高中數(shù)學(xué)講義微專(zhuān)題10函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題
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1、微專(zhuān)題10 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題 一、知識(shí)點(diǎn)講解與分析: 1、零點(diǎn)的定義:一般地,對(duì)于函數(shù),我們把方程的實(shí)數(shù)根稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn) 2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且,那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),即至少有一點(diǎn),使得。 (1)在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提 (2)零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”(假設(shè)連續(xù)) ① 若,則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè),可以有多個(gè) ② 若,那么在不一定有零點(diǎn) ③ 若在有零點(diǎn),則不一定必須異號(hào) 3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù),則在的零點(diǎn)唯一 4、函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系 設(shè)函數(shù)為,則的零點(diǎn)即為滿足方程的根,
2、若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?,即方程的根在坐?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo),其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到。 由此看來(lái),函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn),且能相互轉(zhuǎn)化,在解決有關(guān)根的問(wèn)題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問(wèn)題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。(詳見(jiàn)方法技巧) 二、方法與技巧: 1、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用:若一個(gè)方程有解但無(wú)法直接求出時(shí),可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù),從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。例如:對(duì)于方程,無(wú)法直接求出根,構(gòu)造函數(shù),由即可判定其零點(diǎn)必在中 2、函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問(wèn)題中的作用 (1)函數(shù)的零點(diǎn): 工具:零點(diǎn)存在性定理
3、 作用:通過(guò)代入特殊值精確計(jì)算,將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。 缺點(diǎn):方法單一,只能判定零點(diǎn)存在而無(wú)法判斷個(gè)數(shù),且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān) (2)方程的根: 工具:方程的等價(jià)變形 作用:當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時(shí),可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程,從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形,構(gòu)造出便于分析的函數(shù) 缺點(diǎn):能夠直接求解的方程種類(lèi)較少,很多轉(zhuǎn)化后的方程無(wú)法用傳統(tǒng)方法求出根,也無(wú)法判斷根的個(gè)數(shù) (3)兩函數(shù)的交點(diǎn): 工具:數(shù)形結(jié)合 作用:前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形,而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn),是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征,是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過(guò)圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(即零點(diǎn)
4、,根的個(gè)數(shù))或者確定參數(shù)的取值范圍。 缺點(diǎn):數(shù)形結(jié)合能否解題,一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)(故當(dāng)方程含參時(shí),通常進(jìn)行參變分離,其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像,那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直線,所以便于觀察),另一方面取決于作圖的精確度,所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧,以及作圖時(shí)速度與精度的平衡(作圖問(wèn)題詳見(jiàn):1.7 函數(shù)的圖像) 3、在高中階段主要考察三個(gè)方面:(1)零點(diǎn)所在區(qū)間——零點(diǎn)存在性定理,(2)二次方程根分布問(wèn)題,(3)數(shù)形結(jié)合解決根的個(gè)數(shù)問(wèn)題或求參數(shù)的值。其中第(3)個(gè)類(lèi)型常要用到函數(shù)零點(diǎn),方程,與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,請(qǐng)通過(guò)例題體會(huì)如何利用方程構(gòu)造出函數(shù),進(jìn)而通過(guò)圖像解決問(wèn)
