新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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2、 1 第三章 導(dǎo)數(shù) 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題型37 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 1（20xx湖北文10）.已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 1. 分析 由已知得有兩個正實(shí)數(shù)根，即的圖象與軸有兩 個交點(diǎn)，從而得的取值范圍. 解析 ，依題

3、意有兩個正實(shí)數(shù)根. 設(shè)，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，顯然當(dāng)時不合題意， 必有；，令，得，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，所以.故選B. 2． (20xx福建文12）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，的極大值點(diǎn)，以下結(jié) 論一定正確的是（ ）. A． B．是 的極小值點(diǎn) C．是 的極小值點(diǎn) D．是 的極小值點(diǎn) 2.分析 不妨取函數(shù)，則，易判斷為 的極大值點(diǎn)，但顯然不是最大值，故排除A. 解析 因?yàn)?，易知，為的極大值點(diǎn)，故排除B； 又，易知，為的極大值點(diǎn)，故排除C； 因?yàn)榈膱D象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得應(yīng)

4、為函數(shù)的極小值點(diǎn).故D正確. 3. (20xx安徽文20）設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間. （1）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）； （2）給定常數(shù)，當(dāng)時，求長度的最小值. 3.解 同理科卷17題. 4.（20xx江西文21）設(shè)函數(shù) 為常數(shù)且. (1)當(dāng)時，求； (2)若滿足但，則稱為的二階周期點(diǎn)，證明函數(shù) 有且僅有兩個二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)，； (3)對于（2）中，，設(shè)，，，記的面積為，求在區(qū)間上的最大值和最小值. 4.分析 （1）根據(jù)自變量的取值求出相應(yīng)的函數(shù)值；（2）根據(jù)自變量的取值和二階周期點(diǎn) 的定義解方程求出題目中的二階周期點(diǎn)；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果

5、用參數(shù)表示出三角形的面 積，通過導(dǎo)數(shù)求最值的方法得出最值. 解析 （1）當(dāng)時，，. （2） 當(dāng)時，由，解得2，因?yàn)椋什皇堑亩A周期點(diǎn)； 當(dāng)時，由解得. 因?yàn)椋? 故為的二階周期點(diǎn)； 當(dāng)時，由解得. 因?yàn)椋? 故不是的二階周期點(diǎn)； 當(dāng)時，由解得. 因?yàn)椋? 故為的二階周期點(diǎn). 因此，函數(shù)有且僅有兩個二階周期點(diǎn)，. （3）由（2）得，， 則，， 因?yàn)?，有? 所以 （或令， ，因?yàn)? 則在區(qū)間上的最小值為， 故對于任意，.） 則在區(qū)間上單調(diào)遞增， 故在區(qū)間上的最小值為，最大值為. 5. （20xx江蘇20） 設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù). （1）若在上是單調(diào)

6、減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍； （2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論. 5.分析（1）通過在上恒成立，在有解求得的取值范圍；（2）由在上恒成立得出的取值范圍，然后對進(jìn)行討論，研究的零點(diǎn). 解析 解：（1）令，考慮到的定義域?yàn)椋剩? 進(jìn)而解得，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù). 由于在上是單調(diào)減增函數(shù)，故，從而，即. 令，得. 當(dāng)時，；當(dāng)時，.又在上有最小值. 所以，即. 綜上可知，. （2）當(dāng)時，必為單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)時，令，解得，即.因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，類似（1）有，即. 結(jié)合上述兩種情況，得. ①當(dāng)時，由以及，得存在唯一

7、的零點(diǎn)； ②當(dāng)時，由于，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，所以只有一個零點(diǎn). ③當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，是的最大值點(diǎn)，且最大值為. a.當(dāng)，即時，有一個零點(diǎn). b.當(dāng)，即時，有兩個零點(diǎn).實(shí)際上，對于，由于.，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上只有一個零點(diǎn).下面考慮在上的情況.先證.為此，我們要證明：當(dāng)時，. 設(shè)，則，再設(shè)，則. 當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)增函數(shù). 當(dāng)時，，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)時，，即當(dāng)時，. 當(dāng)，即時，. 又，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點(diǎn)

