備戰(zhàn)新課標高考理科數學2020訓練題:“3+1”保分大題強化練三 Word版含解析

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1、 保住基本分·才能得高分 “3+1”保分大題強化練(三) 前3個大題和1個選考題不容有失 1.設數列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N*). (1)求證:數列是等差數列; (2)設bn=,求數列{bn}的前n項和Tn. 解:(1)證明:∵an+1=,∴-=-=-==-. 又a1=1,∴=-1,∴數列是以-1為首項,-為公差的等差數列. (2)由(1)知=-1+(n-1)=-, ∴an=2-=, ∴bn====1+=1+, ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn =n+ =n+=n+, ∴數列{bn}的前n項和Tn=n+. 2.如圖所示多面體ABCDEF

2、,其底面ABCD為矩形,且AB=2,BC=2,四邊形BDEF為平行四邊形,點F在底面ABCD內的投影恰好是BC的中點. (1)已知G為線段FC的中點,證明:BG∥平面AEF; (2)若二面角F-BD-C的大小為,求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值. 解:(1)證明:如圖,連接AC交BD于H,連接GH,則GH為△ACF的中位線, ∴GH∥AF. ∵GH?平面AEF,AF?平面AEF, ∴GH∥平面AEF. 又BD∥EF,BD?平面AEF,EF?平面AEF, ∴BD∥平面AEF. 連接DG,∵BD∩GH=H,BD?平面BDG,GH?平面BDG,∴平面BDG∥平面AEF, ∵

3、BG?平面BDG,∴BG∥平面AEF. (2)取BC的中點O,AD的中點M,連接OF,OM,則OF⊥平面ABCD,OM⊥BC,以O為坐標原點,OC,OM,OF所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則O(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),∴=(2,2,0).設OF=a(a>0),則F(0,0,a),∴=(1,0,a). 設平面BDEF的法向量為n1=(x,y,z), 由得 令x=-a,得n1=(-a,a,). 易得平面ABCD的一個法向量為n2=(0,0,1). ∵二面角F-BD-C的大小為, ∴|cos〈n1,n2〉|=

4、==, 解得a=. 設直線AE與平面BDEF所成的角為θ, ∵=+=+=(2,0,0)+=,且n1=,∴sin θ=|cos〈,n1〉|===. 故直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為. 3.2019年2月25日,第11屆羅馬尼亞數學大師賽(簡稱RMM)于羅馬尼亞首都布加勒斯特閉幕,最終成績揭曉,以色列選手排名第一,而中國隊無一人獲得金牌,最好成績是獲得銀牌的第15名,總成績排名第6.在分量極重的國際數學奧林匹克(IMO)比賽中,過去拿冠軍拿到手軟的中國隊,已經連續(xù)4年沒有拿到冠軍了.人們不禁要問“中國奧數究竟怎么了?”,一時間關于各級教育主管部門是否應該下達“禁奧令”成為社會討論

5、的熱點.某重點高中培優(yōu)班共50人,現就這50人對“禁奧令”的態(tài)度進行問卷調查,得到如下的列聯表: 不應下“禁奧令” 應下“禁奧令” 總計 男生 5 女生 10 總計 50 若按對“禁奧令”的態(tài)度采用分層抽樣的方法從50人中抽出10人進行重點調查,其中認為不應下“禁奧令”的同學共有6人. (1)請將上面的列聯表補充完整,并判斷是否有99%的把握認為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關?說明你的理由. (2)現從這10人中抽出2名男生、2名女生,記此4人中認為不應下“禁奧令”的人數為ξ,求ξ的分布列和數學期望. 參考公式與數據:K2=. P(K2≥

6、k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 解:(1)設認為不應該下“禁奧令”的同學共有x人,則=,解得x=30,所以列聯表補充如下: 不應下“禁奧令” 應下“禁奧令” 總計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 總計 30 20 50 所以K2=≈8.333>6.635, 所以有99%的把握認為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關. (2)由題意,可知在這10人中,男、女生各5人,其中男生有4人、女生有2人認為不應下“禁奧令”,ξ的所有可能取值有1,2,3,4.

7、 P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, P(ξ=4)==. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P 所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=2.4. 選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答) 4.[選修4-4:坐標系與參數方程] 在平面直角坐標系xOy中,直線l1的傾斜角為30°,且經過點A(2,1).以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l2:ρcos θ=3.從坐標原點O作射線交l2于點M,點N為射線OM上的點,滿足|OM|·|ON|=12,記點N的軌跡為曲線C. (1)寫出直線l1的參數方程和曲線C的直

8、角坐標方程; (2)設直線l1與曲線C交于P,Q兩點,求|AP|·|AQ|的值. 解:(1)直線l1的參數方程為(t為參數),即(t為參數). 設N(ρ,θ),M(ρ1,θ1)(ρ>0,ρ1>0), 則又ρ1cos θ1=3,所以ρ=12,即ρ=4cos θ,所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0(x≠0). (2)設P,Q對應的參數分別為t1,t2,將直線l1的參數方程代入曲線C的直角坐標方程中, 得2+2-4=0, 即t2+t-3=0,Δ=13>0, t1,t2為方程的兩個根,所以t1t2=-3, 所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=|-3|=3. 5.[選修

9、4-5:不等式選講] 已知函數f(x)=|x+1|. (1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M; (2)設a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b). 解:(1)由題意,|x+1|<|2x+1|-1, ①當x≤-1時, 不等式可化為-x-1<-2x-2, 解得x<-1; ②當-1<x<-時, 不等式可化為x+1<-2x-2, 此時不等式無解; ③當x≥-時, 不等式可化為x+1<2x,解得x>1. 綜上,M={x|x<-1或x>1}. (2)證明:因為f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以要證f(ab)>f(a)-f(-b), 只需證|ab+1|>|a+b|, 即證|ab+1|2>|a+b|2, 即證a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2, 即證a2b2-a2-b2+1>0, 即證(a2-1)(b2-1)>0. 因為a,b∈M,所以a2>1,b2>1, 所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.

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