5、題的。 三、例題精析: 例1:直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn),則的取值范圍為 ( ). A. B. C. D. 思路:考慮數(shù)形結(jié)合,先做出的圖像,,令可解得:或,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,函數(shù)的極大值為,極小值為,做出草圖。而為一條水平線,通過(guò)圖像可得,介于極大值與極小值之間,則有在三個(gè)相異交點(diǎn)??傻茫? 答案:A 小煉有話說(shuō):作圖時(shí)可先作常系數(shù)函數(shù)圖象,對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù),先分析參數(shù)所扮演的角色,然后數(shù)形結(jié)合,即可求出參數(shù)范圍。 例2:設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________ 思路:方程等價(jià)
6、于:,即函數(shù)與的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn),分析的單調(diào)性并作出草圖: 令解得: 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,由圖像可得,水平線位于之間時(shí),恰好與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 答案: 小煉有話說(shuō):(1)本題中的方程為,在構(gòu)造函數(shù)時(shí),進(jìn)行了與的分離,此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線,而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含所以為一條水平線,便于上下平移,進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。由此可得:若關(guān)于的函數(shù)易于作出圖像,則優(yōu)先進(jìn)行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)?,?gòu)造函數(shù)并進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。 (2)在作出函數(shù)草圖時(shí)要注意邊界值是否能夠取到,數(shù)形結(jié)合時(shí)也要注意能否取到邊界值。 例3:已知函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
7、 ) A. B. C. D. 思路:函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根,進(jìn)而等價(jià)于與圖像有三個(gè)不同交點(diǎn),作出的圖像,則的正負(fù)會(huì)導(dǎo)致圖像不同,且會(huì)影響的位置,所以按進(jìn)行分類(lèi)討論,然后通過(guò)圖像求出的范圍為。 答案:D 小煉有話說(shuō):(1)本題體現(xiàn)了三類(lèi)問(wèn)題之間的聯(lián)系:即函數(shù)的零點(diǎn)方程的根函數(shù)圖象的交點(diǎn),運(yùn)用方程可進(jìn)行等式的變形進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,解決這類(lèi)問(wèn)題要選擇合適的函數(shù),以便于作圖,便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。 (2)本題所求在圖像中扮演兩個(gè)角色,一方面決定左側(cè)圖像直線的傾斜角,另
8、一方面決定水平線的位置與軸的關(guān)系,所以在作圖時(shí)要兼顧這兩方面,進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。 例4:已知函數(shù)滿足,當(dāng),若在區(qū)間內(nèi), 函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:,當(dāng)時(shí),,所以,而有三個(gè)不同零點(diǎn)與有三個(gè)不同交點(diǎn),如圖所示,可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間,所以可解得: 答案:B 小煉有話說(shuō):本題有以下兩個(gè)亮點(diǎn)。 (1)如何利用 ,已知的解析式求的解析式。 (2)參數(shù)的作用為直線的斜率,故數(shù)形結(jié)合求出三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的范圍 例5:已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(
9、 ) A. 4 B.6 C.8 D.10 思路:由為偶函數(shù)可得:只需作出正半軸的圖像,再利用對(duì)稱(chēng)性作另一半圖像即可,當(dāng)時(shí),可以利用利用圖像變換作出圖像,時(shí),,即自變量差2個(gè)單位,函數(shù)值折半,進(jìn)而可作出,,……的圖像,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為根的個(gè)數(shù),即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù),觀察圖像在時(shí),有5個(gè)交點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得時(shí),也有5個(gè)交點(diǎn)。共計(jì)10個(gè)交點(diǎn) 答案:D 小煉有話說(shuō): (1)類(lèi)似函數(shù)的周期性,但有一個(gè)倍數(shù)關(guān)系。依然可以考慮利用周期性的思想,在作圖時(shí),以一個(gè)“周期”圖像為基礎(chǔ),其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可 (2)周期性函數(shù)作圖時(shí),若函數(shù)圖像不連續(xù),則要注意每個(gè)周期的邊界
10、值是屬于哪一段周期,在圖像中要準(zhǔn)確標(biāo)出,便于數(shù)形結(jié)合。 (3)巧妙利用的奇偶性,可以簡(jiǎn)化解題步驟。例如本題中求交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),只需分析正半軸的情況,而負(fù)半軸可用對(duì)稱(chēng)性解決 例6:對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足,稱(chēng)為“局部奇函數(shù)”,若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:由“局部奇函數(shù)”可得: ,整理可得:,考慮到,從而可將視為整
