《備戰(zhàn)新課標高考理科數學2020訓練題:“3+1”保分大題強化練三 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《備戰(zhàn)新課標高考理科數學2020訓練題:“3+1”保分大題強化練三 Word版含解析(6頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
保住基本分·才能得高分 “3+1”保分大題強化練(三) 前3個大題和1個選考題不容有失
1.設數列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N*).
(1)求證:數列是等差數列;
(2)設bn=,求數列{bn}的前n項和Tn.
解:(1)證明:∵an+1=,∴-=-=-==-.
又a1=1,∴=-1,∴數列是以-1為首項,-為公差的等差數列.
(2)由(1)知=-1+(n-1)=-,
∴an=2-=,
∴bn====1+=1+,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=n+
=n+=n+,
∴數列{bn}的前n項和Tn=n+.
2.如圖所示多面體ABCDEF
2、,其底面ABCD為矩形,且AB=2,BC=2,四邊形BDEF為平行四邊形,點F在底面ABCD內的投影恰好是BC的中點.
(1)已知G為線段FC的中點,證明:BG∥平面AEF;
(2)若二面角F-BD-C的大小為,求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值.
解:(1)證明:如圖,連接AC交BD于H,連接GH,則GH為△ACF的中位線,
∴GH∥AF.
∵GH?平面AEF,AF?平面AEF,
∴GH∥平面AEF.
又BD∥EF,BD?平面AEF,EF?平面AEF,
∴BD∥平面AEF.
連接DG,∵BD∩GH=H,BD?平面BDG,GH?平面BDG,∴平面BDG∥平面AEF,
∵
3、BG?平面BDG,∴BG∥平面AEF.
(2)取BC的中點O,AD的中點M,連接OF,OM,則OF⊥平面ABCD,OM⊥BC,以O為坐標原點,OC,OM,OF所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則O(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),∴=(2,2,0).設OF=a(a>0),則F(0,0,a),∴=(1,0,a).
設平面BDEF的法向量為n1=(x,y,z),
由得
令x=-a,得n1=(-a,a,).
易得平面ABCD的一個法向量為n2=(0,0,1).
∵二面角F-BD-C的大小為,
∴|cos〈n1,n2〉|=
4、==,
解得a=.
設直線AE與平面BDEF所成的角為θ,
∵=+=+=(2,0,0)+=,且n1=,∴sin θ=|cos〈,n1〉|===.
故直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為.
3.2019年2月25日,第11屆羅馬尼亞數學大師賽(簡稱RMM)于羅馬尼亞首都布加勒斯特閉幕,最終成績揭曉,以色列選手排名第一,而中國隊無一人獲得金牌,最好成績是獲得銀牌的第15名,總成績排名第6.在分量極重的國際數學奧林匹克(IMO)比賽中,過去拿冠軍拿到手軟的中國隊,已經連續(xù)4年沒有拿到冠軍了.人們不禁要問“中國奧數究竟怎么了?”,一時間關于各級教育主管部門是否應該下達“禁奧令”成為社會討論
5、的熱點.某重點高中培優(yōu)班共50人,現就這50人對“禁奧令”的態(tài)度進行問卷調查,得到如下的列聯表:
不應下“禁奧令”
應下“禁奧令”
總計
男生
5
女生
10
總計
50
若按對“禁奧令”的態(tài)度采用分層抽樣的方法從50人中抽出10人進行重點調查,其中認為不應下“禁奧令”的同學共有6人.
(1)請將上面的列聯表補充完整,并判斷是否有99%的把握認為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關?說明你的理由.
(2)現從這10人中抽出2名男生、2名女生,記此4人中認為不應下“禁奧令”的人數為ξ,求ξ的分布列和數學期望.
參考公式與數據:K2=.
P(K2≥
6、k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解:(1)設認為不應該下“禁奧令”的同學共有x人,則=,解得x=30,所以列聯表補充如下:
不應下“禁奧令”
應下“禁奧令”
總計
男生
20
5
25
女生
10
15
25
總計
30
20
50
所以K2=≈8.333>6.635,
所以有99%的把握認為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關.
(2)由題意,可知在這10人中,男、女生各5人,其中男生有4人、女生有2人認為不應下“禁奧令”,ξ的所有可能取值有1,2,3,4.
7、
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==.
所以ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=2.4.
選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)
4.[選修4-4:坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系xOy中,直線l1的傾斜角為30°,且經過點A(2,1).以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l2:ρcos θ=3.從坐標原點O作射線交l2于點M,點N為射線OM上的點,滿足|OM|·|ON|=12,記點N的軌跡為曲線C.
(1)寫出直線l1的參數方程和曲線C的直
8、角坐標方程;
(2)設直線l1與曲線C交于P,Q兩點,求|AP|·|AQ|的值.
解:(1)直線l1的參數方程為(t為參數),即(t為參數).
設N(ρ,θ),M(ρ1,θ1)(ρ>0,ρ1>0),
則又ρ1cos θ1=3,所以ρ=12,即ρ=4cos θ,所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0(x≠0).
(2)設P,Q對應的參數分別為t1,t2,將直線l1的參數方程代入曲線C的直角坐標方程中,
得2+2-4=0,
即t2+t-3=0,Δ=13>0,
t1,t2為方程的兩個根,所以t1t2=-3,
所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=|-3|=3.
5.[選修
9、4-5:不等式選講]
已知函數f(x)=|x+1|.
(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;
(2)設a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b).
解:(1)由題意,|x+1|<|2x+1|-1,
①當x≤-1時,
不等式可化為-x-1<-2x-2,
解得x<-1;
②當-1<x<-時,
不等式可化為x+1<-2x-2,
此時不等式無解;
③當x≥-時,
不等式可化為x+1<2x,解得x>1.
綜上,M={x|x<-1或x>1}.
(2)證明:因為f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,
所以要證f(ab)>f(a)-f(-b),
只需證|ab+1|>|a+b|,
即證|ab+1|2>|a+b|2,
即證a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,
即證a2b2-a2-b2+1>0,
即證(a2-1)(b2-1)>0.
因為a,b∈M,所以a2>1,b2>1,
所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.