高中數(shù)學(xué)講義微專題05函數(shù)的對稱性與周期性

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1、微專題05 函數(shù)的對稱性與周期性 一、基礎(chǔ)知識 （一）函數(shù)的對稱性 1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸（或?qū)ΨQ中心）對稱 2、軸對稱的等價(jià)描述： （1）關(guān)于軸對稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)） （2）關(guān)于軸對稱 在已知對稱軸的情況下，構(gòu)造形如的等式只需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)前面的符號相同，且括號內(nèi)前面的符號相反；二是的取值保證為所給對稱軸即可。例如：關(guān)于軸對稱，或得到均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是更為方便 （3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對稱。 ① 要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在中，僅是括號中的一部分，偶函

2、數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，即，要與以下的命題區(qū)分： 若是偶函數(shù)，則：是偶函數(shù)中的占據(jù)整個(gè)括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有 ② 本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，是偶函數(shù)，則關(guān)于軸對稱，而可視為平移了個(gè)單位（方向由的符號決定），所以關(guān)于對稱。 3、中心對稱的等價(jià)描述： （1）關(guān)于軸對稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是奇函數(shù)） （2）關(guān)于軸對稱 在已知對稱中心的情況下，構(gòu)造形如的等式同樣需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)和前面的符號均相反；二是的取值保證為所給對稱中心即可。例如：關(guān)于中心對稱，或得到均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側(cè)是更為方便 （3）是奇函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸

3、對稱。 ① 要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在中，僅是括號中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相反，即，要與以下的命題區(qū)分： 若是奇函數(shù)，則：是奇函數(shù)中的占據(jù)整個(gè)括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有 ② 本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，是奇函數(shù)，則關(guān)于中心對稱，而可視為平移了個(gè)單位（方向由的符號決定），所以關(guān)于對稱。 4、對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)： （1）可利用對稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值 （2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到

4、另一半圖像 （3）極值點(diǎn)關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱 （4）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同 （二）函數(shù)的周期性 1、定義：設(shè)的定義域?yàn)椋魧?，存在一個(gè)非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，稱為的一個(gè)周期 2、周期性的理解：可理解為間隔為的自變量函數(shù)值相等 3、若是一個(gè)周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：也是的一個(gè)周期 4、最小正周期：正由第3條所說，也是的一個(gè)周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù) 5、

5、函數(shù)周期性的判定： （1）：可得為周期函數(shù)，其周期 （2）的周期 分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個(gè)等式： 所以有：，即周期 注：遇到此類問題，如果一個(gè)等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個(gè)等式，進(jìn)而通過兩個(gè)等式看能否得出周期 （3）的周期 分析： （4）（為常數(shù)）的周期 分析：，兩式相減可得： （5）（為常數(shù)）的周期 （6）雙對稱出周期：若一個(gè)函數(shù)存在兩個(gè)對稱關(guān)系，則是一個(gè)周期函數(shù)，具體情況如下：（假設(shè)） ① 若的圖像關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期 分析：關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱 的周期為 ② 若的圖像關(guān)于中心對稱，則是周期

6、函數(shù)，周期 ③ 若的圖像關(guān)于軸對稱，且關(guān)于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期 7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。 （1）函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而利用已知條件求值 （2）圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行“復(fù)制+粘貼” （3）單調(diào)區(qū)間：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若在上單調(diào)增（減），則在上單調(diào)增（減） （4）對稱性：如果一個(gè)周期為的函數(shù)存在一條對稱軸 （或?qū)ΨQ中心），則 存在無數(shù)條對稱軸，其通式為 證明：關(guān)于軸對稱 函數(shù)的周期為 關(guān)于軸對稱

7、注：其中（3）（4）在三角函數(shù)中應(yīng)用廣泛，可作為檢驗(yàn)答案的方法 二、典型例題： 例1：設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則__________ 思路：由可得：的周期，考慮將用中的函數(shù)值進(jìn)行表示：，此時(shí)周期性已經(jīng)無法再進(jìn)行調(diào)整，考慮利用奇偶性進(jìn)行微調(diào)： ，所以 答案： 例2：定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ） A. B. C. D. 思路：由，可類比函數(shù)的周期性，所以考慮將向進(jìn)行轉(zhuǎn)化： 答案：D 小煉有話說：雖然不是周期函數(shù)，但函數(shù)值關(guān)系與周期性類似，可理解為：間隔2

