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1、
保住基本分·才能得高分 “3＋1”保分大題強化練(四) 前3個大題和1個選考題不容有失
1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2(acos Bcos C＋ccos Bcos A)．
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝5，且S△ABC＝，求邊長b的值．
解：(1)由已知條件及正弦定理得sin B＝2(sin Acos B·cos C＋sin C cos Bcos A)＝2cos B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2cos Bsin(A＋C)，
可得cos B＝.又0
2、2－ac＝(a＋c)2－3ac.
∵a＋c＝5，∴b2＝25－3ac，∵S△ABC＝，∴acsin B＝，即ac＝4，∴b2＝13，∴b＝.
2．某工廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人，為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人．甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時間(單位：min)進行統(tǒng)計，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]進行分組，得到下列統(tǒng)計圖．
(1)分別估算兩個車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75 min的人數(shù)．
(2)分別估計
3、兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值，并推測哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高？
(3)從第一組生產(chǎn)時間少于75 min 的工人中隨機抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時間少于65 min 的工人人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解：(1)由題意得，第一組工人20人，其中在75 min 內(nèi)(不含75 min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，
∴甲車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75 min的人數(shù)約為6×10＝60.
第二組工人40人，其中在75 min內(nèi)(不含75 min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，
∴乙車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75 min的人數(shù)約為3
4、0×10＝300.
(2)第一組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時間為甲＝＝78(min)，
第二組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時間為乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，
∴甲＞乙，∴乙車間工人的生產(chǎn)效率更高．
(3)由題意得，第一組生產(chǎn)時間少于75 min 的工人有6人，其中生產(chǎn)時間少于65 min 的有2人，從中抽取3人，
則X的可能取值為0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列為
X
0
1
2
P
數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
3．如圖，等腰梯形ABC
5、D中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點，將△ADE沿AE折到△APE的位置．
(1)證明：AE⊥PB；
(2)當四棱錐P-ABCE的體積最大時，求二面角A-PE-C的余弦值．
解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O，
∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，
∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE為等邊三角形，
∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝60°，BD⊥BC，
∴BD⊥AE.
如圖，翻折后可得OP⊥AE，OB⊥AE，
又OP∩OB＝O，OP?平面POB，OB?平面POB，
∴AE⊥平面POB，
6、∵PB?平面POB，∴AE⊥PB.
(2)當四棱錐P-ABCE的體積最大時，平面PAE⊥平面ABCE.
又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO?平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE .
以O(shè)為坐標原點，OE所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得， P，E，C，∴P＝，＝，
設(shè)平面PCE的法向量為n1＝(x，y，z)，
則即設(shè)x＝，則y＝－1，z＝1，∴n1＝(，－1,1)為平面PCE的一個法向量，
易知平面PAE的一個法向量為n2＝(0,1,0)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
由圖知所求二面角A-PE-
7、C為鈍角，
∴二面角A-PE-C的余弦值為－.
4．選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)
[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為ρ＝2cos θ，若極坐標系內(nèi)異于O的三點A(ρ1，φ)，B，C(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲線M上．
(1)求證：ρ1＝ρ2＋ρ3；
(2)若過B，C兩點的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積．
解：(1)證明：由題意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ，ρ3＝2cos ，
所以ρ2＋ρ3＝2cos ＋2cos ＝2cos φ＝ρ1.
8、
(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，
將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，
∴在平面直角坐標中，B，C(2,0)，
則ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，∴ρ1＝.
∴四邊形OBAC的面積S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2·sin ＋ρ1ρ3sin＝.
[選修4－5：不等式選講]
已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集為{x|x≥－1}．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)求＋的最大值．
解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集為{x|x≥－1}，
即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集為{x|x≥－1}．
當1－a2≠0時，不符合題意，舍去．
當1－a2＝0，即a＝±1時，
x＝－1為方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，經(jīng)檢驗a＝－1不符合題意，舍去，a＝1符合題意．
綜上，a＝1.
(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，
當t＝4時，(＋)2有最大值，為32.
又＋≥0，
所以＋的最大值為4.
備戰(zhàn)新課標高考理科數(shù)學(xué)2020：“3＋1”保分大題強化練四 Word版含解析