8、. 又當(dāng)時，，故在上是單調(diào)減函數(shù)， 所以在上只有一個零點(diǎn).綜合①②③可知，當(dāng)或時，的零點(diǎn)個數(shù)為，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為. 6. (20xx浙江文21）已知，函數(shù). （1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若，求在閉區(qū)間上的最小值. 6.分析 （1）切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，求導(dǎo)后算出斜率，寫出切線方程即可.（2）要 確定 的最小值，因?yàn)榈淖钪凳怯善鋯握{(diào)性決定的，所以要先利用導(dǎo)數(shù)確定 的單調(diào)性，再確定極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.由于所給區(qū)間中含有絕對值，因此要分類 討論. 解析 （1）當(dāng)時，，所以.又因?yàn)?，所以切線方程為，即. （2）記為 在閉區(qū)間上的最小值. .令，得.

9、 當(dāng)時， 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 比較和的大小可得 當(dāng)時， 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 得. 綜上所述，在閉區(qū)間上的最小值為 7.（20xx重慶文19（1））已知函數(shù)在處取得極值. 確定的值； 7. 解析 求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以， 即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是的極大值點(diǎn). 8.（20xx安徽文21（2））已知函數(shù).若，求 在內(nèi)的極值. 8. 分析 由（1）可知在內(nèi)的極大值為，且在內(nèi)無

10、極小值. 解析 因?yàn)?，由?）可知在內(nèi)的極大值為， 在內(nèi)無極小值.故在內(nèi)極大值為，無極小值. 9.（20xx北京文19（1））設(shè)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值； 9. 解析 函數(shù)的定義域?yàn)?，? 令，得， 當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 當(dāng)時，函數(shù)取得極小值. 10.（20xx湖南文21（1））函數(shù)，記為的從小到大 的第個極值點(diǎn).證明：數(shù)列是等比數(shù)列； 10. 解析 令，由，得，即， 而對于，當(dāng)時， 若，即，則； 若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號總相反， 于是當(dāng)時，取得極值，所以， 此時，，易知， 而是常數(shù)， 故數(shù)列是首項(xiàng)為，

11、公比為的等比數(shù)列. 11.（20xx新課標(biāo)2卷文21(2)）已知函數(shù).當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍. 11. 分析 由(1)知當(dāng)時，在上無最大值；當(dāng)時，最大值為，因此，故.令，則在上是增函數(shù). 當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此的取值范圍是. 解析 由(1)知，當(dāng)時，在上無最大值；當(dāng)時，在處取得最大值，最大值為. 因此等價于. 令，則在上單調(diào)遞增，又. 于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，. 因此，的取值范圍是. 評注 高考中對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，主要體現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的工具性來解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的終極內(nèi)容，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后用導(dǎo)數(shù)這一工具可使求解更直接簡單，特別要注意函數(shù)的定義域和對參數(shù)進(jìn)行討

12、論. 12.（20xx山東文20 (3)）設(shè)函數(shù)，. 已知曲線在點(diǎn) 處的切線與直線平行.設(shè)函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值. 12.解析 由（2）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時，，時，，所以. 當(dāng)時，若，； 若，由，可知.故. 當(dāng)時，由，可得時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；故. 又，所以函數(shù)的最大值為. 13.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（ ）. A. B. C. D. 13.D 解析 令得，或易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極小值為，由已知得.故選D 14.（20xx山東文20）設(shè)，. （1）令，求的單調(diào)

13、區(qū)間； （2）已知在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 14. 解析 （1）由，可得， 則， 當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減. 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為； 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，. ①當(dāng)時， 單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，單調(diào)遞增. 所以在處取得極小值，不合題意. ②當(dāng)時，，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增， 可得當(dāng)時，，時，， 所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意. ③當(dāng)時，即時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時，， 單調(diào)遞減，不合題意

