恒，因此有：mAvA＝(mA＋M)v，所以v＝＝ m/s＝2.5 m/s.
12.如圖7所示，光滑水平軌道上有三個木塊A、B、C，質(zhì)量分別為mA＝3m、mB＝mC＝m，開始時B、C均靜止，A以初速度v0向右運動，A與B碰撞后分開，B又與C發(fā)生碰撞并粘在一起，此后A與B間的距離保持不變．求B與C碰撞前B的速度大?。?
圖7
答案 v0
解析 設(shè)A與B碰撞后，A的速度為vA，B與C碰撞前B的速度為vB，B與C碰撞后粘在一起的速度為v，由動量守恒定律
對A、B木塊：mAv0＝mAvA＋mBvB①
對B、C木塊：mBvB＝(mB＋mC)v②
由A與B間的距離保持不變可知
26、vA＝v③
聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得vB＝v0
13.如圖8所示，在同一豎直平面內(nèi)有一個半徑為r的四分之一光滑圓弧和一半徑為R＝2r的光滑圓軌道通過平滑小孔連接，小球可以無能量損失地切入圓軌道內(nèi)．今有兩個可視為質(zhì)點的質(zhì)量都為m的小球A和B，B球位于圓軌道的最低點，現(xiàn)讓球A在圓弧開口的正上方h高處由靜止釋放后恰好進入四分之一光滑圓弧中，隨后從小孔進入大圓軌道與球B碰撞并粘合在一起，欲使A球在碰撞前后都能在大圓軌道中做完整的圓周運動，試求h的最小高度．
圖8
答案 15r
解析 A從h高處由靜止開始運動，設(shè)碰撞前速度為v1
由功能關(guān)系知×mv12＝mg(h＋5r)
二者相碰動量守恒mv1＝2mv2
欲使整體能在大圓軌道中做完整的圓周運動，則最高點的最小速度v0滿足2mg＝2m
又整體從最低點運動到最高點過程中滿足
×2mv＝×2mv＋2mg·4r
聯(lián)立以上各式解得h＝15r.
12
2015-2016學(xué)年高中物理 第1章 動量守恒研究 第4講 習(xí)題課 動量守恒定律的應(yīng)用學(xué)案 魯科版選修3-5