8、個(gè)單位的自變量，函數(shù)值呈2倍關(guān)系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，將自變量向已知范圍進(jìn)行靠攏。 例3：定義在上的函數(shù)對任意，都有，則等于（ ） A. B. C. D. 思路：由及所求可聯(lián)想到周期性，所以考慮，所以是周期為4的周期函數(shù)，故，而由已知可得，所以 答案：D 例4（2009山東）：定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（ ） A. B. C. D. 思路：所給的特

9、點(diǎn)為才有解析式能夠求值，而只能通過減少自變量的取值，由所求可聯(lián)想到判斷是否具有周期性，時(shí)，，則有，兩式相加可得：，則，即在時(shí)周期是6，故 ，而 答案：C 小煉有話說：（1）本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質(zhì)向含解析式的自變量靠攏，而數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。 （2）如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達(dá)到余數(shù)。例如本題中，從而 （3）本題推導(dǎo)過程中也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進(jìn)

10、行“微調(diào)”從而將自變量放置已知區(qū)間內(nèi) 例5：函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式在上的解集為___________ 思路：從已知出發(fā)可知時(shí)，為增函數(shù)，且，所以時(shí)，，時(shí)，，由偶函數(shù)可得：時(shí)，，時(shí)，。從而可作出草圖。由所解不等式可將分為兩部分，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上解集為： 答案： 例6：已知是定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的最小值為（ ） A. B. C. D. 思路：由可得是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一個(gè)周期內(nèi)的最值即可。由可得為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間，

11、在時(shí)，，所以，而由于為奇函數(shù)，所以在時(shí)，，所以即為在的最小值，從而也是在上的最小值 答案：B 例7：已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，如果，且，則的值（ ） A. 可正可負(fù) B. 恒大于0 C. 可能為0 D. 恒小于0 思路一：題目中給了單調(diào)區(qū)間，與自變量不等關(guān)系，所求為函數(shù)值的關(guān)系，從而想到單調(diào)性，而可得，因?yàn)椋?，進(jìn)而將裝入了中，所以由可得，下一步需要轉(zhuǎn)化，由可得關(guān)于中心對稱，所以有。代入 可得，從而 思路二：本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更便于求解。先從分析出關(guān)于中心對稱，令代入到可得。中心對稱的函數(shù)對

12、稱區(qū)間單調(diào)性相同，從而可作出草圖。而，即的中點(diǎn)位于的左側(cè)，所以比距離更遠(yuǎn)，結(jié)合圖象便可分析出恒小于0 答案：D 小煉有話說：（1）本題是單調(diào)性與對稱性的一個(gè)結(jié)合，入手點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關(guān)系，與所求函數(shù)值關(guān)系，而連接它們大小關(guān)系的“橋梁”是函數(shù)的單調(diào)性，所以需要將自變量裝入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)。而對稱性起到一個(gè)將函數(shù)值等價(jià)轉(zhuǎn)化的作用，進(jìn)而與所求產(chǎn)生聯(lián)系 （2）數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè)：第一個(gè)是中心對稱圖像的特點(diǎn)，不僅僅是單調(diào)性相同，而且是呈“對稱”的關(guān)系，從而在圖像上才能看出的符號；第二個(gè)是，進(jìn)而可知；第三個(gè)是，既然是數(shù)形結(jié)合，則題中條件也要盡可能轉(zhuǎn)為圖像特點(diǎn)，而表現(xiàn)出中點(diǎn)的位置，從而能夠判斷

13、出距離中心對稱點(diǎn)的遠(yuǎn)近。 例8：函數(shù)的定義域?yàn)?，若與都是奇函數(shù)，則（ ） A. 是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù) C. D. 是奇函數(shù) 思路：從已知條件入手可先看的性質(zhì)，由為奇函數(shù)分別可得到： ，所以關(guān)于中心對稱，雙對稱出周期可求得，所以不正確，且由已知條件無法推出一定符合。對于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，進(jìn)而可推出關(guān)于中心對稱，所以為圖像向左平移個(gè)單位，即關(guān)于對稱，所以為奇函數(shù)，正確 答案：D 例9：已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上只有和兩個(gè)零點(diǎn)，且與 都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