14、. ④當(dāng)時，即 ，當(dāng)時，，單調(diào)遞增， 當(dāng)時，，單調(diào)遞減， 所以在處取得極大值，合題意. 綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 15.（20xx天津文20）設(shè)函數(shù)，，其中. （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：； （3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 15.解析 （1）由，可得，下面分兩種情況討論： ①當(dāng)時，有恒成立，所以在上單調(diào)遞增. ②當(dāng)時，令，解得或. 當(dāng)變化時，，的變化情況如表所示. 0 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，. （2）證明：因

15、為存在極值點(diǎn)，所以由（1）知且. 由題意得，即，所以. 又，且， 由題意及（1）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足，且，因此，所以. （3）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示，兩數(shù)的最大值，下面分三種情況討論： ①當(dāng)時，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此， 所以 ②當(dāng)時，， 由（1）和（2） 知，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為， 所以 . ③當(dāng)時，， 由（1）和（2）知，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此. 綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值不小于. 16.（20xx北京文20）已知函數(shù). （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和

16、最小值. 16.解析 . （1），，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為. （2）. 因?yàn)?，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，. 17.（20xx山東文20）已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值. 解析 （1）由題意，. （1）當(dāng)時，，，所以， 因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即. （2）因?yàn)?，所? 令，則 ，所以在上單調(diào)遞增. 因?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，. ①當(dāng)時，， 當(dāng)時，，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，，單調(diào)遞增. 所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值是，

17、當(dāng)時，取到極小值，極小值是. ②當(dāng)時，. 當(dāng)時，，單調(diào)遞增. 所以，在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值. ③當(dāng)時，. 當(dāng)時，，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，，單調(diào)遞增. 所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值是； 當(dāng)時，取到極小值，極小值是. 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是； 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是. 18.（20xx浙江20） 已知函數(shù). （1）求的導(dǎo)函數(shù)； （2）求在區(qū)間上的取值范圍. 18.

18、解析 （1）因?yàn)?，， 所以. （2）由，解得或. 當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示. 1 0 0 ↘ 0 ↗ ↘ 又，，所以在區(qū)間上的取值范圍是. 19.（20xx江蘇20）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）. （1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）證明：； （3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍． 19.解析 （1）由，得， 當(dāng)時，有極小值為． 因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn)， 所以，又，故． 當(dāng)時，恒成立，即單調(diào)遞增， 所以此

19、時不存在極值，不合題意． 因此，即，所以． 有兩個相異的實(shí)根，. 列表如下 x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點(diǎn)是，從而. 所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)椋? （2）解法一：由（1）知，即證明，即， 因?yàn)?，所以問題等價于， 不妨設(shè)，則，不妨設(shè)， 易知在上單調(diào)遞增，且， 從而，即得證． 因此． 解法二（考試院提供）：由（1）知，． 設(shè)，則． 當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增． 因?yàn)椋?，故，即? 因此． （3）由（1）設(shè)的兩個實(shí)根為，且設(shè)， 且有，因此． 而的情況如下表所示：

20、 極大值 極小值 所以的極值點(diǎn)是， 從而 ． 記，所有極值之和為， 因?yàn)榈臉O值為，所以，． 處理方法一：因?yàn)椋谑窃谏蠁握{(diào)遞減． 因?yàn)?，由，故? 處理方法二：所以，整理得（必然可以猜測零點(diǎn)）， ，因此． 因此的取值范圍為． 評注 ①此題第（2）問考查的是數(shù)值大小的比較，常見的有作差法、作商法、兩邊平方比較法，此題采用作商（考試院解法二）化簡函數(shù)達(dá)到簡化效果，可見對于壓軸問題，方法的選擇是非常關(guān)鍵的． ②第（3）問實(shí)際考查的是函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，下面提供此前我們做過的兩個類似習(xí)題供參考． 案例1：已知函數(shù)，若函數(shù)存在極值，

21、且所有極值之和小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 解析 因?yàn)椋? 設(shè)，當(dāng)時，恒成立， 所以單調(diào)遞減，故不存在極值； 所以，設(shè)的兩根為（不妨設(shè)）， 從而，因此同號， 所以問題等價于在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根， 因此，從而． 所以的所有極值之和為 ， 因此，解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． ④另外，如果熟悉三次函數(shù)對稱中心，此題還可以作如下考慮： 即，，， 令，則，所以該三次函數(shù)的對稱中心為． 因此有 ． 這里可以采用假算的思想，即寫出簡單過程，省去中間過于復(fù)雜的運(yùn)算過程，直接寫出結(jié)果即可，這需要平時積累一些有價值的素材． 案例2：（徐州15-1

