2、( )
A．p1∧p2 B．p1∨(綈p2)
C．p1∨p2 D．p1∧(綈p2)
4．x，y滿足約束條件目標函數z＝2x＋y，則z的取值范圍是( )
A．[－3,3] B．[－3,2]
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
5．將函數f(x)＝2sin的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，再向右平移φ(φ>0)個單位后得到的圖象關于直線x＝對稱，則φ的最小值是( )
A. B.
C. D.
6．(20xx·河南實驗中學質檢)已知數列{an}的通項為an＝log(n＋1)(n＋2) (n∈N*)，我們把使乘積a1·a2·a3·…·an為整數的n叫做“優(yōu)數”，則在(0,
3、2 016]內的所有“優(yōu)數”的和為 ( )
A．1 024 B．2 012
C．2 026 D．2 036
7．一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是( )
A. B.
C. D.
8．設隨機變量X～B(6，)，則P(X＝3)等于( )
A. B.
C. D.
9．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列四個命題正確的是( )
A．m，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β
B．m?α
4、，α∥β，則m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，n∥β，則m⊥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β
10.如圖，設F1，F2分別為等軸雙曲線x2－y2＝a2的左，右焦點，A為雙曲線的左頂點，以F1F2為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于M，N兩點，則cos∠MAN等于( )
A. B．－
C. D．－
11．設a＝?(sin x＋cos x)dx，則6的展開式中的常數項是( )
A．160 B．－160
C．26 D．－26
12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的k＝5，則輸入的整數p的最大值為( )
A．7 B．15
C．31 D．63
二、
5、填空題
13．已知函數f(x)對任意的x∈R，都有f＝f，函數f(x＋1)是奇函數，當－≤x≤時，f(x)＝2x，則方程f(x)＝－在區(qū)間[－3,5]內的所有零點之和為________．
14．假設你家訂了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之間把牛奶送到你家，你離開家去學校的時間在早上7：00～8：00之間，則你在離開家前能得到牛奶的概率是________．
15．已知三角形ABC的三個頂點都在橢圓＋＝1 (a>b>0)上，且AB⊥x軸，AC∥x軸，則的最大值為________．
16．已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調函數，且對任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)
6、－log2x)＝3，則方程f(x)－f′(x)＝2的解所在的區(qū)間是________．(填序號)
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．
三、解答題
17．(20xx·烏魯木齊三診)若函數f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax－ (a>0)的圖象與直線y＝b相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列．
(1)求a，b的值；
(2)若x0∈，且x0是y＝f(x)的零點，試寫出函數y＝f(x)在上的單調增區(qū)間．
18．為拉動經濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數分
7、別占總數的，，.現有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設．
(1)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；
(2)記ξ為3人中選擇的項目屬于基礎設施工程或產業(yè)建設工程的人數，求ξ的分布列及均值．
19．(20xx·內江期末)如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.
(1)證明：EM⊥BF；
(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．
20.(20xx·晉江第四次聯考)在數列{an}中，a1＝
8、1，a2＝，an＋1－an＋an－1＝0 (n≥2，且n∈N*)，若數列{an＋1＋λan}是等比數列．
(1)求實數λ；
(2)求數列{an}的通項公式；
(3)設Sn＝，求證：Sn<.
21．(20xx·鄭州二檢)已知函數f(x)＝ax＋ln(x－1)，其中a為常數．
(1)試討論f(x)的單調區(qū)間；
(2)當a＝時，存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，求b的取值范圍．
22．(20xx·滕州第三中學期末)如圖，直線l：y＝x＋b (b>0)，拋物線C：y2＝2px(p>0)，已知點P(2，2)在拋物線C上，且拋物線C上的點到直線l的
9、距離的最小值為.
(1)求直線l及拋物線C的方程；
(2)過點Q(2,1)的任一直線(不經過點P)與拋物線C交于A，B兩點，直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在實數λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
答案精析
1． A [A＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{y|y＝log2(x＋3)，x∈A}＝{x|0≤x≤2}，
2． 所以?UB＝{x|x<0或x>2}，所以A∩(?UB)＝{x|－2≤x<0}，故選A.]
