新版文科數(shù)學北師大版練習：第三章 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖像關于原點對稱的函數(shù)是(　　) A．y＝cos　　 B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，故A正確；y＝sin＝cos 2x，最小正周期為π，且為偶函數(shù)，其圖像關于y軸對

3、稱，故B不正確；C，D均為非奇非偶函數(shù)，其圖像不關于原點對稱，故C，D不正確． 答案：A 2．已知函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上為增函數(shù)，且圖像關于點(3π，0)對稱，則ω的取值集合為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知即其中k∈Z，則ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合為. 答案：A 3．(20xx·長春調研)函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2圖像的一條對稱軸方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π 解析：f(x)＝(sin x＋cos x)2＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝1＋sin 2x，將各選項代入

4、驗證可知，當x＝時，f(x)取得最值，故選A. 答案：A 4．函數(shù)f(x)＝tan的單調遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D(k∈Z) 解析：由kπ－<2x－

5、sin＝.又0≤ωx＜，所以＝，解得ω＝，選C. 答案：C 6．函數(shù)f(x)＝cos2－sin x－(x∈[0，π])的單調遞增區(qū)間為(　　) A．[0，] B．[0，] C．[，π] D．[，π] 解析：f(x)＝cos2－sin x－＝(2cos2－1)－sin x＝cos x－sin x＝cos(x＋)，由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)，又x∈[0，π]，所以當k＝1時，f(x)的單調遞增區(qū)間為[，π]，故選C. 答案：C 7．函數(shù)y＝(sin x＋cos x)2－1是(　　) A．最小正周期為2π的奇函數(shù) B．最小正周期為2

6、π的偶函數(shù) C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù) 解析：y＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x－1＝sin 2x，故選C. 答案：C 8．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)對任意x都有f＝f，則f等于(　　) A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 解析：因為函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意x都有f＝f，所以該函數(shù)圖像關于直線x＝對稱，因為在對稱軸處對應的函數(shù)值為最大值或最小值，所以選B. 答案：B 9．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在(0，π)上有且只有兩個零點，則實數(shù)ω 的取值范圍為(　

7、　) A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，] 解析：易得f(x)＝2sin(ωx－)，設t＝ωx－，因為0＜x＜π，所以－＜t＜ωπ－，因為函數(shù)f(x)在(0，π)上有且僅有兩個零點，所以π＜ωπ－≤2π，解得＜ω≤，故選B. 答案：B 10.(20xx·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示，其中圖像最高點和最低點的橫坐標分別為和，圖像在y軸上的截距為，給出下列四個結論： ①f(x)的最小正周期為π；②f(x)的最大值為2； ③f＝1；④f為奇函數(shù)． 其中正確結論的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C

8、．3 D．4 解析：由圖知，周期T＝2＝π， 則ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝. 由f(0)＝，得Asin＝，即A＝2. 所以f(x)＝2sin， 則f＝2sin＝2cos＝1， f＝2sin＝2sin 2x為奇函數(shù)．所以四個結論都正確． 答案：D 11．已知x∈(0，π]，關于x的方程2sin＝a有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為__________． 解析： 令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的圖像如圖所示．若2sin＝a在(0，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則y1與y2應有兩個不同的交點，所以

9、＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝__________. 解析：由題意可知f(x)＝sin為偶函數(shù)，所以φ＋＝＋kπ(k∈Z)．又由|φ|<，得φ＝. 答案： 13．當函數(shù)y＝s in x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值時，x＝________. 解析：由已知條件可得y＝2sin，又由0≤x＜2π得－≤x－＜，當x－＝時y取得最大值，此時x＝. 答案： B組——能力提升練 1．函數(shù)y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在區(qū)間內的圖像是(　　) 解析：y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝對比選項，可知選D. 答案：

10、D 2．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，則f(x)的一個單調遞增區(qū)間可以是(　　) A. B. C. D. 解析：∵f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ，又∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.當k＝0時，得≤x≤.即f(x)的一個單調遞增區(qū)間可以是. 答案：D 3．若函數(shù)y＝tan ωx(ω∈N*)的圖像的一個對稱中心是，則ω的最小值是(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：因為正切函數(shù)f(x)＝tan x圖像的對稱中心為(

11、k∈Z)，且函數(shù)y＝tan ωx(ω∈N*)的一個對稱中心是，所以＝(k∈Z)，因此ω＝3k(k∈Z)．因為ω∈N*，所以當k＝1時，ω取得最小值3，故選B. 答案：B 4．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的圖像與直線y＝b(0

12、)(A>0，ω>0)的圖像可知f(x)在區(qū)間[6k－3,6k]，k∈Z上是單調遞減的，故選B. 答案：B 5．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖像關于點(x0,0)成中心對稱，x0∈，則x0＝(　　) A.　　　 B. C.　　　　D. 解析：由題意得＝，T＝π，則ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，又x0∈，所以x0＝. 答案：A 6．已知函數(shù)f(x)＝cos2＋sinωx－(ω＞0)，x∈R，若f(x)在區(qū)間(π，2π)內沒有零點，則ω 的取值范圍是(　　) A．(0，] B．(0，]∪[，) C．(0，

