三角函數(shù)與三角變換

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1、專題三：三角函數(shù)與三角變換（附參考答案） 1.高考要求解讀 1.1考綱要求： 1.1.1三角函數(shù) 1.任意角、弧度制 （1）了解任意角的概念和弧度制的概念 （2）能進(jìn)行弧度與角度的互化。 2.三角函數(shù) （1）理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。 （2）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出的圖像，了解三角函數(shù)的周期性。 （3）正確理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與軸的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性。 （4）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： （5）了解函數(shù)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)對(duì)

2、函數(shù)圖像變化的影響。 （6）會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。 1.1.2三角恒等變換 1.兩角和與差的三角函數(shù)公式 （1）會(huì)用向量的數(shù)量出兩角差的余弦公式。 （2）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。 （3）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他們的內(nèi)在聯(lián)系。 2.簡單的三角恒等變換 能運(yùn)用上述公式進(jìn)驚醒簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 1.2考點(diǎn)解讀 1.2.1考情分析 三角函數(shù)是高考的考查熱點(diǎn)，命題的一般模式為一個(gè)選

3、擇題（或填空題）和一個(gè)解答題，其中選擇題（填空題）一般多為基礎(chǔ)題，解答題為中檔題。解答題多為三角函數(shù)與三角變換的綜合問題或三角函數(shù)與其他知識(shí)的教會(huì)問題。近年寧夏高考題，命題從三角函數(shù)與解三角形結(jié)合的問題出發(fā)命題的趨勢明顯。高考中三角函數(shù)所占分值大約在10~14分之間。 1.2.2考點(diǎn)分析 考點(diǎn)一：基本概念 考查任意角的概念、弧度制、三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)的符號(hào)等。直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義在與空間幾何結(jié)合的問題中頻繁考查，應(yīng)予以重視任意角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用。其中三角函數(shù)的符號(hào)是考查重點(diǎn)。 考點(diǎn)二：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式 考查運(yùn)用這兩類公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡

4、和證明。其中，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角函數(shù)式的求值問題是考查的重點(diǎn)。 考點(diǎn)三：考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 考查三角函數(shù)圖像的畫法、性質(zhì)，性質(zhì)主要包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)在的單調(diào)性、最大值和最小值、零點(diǎn)、最小正周期等。 考點(diǎn)四：函數(shù)的圖像和性質(zhì)。 考查函數(shù)的定義域、值域（最值）、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)等，是三角函數(shù)考查的熱點(diǎn)。另外對(duì)函數(shù)的圖像伸縮、平移變換的考查也是熱點(diǎn)。 考點(diǎn)五：考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。 主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，而倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用。 考點(diǎn)六：考查簡單的三角恒等變換。 主要考查綜合運(yùn)用同學(xué)們在

5、以前學(xué)習(xí)的三角公式，進(jìn)行一些簡單的三角恒等變換，解決化簡、求值、證明等問題。 考點(diǎn)七：考查三角函數(shù)和三角恒等變換的綜合應(yīng)用。 本考點(diǎn)是一個(gè)考查重點(diǎn)，主要考查通過三角恒等變換化簡三角函數(shù)式，進(jìn)而研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值等性質(zhì)。 2要點(diǎn)知識(shí)分析 要點(diǎn)知識(shí)復(fù)習(xí) 2.1任意角的三角函數(shù) ①任意角的三角函數(shù)定義 已知角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，其中為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. ②同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 ③誘導(dǎo)公式 第一組：關(guān)于的誘導(dǎo)公式 記憶方法:函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 第二組：關(guān)于的誘

6、導(dǎo)公式 記憶方法：函數(shù)名變?yōu)橛嗪瘮?shù)名，符號(hào)看象限 2.2函數(shù)圖像和性質(zhì) ①函數(shù)、、的圖像和性質(zhì)。 ②函數(shù)的圖像和性質(zhì)?！拔妩c(diǎn)法”可畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，還可利用此法求參數(shù)的值。在復(fù)習(xí)函數(shù)的圖像時(shí)，要掌握由的圖像經(jīng)過平移、伸縮等一系列變換得到函數(shù)的圖像的變換步驟。求平移的量時(shí)，若x的系數(shù)不為1，需把x的系數(shù)先提出來，提完后在括號(hào)中x加或減的那個(gè)量才是平移的量。 2.3三角變換 ①兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。 變形公式: 兩角和與差的正切公式的變形公式是考查的重點(diǎn)。 ②二倍角公式 二倍角的余弦公式正用有升冪的

7、作用；逆用有降冪的作用。在三角變換中要根據(jù)具體情境靈活應(yīng)用。變形公式： 3、典型例題 例1（本小題滿分12分）已知<<<, (Ⅰ)求的值. （Ⅱ）求. 本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào)，已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力。 變式訓(xùn)練：（北京卷）已知函數(shù)， （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）設(shè)是第四象限的角，且，求的值 例2（江蘇卷）＝　　 【解后反思】方法不拘泥,要注意靈活運(yùn)用,在求三角的問題中,要注意這樣的口決“三看”即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計(jì)算角轉(zhuǎn)化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同