11、體,方程轉(zhuǎn)化為:,利用換元設(shè)(),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需讓方程存在大于等于2的解即可,故分一個(gè)解和兩個(gè)解來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論。設(shè)。 (1)若方程有一個(gè)解,則有相切(切點(diǎn)大于等于2)或相交(其中交點(diǎn)在兩側(cè)),即或,解得:或 (2)若方程有兩解,則,解得:,綜上所述: 答案:A 小煉有話說(shuō):本題借用“局部奇函數(shù)”概念,實(shí)質(zhì)為方程的根的問(wèn)題,在化簡(jiǎn)時(shí)將視為整體,進(jìn)而將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問(wèn)題,進(jìn)行求解。 例7:已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線,當(dāng)時(shí),,則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C
12、.2 D.0或2 思路:,結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程,結(jié)合條件中的不等式,可將方程化為,可設(shè),即只需求出的零點(diǎn)個(gè)數(shù),當(dāng) 時(shí),,即在上單調(diào)遞增;同理可得:在上單調(diào)遞減,,故,所以不存在零點(diǎn)。 答案:A 小煉有話說(shuō): (1)本題由于解析式未知,故無(wú)法利用圖像解決,所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決。 (2)所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導(dǎo)的特點(diǎn),猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則,變形后可得,而的零點(diǎn)問(wèn)題可利用方程進(jìn)行變形,從而與條件中的相聯(lián)系,從而構(gòu)造出 例8:定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì),有,且當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是(
13、 ) A. B. C. D. 思路:體現(xiàn)的是間隔2個(gè)單位的自變量,其函數(shù)值差,聯(lián)想到周期性,考慮先求出的值,由為偶函數(shù),可令,得 , 為周期是2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程即至少有三個(gè)根,所以與有三個(gè)交點(diǎn)。先利用在的函數(shù)解析式及周期性對(duì)稱(chēng)性作圖,通過(guò)圖像可得:時(shí),不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn),考慮的圖像。設(shè),則,利用圖像變換作圖,通過(guò)觀察可得:只需當(dāng)時(shí),的圖像在上方即可,即 所以 答案:B 小煉有話說(shuō):本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn): (1)的周期性的判定: 可猜想與周期性有關(guān),可帶入特殊值,
14、解出,進(jìn)而判定周期,配合對(duì)稱(chēng)性作圖 (2)在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時(shí),若要數(shù)形結(jié)合,則要選擇能夠做出圖像的函數(shù),例如在本題中,的圖像可做,且可通過(guò)圖像變換做出 例9:已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,其中,若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:由可得,即的周期為,所解方程可視為與的交點(diǎn),而的作用為影響圖像直線的斜率,也絕對(duì)此段的最值(),先做出的圖像,再根據(jù)三個(gè)交點(diǎn)的條件作出的圖像(如圖),可發(fā)現(xiàn)只要在處,的圖像高于圖像且在處的圖像低于圖像即可。所以有 ,即 答
15、案:B 例10:(2014甘肅天水一中五月考)已知函數(shù) 的圖像上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)至少有3對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:考慮設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,其中,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程至少有三個(gè)解。即有三個(gè)根,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)交點(diǎn),先做出的圖像,通過(guò)觀察可知若與其有三個(gè)交點(diǎn),則,進(jìn)一步觀察圖像可得:只要,則滿足題意,所以 ,所以 答案:A 三、近年模擬題題目精選: 1、已知是以為周期的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,那么在區(qū)間內(nèi),關(guān)于的方程有個(gè)根,則的取值范圍是( ). A.或
16、 B. C.或 D. 2、(2014吉林九校聯(lián)考二模,16)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足條件:①點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上;點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”(與可看作同一點(diǎn)對(duì)),已知,則的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有______個(gè) 3、(2015,天津)已知函數(shù) 函數(shù) ,其中,若函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 4、(2015,湖南)已知,若存在實(shí)數(shù),使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是______ 5、(2014,新課
17、標(biāo)全國(guó)卷I)已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),且,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 6、(2014,山東)已知函數(shù),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 7、(2014,天津)已知函數(shù),若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________ 8、(2015,江蘇)已知函數(shù),則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________ 9、已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),且 ,則的取值