22、6高二下學(xué)期期末文20）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)． （1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若存在實(shí)數(shù)，且，使得，求證：． 解析 （1）若，則，， 所以切線斜率為，又， 所以在點(diǎn)處的切線方程為． （2），． ①當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為； ②當(dāng)時，令，得或， 所以的單調(diào)增區(qū)間為和， 同理的單調(diào)減區(qū)間為； ③當(dāng)時，令，得． 所以的單調(diào)增區(qū)間為，同理的單調(diào)減區(qū)間為． （3）由題意可知，是方程的兩根， 則，， 所以． 令，． 則恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 所以，即． 題型38 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的圖像 1.（20xx浙江

23、7）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）. 1.解析 導(dǎo)數(shù)大于零，原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零，原函數(shù)單調(diào)遞減，對照導(dǎo)函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像.故選D． 題型39 恒成立與存在性問題 1. (20xx遼寧文21）（1）證明：當(dāng)時，； （2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 1.分析 利用構(gòu)造法，分別判斷與，與的大小關(guān)系；利用比較法或構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求解范圍. 解析 （1）證明：記，則， 當(dāng)時，，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時，，在上是減函數(shù). 又，，所以當(dāng)時，，即. 記，則當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，則,即． 綜上，，. （2）解法一：因?yàn)楫?dāng)時， ，

24、 所以，當(dāng)時，不等式對恒成立． 下面證明，當(dāng)時，不等式對不恒成立. 因?yàn)楫?dāng)時， , 所以存在 滿足， 即當(dāng)時，不等式對不恒成立. 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是． 解法二：記，則 . 記，則. 當(dāng)時，，因此． 于是在上是減函數(shù)，因此，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，從而在上是減函數(shù)，所以，即當(dāng)時，不等式對恒成立. 下面證明，當(dāng)時，不等式對不恒成立. 當(dāng)時，，所以當(dāng)時，， 因此在上是增函數(shù)，故； 當(dāng)時，． 又，故存在使，則當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，． 所以當(dāng)時，不等式，對不恒成立. 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 2.（20xx福建文22）（本小題滿分12分）

25、已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為. （1）求的值及函數(shù)的極值； （2）求證：當(dāng)時， （3）求證：對任意給定的正數(shù)c，總存在，使得當(dāng)時，恒有 3. （20xx廣東文21）(本小題滿分14分) 已知函數(shù). （1） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2） 當(dāng)時，試討論是否存在，使得. 4.（20xx江蘇23）（本小題滿分10 分） 已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，． （1）求的值； （2）求證：對任意的，等式都成立． 5.（20xx遼寧文21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. 求證：（1）存在唯一，使； （2）存在唯一，使，且對（1）中的，有. 6.（20xx

26、天津文19）（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍. 7. （20xx浙江文21）函數(shù)，若在上的最小值記為. （1）求； （2）求證：當(dāng)時，恒有. 8.（20xx陜西文21）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù). （1） 當(dāng)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值； （2） 討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)； （3）若對任意，恒成立，求m的取值范圍. 9.（20xx福建文12）“對任意，”是“”的（ ）. A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

27、 9. 解析 當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，. 則，故在上單調(diào)遞減， 故，則； 當(dāng)時，不等式等價于， 構(gòu)造函數(shù)，則， 故在上單調(diào)遞減，故，則. 綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件.故選B. 10.（20xx福建文22（3））已知函數(shù)．確定實(shí)數(shù)的所有可能取值， 使得存在，當(dāng)時，恒有． 10. 分析 由（2）知，當(dāng)時，不存在滿足題意；當(dāng)時，對于， 有，則，從而不存在滿足題意；當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀，只要存在，當(dāng)時，即可． 解析 由（2）知，當(dāng)時，不存在滿足題意； 當(dāng)時，對于，有，則， 從而不存在滿足題意. 當(dāng)時，令，， 則有． 由得，． 解得（舍

