新編一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第六章 第五節(jié)　數(shù)列的綜合應(yīng)用 Word版含解析

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1、 一、填空題 1．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝4d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k的值為________． 解析：由條件知an＝a1＋(n－1)d＝4d＋(n－1)d＝(n＋3)d，即an＝(n＋3)d(n∈N*)．又a＝a1·a2k，所以(k＋3)2d2＝4d·(2k＋3)d，且d≠0，所以(k＋3)2＝4(2k＋3)，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1(舍去)． 答案：3 2．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)

2、境造成危害．為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是________． 解析：由已知可得第n年的產(chǎn)量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2；當(dāng)n＝1時也適合．據(jù)題意令an≥150?n≥5，即數(shù)列從第8項開始超過150，即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年． 答案：7 3．等差數(shù)列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列前13項的和是________． 解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10， ∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4， ∴S13＝＝＝26. 答案：26 4．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋

3、1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點(diǎn)，則b10等于________． 解析：依題意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列，a2，a4，a6，…也成等比數(shù)列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因為an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64. 答案：64 5．有限數(shù)列A：a1，a2，…，an，Sn為其前n項和，定義為A的“凱森和”，若有99項的數(shù)列a1，a2，…，a99的“凱森和”為1 000，則有100項的數(shù)列1，a1，a2，…，a99的“凱森和”為______

4、__． 解析：設(shè)a1，a2，…，a99的“凱森和”為 ＝1 000， 則1，a1，a2，…，a99的“凱森和”為， 而T1＝1，T2＝S1＋1，T3＝S2＋1，…，T100＝S99＋1， 所以＝＝991. 答案：991 6．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是________． 解析：由題知a＝a1·a17， 即a＝(a5－4d)·(a5＋12d)， ∴8a5d－48d2＝0， ∵d≠0，∴a5＝6d， ∴公比q＝＝＝＝3. 答案：3 7．秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天入院治療甲

5、流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)共有________． 解析：由于an＋2－an＝1＋(－1)n，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255. 答案：255 8．已知a，b∈R＋，A為a，b的等差中項，正數(shù)G為a，b的等比中項，則ab與AG的大小關(guān)系是________． 解析：依題意A＝，G＝， ∴AG－ab＝·－ab ＝(－) ＝·≥0， ∴AG≥ab. 答案：AG≥ab

6、9．在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的兩個點(diǎn)，若1，x1，x2,4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2,8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是________． 解析：根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4. ∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1. 答案：1 二、解答題 10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn＝(1－an)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝nan，求證：b1＋b2＋…＋bn<. 解析：(1)當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn

7、－1＝(1－an)－(1－an－1) ＝－an＋an－1,2an＝－an＋an－1， 由題意可知an－1≠0， ∴＝， 所以{an}是公比為的等比數(shù)列． S1＝a1＝(1－a1)，a1＝. an＝×()n－1＝()n. (2)證明：bn＝n()n， 設(shè)Tn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，① ∴Tn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋n×()n＋1，② ①－②，化簡得 ∴Tn＝－()n－n()n＋1<. 11．從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某旅游縣區(qū)計劃投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，投入800萬元，以后每年投入將比上年減少

8、，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加. (1)設(shè)n年內(nèi)(為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 解析：(1)第1年投入為 800 萬元， 第2年投入為 800×(1－)萬元，…， 第n年投入為 800×(1－)n－1萬元， 所以，n年內(nèi)的總投入為 an＝800＋800×(1－)＋…＋800×(1－)n－1 ＝4 000×[1－()n]． 第1年旅游業(yè)收入為 400 萬元， 第2年旅游業(yè)收入為 400 ×(1＋)萬元

9、，…， 第n年旅游業(yè)收入為400 ×(1＋)n－1萬元， 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)n－1 ＝1 600×[()n－1]． (2)設(shè)經(jīng)過n年，旅游業(yè)的總收入超過總投入，由此bn－an>0， 即1 600×[()n－1]－4 000×[1－()n]>0， 令x＝()n，代入上式得 5x2－7x＋2>0， 解此不等式，得x<，或x>1(舍去)， 即()n<，由此得n≥5. 答：至少經(jīng)過 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入． 12．若數(shù)列An：a1， a2，…，an(n≥2)滿足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n

10、－1)，則稱An為E數(shù)列．記S(An)＝a1＋a2＋…＋an. (1)寫出一個E數(shù)列A5滿足a1＝a3＝0； (2)若a1＝12，n＝2 000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an＝2 011； (3)在a1＝4的E數(shù)列An中，求使得S(An)＝0成立的n的最小值． 解析：(1)0,1,0,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列A5.(答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是滿足條件的E數(shù)列A5) (2)必要性：因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列， 所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1 999)， 所以An是首項為12

11、，公差為1的等差數(shù)列， 所以a2 000＝12＋(2 000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a2 000－a1 999≤1， a1 999－a1 998≤1， …， a2－a1≤1， 所以a2 000－a1≤1 999，即a2 000≤a1＋1 999， 又因為a1＝12，a2 000＝2 011， 所以a2 000＝a1＋1 999， 故ak＋1－ak＝1＞0(k＝1,2，…，1 999)，即An是遞增數(shù)列． 綜上，結(jié)論得證． (3)對首項為4的E數(shù)列An，由于 a2≥a1－1＝3， a3≥a2－1≥2， …， a8≥a7－1≥－3， …， 所以a1＋a2＋…＋ak＞0(k＝2,3，…，8)． 所以對任意的首項為4的E數(shù)列An，若S(An)＝0，則必有n≥9. 又a1＝4的E數(shù)列A9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4滿足S(A9)＝0，所以n的最小值是9.