18、范圍是( ) A. B. C. D. 10、對(duì)于函數(shù),設(shè),若存在使得,則稱(chēng)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”,若函數(shù)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 11、已知偶函數(shù)滿足對(duì)任意,均有且,若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 12、(2016,河南中原第一次聯(lián)考)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有9個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______ 13、(2014,四川)已知函數(shù)為自
19、然對(duì)數(shù)的底數(shù) (1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值 (2)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍 習(xí)題答案: 1、答案:B 解析:根據(jù)周期性和對(duì)稱(chēng)性可作出的圖像,直線過(guò)定點(diǎn) 結(jié)合圖像可得:若內(nèi)有四個(gè)根,可知。若直線與在相切,聯(lián)立方程:,令可得:,當(dāng)時(shí),解得,綜上所述: 2、答案:2 解析:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)為和,不妨設(shè),則有,從而,所以“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為方程的個(gè)數(shù),即曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出圖像即可得有兩個(gè)交點(diǎn) 3、答案:D 解析:由得, 所以, 即
20、,所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程 有4個(gè)不同的解,即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn),由圖象可知. 4、答案: 解析:由兩個(gè)零點(diǎn),即方程有兩個(gè)根,從而與 有兩個(gè)交點(diǎn)??稍谕恢苯亲鴺?biāo)系下作出,觀察圖像可得:時(shí),水平線與有兩個(gè)交點(diǎn),故符合題意;當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以最多只有一個(gè)零點(diǎn),不符題意;當(dāng)時(shí),存在水平線與分別有一個(gè)交點(diǎn),共兩個(gè)符合題意。綜上所述: 5、答案:C 解析:,令,依題意可知與應(yīng)在有唯一交點(diǎn)且位于的區(qū)域。設(shè),所以,則在單增,在單減,,作出圖像可知只有當(dāng)時(shí),與有唯一交點(diǎn),且在的區(qū)域。 6、答案:B 解析:方法一:方程有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn),其中為直線的
21、斜率。通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可得到 方法二:本題還可以先對(duì)方程進(jìn)行變形,再進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,中顯然不是方程的解,當(dāng)時(shí),,設(shè) ,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)為2個(gè)。作出圖像后即可觀察到的范圍 7、答案: 解析:方程為:,顯然不是方程的解,所以時(shí),,即,令,則與有4個(gè)交點(diǎn)即可,作出圖像數(shù)形結(jié)合即可得到 8、答案:4 解析:方程等價(jià)于,即或共多少個(gè)根,,數(shù)形結(jié)合可得:與有兩個(gè)交點(diǎn);,同理可得與有兩個(gè)交點(diǎn),所以共計(jì)個(gè) 9、答案:C 解析:,令,依題意可知只有一個(gè)零點(diǎn)且,即與只有一個(gè)在橫軸正半軸的交點(diǎn)??芍跍p,在增, 作出圖像可得只有時(shí),與只有一個(gè)在橫軸正半軸的交點(diǎn)。 10、答案:C 解析:先
22、從入手,可知為單增函數(shù),且,所以有唯一零點(diǎn),即;所以,即在有零點(diǎn)??紤]方程,即 與在有公共點(diǎn)即可,數(shù)形結(jié)合可得: 11、答案: 解析:當(dāng)時(shí),方程恰有5個(gè)解方程有兩個(gè)解且方程無(wú)解,考慮這兩個(gè)方程的判別式可得;由對(duì)稱(chēng)性,當(dāng)時(shí),方程恰有5個(gè)解的范圍是;所以的取值范圍是 12、答案: 解析:由,得,即.設(shè),令,則.考察的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即如下圖所示為,的圖象,易知:(1)方程的一個(gè)根為1,另一個(gè)根為時(shí),在內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn),此時(shí),解得;(1)方程的一個(gè)根為-1,另一個(gè)根為時(shí),在內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn),此時(shí),解得.綜上可知當(dāng)時(shí),在內(nèi)有3個(gè)解.再由可知,.綜上可知,. 13、解析:(1) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí) 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減 綜上所述:時(shí), 時(shí), 時(shí), (2)且在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn) .在不單調(diào),且至少有兩個(gè)極值點(diǎn) 在至少有兩個(gè)零點(diǎn) 由(1)可得:若或,則在單調(diào),至多一個(gè)零點(diǎn),均不符題意 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 由可得:,代入到不等式組可得: 由 下面判斷:時(shí),是否恒成立 設(shè) 令解得: 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減 在時(shí)恒成立 - 18 -
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