28、），． 當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增． 從而當(dāng)時，，即. 綜上，的取值范圍是． 11.（20xx湖南文21（2））函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點(diǎn).若對一切恒成立，求的取值范圍. 11. 解析 對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（）， 設(shè)，則，令得， 當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增； 因?yàn)椋耶?dāng)時，， 所以， 因此恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得， 故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 12.（20xx四川文21（2））已知函數(shù)，其中. 求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 12. 解析 由，解得， 令. 則，，所以存在，使得. 令，其中. 由，可知

29、函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故，即. 當(dāng)時，有，， 再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 當(dāng)時，，所以； 當(dāng)時，，所以. 又當(dāng)時，，故時，. 綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 13.（20xx全國甲文20）已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程； （2）若當(dāng)時，，求的取值范圍. 13. 解析 （1）當(dāng)時，，因此， ，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ，即，得. （2）解法一：從必要條件做起. 因?yàn)椋瑢τ?，? 又，則，得. 當(dāng)時，，， 又，因此在上單調(diào)遞增， 所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以，證畢. 綜上所述，的取值范圍是. 解法二（目標(biāo)前

30、提法）：若對于，，顯然不等式恒成立的前提條件是，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即對恒成立，得. 設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以. 再證當(dāng)時，不等式不恒成立. 因?yàn)?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.又，令，則，使得，函數(shù)在上單調(diào)遞減.又，所以對于，與題意中對于，不恒成立，故舍去. 綜上所述，的取值范圍是. 解法三：直接從最值的角度轉(zhuǎn)化. 本題對于，，則只須對于，. 因?yàn)椋?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞增. 又. 若，即，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，滿足題意. 若，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減， 則，不滿足題意. 綜上所述，的取值范圍是. 14.（20xx四川文21）設(shè)函數(shù)，，其中，為自然

31、對數(shù)的底數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）求證：當(dāng)時，； （3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立. 14.解析 （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞減. 當(dāng)時，由，得 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增. （2）要證明當(dāng)時，，即，等價于證明當(dāng)時，. 構(gòu)造輔助函數(shù)，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，，即，即. （3）依題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則對于，. 又，，則對于，恒有，因此不滿足題意. 令，且. 因?yàn)閷τ?，恒成? 又， 所以，設(shè). 且 ，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增. 又因?yàn)?，所以?dāng)時，恒成立，即恒成立. 綜

32、上所述，的取值范圍為. 15.（20xx全國1文21）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若，求的取值范圍. 15.解析 （1）. ①當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，恒成立，令，則， 故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； ③當(dāng)時，恒成立，令，則，即， 所以，所以在上單調(diào)遞增，同理在上單調(diào)遞減． （2）①當(dāng)時，恒成立，符合題意； ②當(dāng)時，， 故，即； ③當(dāng)時， ， 從而，故，所以． 綜上所述，的取值范圍為． 16.（20xx全國2文21）設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)時，，求的取值范圍. 16.解析 （1）. 令，得，解得，.所

33、以當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù). （2）因?yàn)闀r，，所以.所以，令，則，即時，，而，所以，所以，. 再令，，當(dāng)時，恒成立. 所以在上是增函數(shù)，恒有，從而是增函數(shù)，，，在上恒成立，故即為所求. 17.（20xx天津文19）設(shè)，.已知函數(shù)，. （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）已知函數(shù)和的圖像在公共點(diǎn)處有相同的切線. （i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0； （ii）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍. 17.解析 （1）由. 可得， 令，解得或.由，得. 當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示. 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）（i）因?yàn)?，由題意知， 所以，解得. 所以，在處的導(dǎo)數(shù)等于0. （ii）因?yàn)?，，由，可? 又因?yàn)?，，故為的極大值點(diǎn)，由（1）知. 另一方面，由于，故. 由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，在上恒成立，從而在上恒成立. 由，得，. 令，，所以. 令，解得（舍去）或.所以當(dāng)時，，當(dāng)，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 因?yàn)?，，，故的值域?yàn)? 所以的取值范圍是. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org