2．C
3．D [函數y＝ln[(1－x
10、)(1＋x)]的定義域是(－1,1)且是偶函數，命題p1為真命題；函數y＝ln 的定義域是(－1,1)且是奇函數，命題p2是真命題．故命題p1∧p2、p1∨(綈p2)、p1∨p2均為真命題，只有命題p1∧(綈p2)為假命題．]
4．C [畫出滿足約束條約的平面區(qū)域，如圖所示：
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，顯然直線y＝－2x＋z過(0,2)時，z最小，最小值為2，無最大值．故選C.]
5．D [將函數f(x)＝2sin的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，得到函數y＝2sin的圖象，再向右平移φ個單位，得到y＝2sin的圖象，此圖象關于直線x＝對稱，故2×－2φ＋＝＋kπ (k∈Z)
11、，解得φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φmin＝，故選D.]
6．C [因為a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，則0
12、
9．B [對于A，根據面面平行的判斷定理可知缺少條件“m與n相交”，故A不正確；對于B，若α∥β，則α，β無交點，又m?α，所以m，β無交點，即m∥β，故B正確；對于C，若α⊥β，n∥β，則n可以垂直于α，又m⊥α，所以m可以平行于n，故C不正確；對于D，α⊥γ，β⊥γ時，α，β也可能平行，故D不正確．]
10．D [等軸雙曲線x2－y2＝a2的兩條漸近線方程為y＝±x，
所以M(－a，－a)，N(a，a)，則|AN|2＝(a＋a)2＋a2＝5a2，|AM|2＝a2，|MN|2＝8a2，則
cos∠MAN＝＝－.]
11．B [a＝?(sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋s
13、in x)|＝2，則6＝6，它的展開式的通項公式為Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x3－r，令3－r＝0，得r＝3，
故展開式中的常數項是－C·26－3＝－160，選B.]
12．B [由程序框圖可知；①S＝0，k＝1；②S＝1，k＝2；③S＝3，k＝3；④S＝7，k＝4；⑤S＝15，k＝5.第⑤步后輸出k，此時S＝15≥p，則p的最大值為15，故選B.]
13．4
解析 因為函數f(x＋1)是奇函數，所以函數f(x＋1)的圖象關于點(0,0)對稱，把函數f(x＋1)的圖象向右平移1個單位可得函數f(x)的圖象，所以函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，
可得－f＝f，又因為f
14、＝f，
所以－f＝f，再令x取x＋1可得－f＝f，
所以有f＝f，
可得f(x)＝f(x＋2)，所以函數f(x)的周期為2，圖象如圖所示，故方程f(x)＝－在區(qū)間[－3,5]內的所有零點之和為×2×4＝4.
14.
解析 設牛奶送達的時間為x，我離開家的時間為y，則樣本空間Ω＝{(x，y)|
在離開家前能得到牛奶的事件A＝{(x，y)|
作圖如下，可得所求概率P＝1－＝.
15.
解析 不妨設橢圓上的點A(m，n) (m>0，n>0)，由題意得B(m，－n)，C(－m，n)，則|AC|＝2m，|AB|＝2n，|BC|＝2，則＝＝≤＝(當且僅當m＝n，即△ABC是以A為
15、直角頂點的等腰直角三角形時等號成立)．
16．②
解析 根據題意，f(x)－log2x>0且是唯一的值，設t＝f(x)－log2x，則f(x)＝t＋log2x，
又f(t)＝3，所以3＝t＋log2t，此方程有唯一解t＝2，所以f(x)＝2＋log2x.方程f(x)－f′(x)＝2，即方程log2x－＝0.設h(x)＝log2x－，則該函數為(0，＋∞)上的增函數．
又h(1)＝－<0，h(2)＝1－>0，
所以方程f(x)－f′(x)＝2的解在區(qū)間(1,2)內．
17．解 (1)f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax－＝－sin 2ax－＝－sin，
∵y＝f(x)
16、的圖象與直線y＝b相切，
∴b為f(x)的最大值或最小值，
即b＝－1或b＝1.
∵切點的橫坐標依次成公差為的等差數列，
∴f(x)的最小正周期為，
即T＝＝，a>0，
∴a＝2，即f(x)＝－sin.
(2)由題意知sin＝0，
則4x0＋＝kπ (k∈Z)，
∴x0＝－ (k∈Z)，
由0≤－≤ (k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此x0＝或x0＝.
當x0＝時，y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為和；
當x0＝時，y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為.