14、 A. B. C. D. 思路：已知區(qū)間僅是，而所求區(qū)間為，跨度如此之大，需要函數(shù)性質(zhì)。從條件入手為偶函數(shù)可得關(guān)于軸對稱，從而判斷出是周期函數(shù)，且，故可以考慮將以10為周期分組，先判斷出一個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再乘以組數(shù)，加上剩余部分的零點(diǎn)即可 解：為偶函數(shù) 關(guān)于軸對稱 為周期函數(shù)，且 將劃分為 關(guān)于軸對稱 在中只含有四個(gè)零點(diǎn) 而共組 所以 在中，含有零點(diǎn)共兩個(gè) 所以一共有806個(gè)零點(diǎn) 答案：C 小煉有話說：（1）周期函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可以考慮

15、先統(tǒng)計(jì)一個(gè)周期的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個(gè)周期，相乘即可。如果有不滿一個(gè)周期的區(qū)間可單獨(dú)統(tǒng)計(jì) （2）在為周期函數(shù)分段時(shí)有一個(gè)細(xì)節(jié)：“一開一閉”，分段的要求時(shí)“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時(shí)，一端為閉區(qū)間，另一端為開區(qū)間，不僅達(dá)到分段要求，而且每段之間保持隊(duì)型，結(jié)構(gòu)整齊，便于分析。 （3）當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)含有對稱軸（或?qū)ΨQ中心）時(shí)，零點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產(chǎn)生新的零點(diǎn)。其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖像，將零點(diǎn)和對稱軸標(biāo)在數(shù)軸上，看是否有由對稱生成的零點(diǎn)（這個(gè)方法更直觀，不易丟解） 例10：設(shè)函數(shù)是定義在上以1為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t函

16、數(shù)在上的值域?yàn)椋? ） A. B. C. D. 思路：設(shè)，則，因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，故以為突破口，，考慮在中，所以，在中，所以，所以在的值域?yàn)? 答案：B 三、近年模擬題題目精選 1、（2014，慶安高三期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ） A．0.5 B．1.5 C． D．1 2、（2014，安徽）設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ） A. B.

17、 C. D. 3、（2014，四川）設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則_________ 4、（2014，新課標(biāo)全國卷I）設(shè)函數(shù)的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù) C. 是奇函數(shù) D. 是奇函數(shù) 5、（2014，會寧縣校級月考）已知，方程在內(nèi)有且只有一個(gè)，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（ ） A. B. C.

18、 D. 6、已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則______________ 7、已知定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（ ） A. B. C. D. 8、已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，恒有，當(dāng)時(shí)，，求 習(xí)題答案： 1、答案：B 解析：由可得：，兩式相減可得：，所以的周期，再由是偶函數(shù)可得： 2、答案：A 解析：由可知，，，所以可得： 3、答案：1 解析： 4、答案：C 解析：為奇函數(shù)，可知為偶函數(shù)，所

19、以根據(jù)奇偶性的規(guī)律可得：為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故C正確 5、答案：D 解析：，可得關(guān)于軸對稱，因?yàn)樵趦?nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以由對稱性可得在只有兩個(gè)零點(diǎn)。所以一個(gè)周期中含有兩個(gè)零點(diǎn)，區(qū)間共包含1007個(gè)周期，所以有2014個(gè)零點(diǎn) 6、答案： 解析：由可得：關(guān)于中心對稱，由可得：關(guān)于軸對稱，所以可求出的周期，則 7、答案： 解析： 可知為奇函數(shù)，可得，所以 8、答案： 解析：由可得：的周期，由于具備周期性，故求和時(shí)可考慮按照周期將一個(gè)周期的函數(shù)值歸為一組，求出一組的結(jié)果，在考慮求和的式子中含有多少組周期即可： 故 - 12 -