8、一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用. 變式訓(xùn)練：3．等于（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例3. 已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值． 本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．滿分12分． 變式訓(xùn)練：已知函數(shù)．求： （I）函數(shù)的最小正周期； （II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

9、 ． 例4.（本小題滿分12分） 如圖，函數(shù)的 圖象與軸交于點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線的斜率為． （1）求和的值； （2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值． 變式訓(xùn)練：(重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=+ +a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值. 例5. 設(shè)函數(shù),其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,

10、1),x∈R,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)， （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； （Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x的值的集合. 變式訓(xùn)練：已知為的最小正周期，，，且．求的值． 本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力和推理能力．本小題滿分12分． 隨堂練習(xí) 一、選擇題（本小題共10個(gè)小題，每小題5分） 1.（全國Ⅰ文）是第四象限角，，（　 ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2. （全國Ⅱ）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 3. （江西

11、文）函數(shù)的最小正周期為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4. （福建文）函數(shù)的圖象（　　） Ａ．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 Ｂ．關(guān)于直線對(duì)稱 Ｃ．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 Ｄ．關(guān)于直線對(duì)稱 5. （福建文）等于（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6.（寧夏，海南）若，則的值為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. （寧夏，海南）已知命題，，則（　　） Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 8．（寧夏，海南）函數(shù)在區(qū)間的簡圖是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

12、 9．（山東文）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位 10.（浙江）若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本題共有5個(gè)小題） 11.（上海春）函數(shù)的最小正周期為 . 12.（江蘇卷）若，.則　　　　. 13.（安徽文）函數(shù)的圖象為，如下結(jié)論中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的

13、編號(hào)）． ①圖象關(guān)于直線對(duì)稱； ②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱； ③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)； ④由的圖角向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象． 14.（浙江）已知，且，則的值是 15.（全國II）若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝ 三、解答題（本題共有5個(gè)小題） 16.（安徽卷）已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。 17.（廣東卷）已知函數(shù). (I)求的最小正周期； (II)求的最大值和最小值； (III)若，求的值. 18.（湖南）（本

14、小題滿分12分） 已知函數(shù)，． （I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，求的值． （II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 19、已知函數(shù)，． （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力． 20．（重慶）本小題滿分13分，其中（Ⅰ）小問9分，（Ⅱ）小問4分．） 設(shè)． （Ⅰ）求的最大值及最小正周期； （Ⅱ）求在的單調(diào)遞減區(qū)間 （Ⅲ）若銳角滿足，求的值． 專題訓(xùn)練 一、選擇題 1.

15、已知，且角在第一象限，那么是（ ） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 2.若是第三象限的角，且，則的值為（ ） A、 B、 C、 D、 3.在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ ） A、 B、 C、 D、 4.將函數(shù)的圖像上個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，再向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ） A、 B、 C、 D、 5.已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像與直線某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，若的最小值

16、為，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間可以是（ ） A、 B、 C、 D、 6.已知，且，那么的值等于（ ） A、 B、 C、 D、 7.函數(shù)的最小正周期是（ ） A、 B、 C、 D、 8.若定義在上的函數(shù)滿足，且，則可以是（ ） A、 B、 C、 D、 9.（ ） A、

17、 B、 C、 D、 10.將函數(shù)的圖像按向量平移得到圖像，若的一條對(duì)稱軸是直線，則的一個(gè)可能取值是（ ） A、 B、 C、 D、 11.在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（）的圖像和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A、0 B、1 C、2 D、4 12.已知，則的值是（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空題 13.若函數(shù)的最小正周期

18、為，則= 14.已知在第三象限，則角的終邊在第 象限 15.函數(shù)的最大值是 16.有以下4個(gè)結(jié)論：①若，那么；②是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；③在第四象限是增函數(shù)；④函數(shù)是偶函數(shù)。其中正確結(jié)論的序號(hào)是 三、解答題（本大題共6小題，第17-21題每小題12分，第22題14分，共計(jì)74分） 17、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)。 （1）求實(shí)數(shù)的值 （2）若，且，求的值 18、設(shè)，函數(shù)，且 （1）求的值 （2）若，求的最大值及相應(yīng)的值 19、已知函數(shù)的圖像經(jīng)

19、過點(diǎn)A(0,1)，B()，且當(dāng)時(shí)，取得最大值 （1）求解析式 （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 20、已知函數(shù)的最小正周期為 （1）求的值，并寫出函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo) （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 21、設(shè)函數(shù)，其中向量， （1）求的值及函數(shù)的最大值 （2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 22、函數(shù) （1）求函數(shù)的周期和最大值 （2）若將函數(shù)按向量平移得到函數(shù)，而且當(dāng)時(shí)，取得最大值3，求和 參考答案 典型例題

20、 隨堂練習(xí) 一、選擇題 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D 二、填空題 11. 12. 13.①②③ 14. 15. 三、解答題 專題訓(xùn)練 一、 選擇題 1．B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C 二、填空題 13．10 14.二 15.2 16.①③④ 三、解答題 12