18．解 記第i名工人選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由題意知A1，
17、A2，A3相互獨立，B1，B2，B3相互獨立，C1，C2，C3相互獨立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互獨立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，
P(Ci)＝.
(1)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率
P＝3！·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數為η，
由已知，η～B，且ξ＝3－η.
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2×＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.
故ξ的分布列是
18、
ξ
0
1
2
3
P
ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
19．(1)證明 ∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A，∴BM⊥平面ACFE，而EM?平面ACFE，
∴BM⊥EM.
∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC＝90°.
又∵∠BAC＝30°，AC＝4，
∴AB＝2，BC＝2，AM＝3，CM＝1.
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，＝，
∴FC⊥平面ABC，
∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形，∴∠EMA＝∠FMC＝45°，
∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF.
∵MF∩BM＝M，∴E
19、M⊥平面MBF.
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF.
(2)解 如圖，延長EF交AC的延長線于G，連接BG，過C作CH⊥BG，連接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG.
而FC∩CH＝C，∴BG⊥平面FCH.
∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BM＝AB·sin 30°＝，
由＝＝，得GC＝2.
∴BG＝＝2.
又∵△GCH∽△GBM，
∴＝，
則CH＝＝＝1.
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC＝45°，
∴平面BE
20、F與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.
20．(1)解 由數列{an＋1＋λan}是等比數列，可設an＋1＋λan＝μ(an＋λan－1) (n≥2)．
∴an＋1＋(λ－μ)an－λμan－1＝0，
∵an＋1－an＋an－1＝0，
∴∴λ＝－或λ＝－3.
(2)解 由(1)知，n≥2，λ＝－時，
an－an－1＝3n－1，①
n≥2，λ＝－3時，an－3an－1＝.②
由①②可得an＝(n≥2)，當n＝1時，也符合．
∴an＝(3n－)，n∈N*.
(3)證明 由(2)知，
an＝>0，
∵an－3an－1＝，∴an>3an－1，
∴<· (n≥2)．
∴Sn
21、<＋＝＋－<＋Sn.
∴Sn<.
21．解 (1)由已知得函數f(x)的定義域為{x|x>1}，f′(x)＝a＋＝.
當a≥0時，f′(x)>0在定義域內恒成立，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)，
當a<0時，由f′(x)＝0得x＝1－>1，
當x∈時，f′(x)>0；
當x∈時，f′(x)<0，
f(x)的單調遞增區(qū)間為，
單調遞減區(qū)間為.
綜上，當a≥0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)；
當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,1－)，單調遞減區(qū)間為(1－，＋∞)．
(2)由(1)知當a＝時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，e)，單調遞減區(qū)間為(e，＋∞)
22、．
所以f(x)max＝f(e)＝＋ln(e－1)<0，
所以|f(x)|≥－f(e)＝－ln(e－1)恒成立，當且僅當x＝e時取等號．
令g(x)＝，則g′(x)＝，
當10；
當x>e時，g′(x)<0，
從而g(x)在(1，e)上單調遞增，
在(e，＋∞)上單調遞減，
所以g(x)max＝g(e)＝＋，
所以存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，
只需－ln(e－1)－≤＋，
即b≥－－2ln(e－1)．
22．解 (1)∵點P(2,2)在拋物線C上，∴p＝1.
設與直線l平行且與拋物線C相切的直線l′的方程為y＝x＋m，
由
得x2
23、＋(2m－2)x＋m2＝0，Δ＝(2m－2)2－4m2＝4－8m，
由Δ＝0，得m＝，
則直線l′的方程為y＝x＋.
兩直線l，l′間的距離即為拋物線C上的點到直線l的最短距離，
有＝，
解得b＝2或b＝－1(舍去)．
∴直線l的方程為y＝x＋2，拋物線C的方程為y2＝2x.
(2)∵直線AB的斜率存在，且k≠0，
∴設直線AB的方程為y－1＝k(x－2)(k≠0)，
即y＝kx－2k＋1.
聯立
得ky2－2y－4k＋2＝0(k≠0)，
設點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝(k≠0)，y1y2＝(k≠0)．
∵k1＝＝＝，k2＝，
∴k1＋k2＝＋
＝
＝＝(k≠0)．
聯立
得xM＝，yM＝，
∴k3＝＝，
∴k1＋k2＝2k3.
∴存在實數λ，使得k1＋k2＝λk3成立，且λ＝2.
新編高三數學 階段滾動檢測六