13、] D．(0，]∪[，] 解析：函數(shù)f(x)＝cos2＋sin ωx－＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)，可得T＝≥π，0＜ω≤2，f(x)在區(qū)間(π，2π)內沒有零點，函數(shù)的圖像如圖兩種類型，結合三角函數(shù)可得： 或， 解得ω∈(0，]∪[，)． 答案：B 7．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖像的對稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是(　　) A. B．[－3,3] C. D. 解析：因為兩個函數(shù)圖像的對稱軸完全相同，所以這兩個函數(shù)的周期相同，即ω＝2，所以函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)．當x∈[0，]時，

14、2x－∈[－，]，由正弦函數(shù)的圖像及其性質知， f(x)min＝f(0)＝－，f(x)max＝f()＝3，故選A. 答案：A 8．(20xx·長沙市模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)，若存在x1，x2，…，xn滿足0≤x1＜x2＜…＜xn≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，則n的最小值為(　　) A．6 B．10 C．8 D．12 解析：f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)＝sin(x＋－)＝sin x，所以|f(xn－1)－f(xn)|≤2，又|f(x1)－f(x

15、2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，所以要使n取最小值，需x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，…，x7＝，x8＝6π.故滿足條件的最小整數(shù)n為8. 答案：C 9．設函數(shù)f(x)＝(x∈R)，則f(x)(　　) A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù) C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù) 解析：由f(x)＝可知，f(x)的最小正周期為π.由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調遞增；由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)

16、在(k∈Z)上單調遞減．將各選項逐項代入驗證，可知B正確． 答案：B 10．若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質：①f(x)是偶函數(shù)；②對任意實數(shù)x，都有f＝f.則f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x 解析：由題意可得，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且它的圖像關于直線x＝對稱．因為f(x)＝cos x是偶函數(shù)，f＝，不是最值，故不滿足圖像關于直線x＝對稱，故排除A.因為函數(shù)f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函數(shù)，不滿足條件①，故排除B.因為函數(shù)f(x)＝sin＝cos 4x是偶函數(shù)，且f＝－1，是

17、最小值，故滿足圖像關于直線x＝對稱，故C滿足條件．因為函數(shù)f(x)＝cos 6x是偶函數(shù)，f＝0，不是最值，故不滿足圖像關于直線x＝對稱，故排除D. 答案：C 11．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)圖像相鄰對稱軸間的距離為，f(0)＝，則g(x)＝2cos(ωx＋φ)在區(qū)間上的最小值為(　　) A．－ B．－2 C．－1 D．1 解析：由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期為π，則ω＝2，由f(0)＝，可得φ＝，所以g(x)＝2cos(ωx＋φ)即為g(x)＝2cos.因為x∈，所以2x＋∈，得－1≤cos≤，則g(x)在區(qū)間上的最小值為－2. 答案：B 12．已知函數(shù)f(x)＝2

18、cos22x－2.給出下列命題：①存在β∈R，f(x＋β)為奇函數(shù)；②存在α∈(0，)，f(x)＝f(x＋2α)對x∈R恒成立；③任意x1，x2∈R，若|f(x1)－f(x2)|＝2，則|x1－x2|的最小值為；④任意x1，x2∈R，若f(x1)＝f(x2)＝0，則x1－x2＝kπ(k∈Z)．其中的真命題有(　　) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 解析：由題意，f(x)＝2cos22x－2＝cos 4x－1.對于①，f(x)＝cos 4x－1的圖像如圖所示，函數(shù)f(x＋β)的圖像是f(x)的圖像向左或向右平移|β|個單位長度得到的，它不會是奇函數(shù)，故①錯誤；對于②，f(x)＝

19、f(x＋2α)，所以cos 4x－1＝cos(4x＋8α)－1，所以8α＝2kπ，k∈Z，所以α＝，k∈Z.又α∈(0，)，所以取α＝或時，f(x)＝f(x＋2α)對x∈R恒成立，故②正確；對于③，|f(x1)－f(x2)|＝|cos 4x1－cos 4x2|＝2時，|x1－x2|的最小值為＝＝，所以③正確；對于④，任意x1，x2∈R，當f(x1)＝f(x2)＝0時，x1－x2＝kT＝k·＝，k∈Z，所以④錯誤．綜上，真命題是②③，故選C. 答案：C 13．函數(shù)y＝tan的圖像與x軸交點的坐標是__________． 解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．∴函數(shù)y＝ta

20、n的圖像與x軸交點的坐標是，k∈Z. 答案：，k∈Z 14．設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為__________． 解析：由f(x)在區(qū)間上具有單調性，且f＝－f知，f(x)有對稱中心，由f＝f知f(x)有對稱軸x＝＝π. 記f(x)的最小正周期為T，則T≥－， 即T≥π.故π－＝＝， 解得T＝π. 答案：π 15．已知函數(shù)：①f(x)＝2sin(2x＋)；②f(x)＝2sin(2x－)；③f(x)＝2sin(x＋)；④f(x)＝2sin (2x－)．其中，最小正周期

21、為π且圖像關于直線x＝對稱的函數(shù)序號是________． 解析：對于①，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對稱軸為2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝不是函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋)圖像的對稱軸，①錯誤；對于②，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對稱軸為2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)圖像的對稱軸，②正確；對于③，其最小正周期T＝＝4π，③錯誤；對于④，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對稱軸為2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝不是函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)圖像的對稱軸，④錯誤． 答案：②