新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第三節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【考綱下載】 1．能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性． 2．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]，正切函數(shù)在上的性質(zhì)． 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)[來源:] 函數(shù)[來源:] y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖 象 定義域 R R k∈Z }[來源:] 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間： (k∈Z)； 遞減區(qū)間： (k∈Z)[來源:] 遞增區(qū)間：

2、 [2kπ－π，2kπ] (k∈Z)； 遞減區(qū)間： [2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 遞增區(qū)間： (k∈Z) 最　值 x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)， ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z) 時(shí)， ymin＝－1 無最值 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z) 對稱軸：x＝kπ＋，k∈Z 對稱中心：(k∈Z) 對稱軸：x＝kπ，k∈Z 對稱中心：(k∈Z) 無對稱軸 周期 2π 2π π 1．正切函數(shù)y＝tan x

3、在定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？ 提示：不是．正切函數(shù)y＝tan x在每一個(gè)區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù)． 2．當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)時(shí)，φ的取值是什么？對于函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)呢？ 提示：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)． 1．函數(shù)y＝tan 3x的定義域?yàn)?　　) A. B. C. D. 解析：選D　由3x≠＋kπ，得x≠＋，k∈Z. 2

4、．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R，則f(x)是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) 解析：選B　∵f(x)＝sin＝－cos 2x， ∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)． 3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象(　　) A．關(guān)于直線x＝對稱　　　　B．關(guān)于點(diǎn)對稱 C．關(guān)于直線x＝－對稱 D．關(guān)于點(diǎn)對稱 解析：選B　∵f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期為π，∴ω＝2，即f(x)＝sin. 經(jīng)驗(yàn)證可知f＝sin＝sin π＝0， 即是函數(shù)f(x)的一

5、個(gè)對稱點(diǎn)． 4．下列函數(shù)中，周期為π，且在上為減函數(shù)的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 解析：選A　由函數(shù)的周期為π，可排除C，D.又函數(shù)在上為減函數(shù)，排除B，故選A. 5．函數(shù)y＝3－2cos的最大值為________，此時(shí)x＝________. 解析：函數(shù)y＝3－2cos的最大值為3＋2＝5，此時(shí)x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)． 答案：5?。?kπ(k∈Z) 方法博覽(三) 利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的四種方法 1．根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù) [典例1]　已知f(x)＝sin x

6、＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ)為偶函數(shù)，則φ的值為________． [解題指導(dǎo)]　先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解． [解析]　∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin， ∴f(x＋φ)＝2sin. ∵函數(shù)f(x＋φ)為偶函數(shù)，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝＋kπ(k∈Z)． 又∵|φ|≤，∴φ＝. [答案]　 [點(diǎn)評]　求解三角函數(shù)奇偶性的參數(shù)問題常用下列結(jié)論進(jìn)行解答：函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)為奇函數(shù)?φ＝kπ＋(k∈Z)且B＝0；為偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)． 2．根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) [典例2]　已知函數(shù)f(x)＝－2

7、sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為　　　(　　) A.　　　　　　B. C. D.∪ [解題指導(dǎo)]　求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求出已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，使為其子區(qū)間即可求得φ的范圍． [解析]　因?yàn)?kπ＋≤2x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z，又因?yàn)槭莊(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，|φ|＜π，所以≤kπ＋－，k∈Z，解得φ≤，同理由≥kπ＋－，k∈Z，可得φ≥，所以≤φ≤. [答案]　C [點(diǎn)評]　解答此類題要注意單調(diào)區(qū)間的給出方式，如：“函數(shù)f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞增”與

8、“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)”，二者是不相同的． 3．根據(jù)三角函數(shù)的周期性求參數(shù) [典例3]　函數(shù)f(x)＝sin＋sin ωx(ω＞0)相鄰兩對稱軸之間的距離為2，則ω＝________. [解題指導(dǎo)]　相鄰兩對稱軸之間的距離為2，即T＝4. [解析]　f(x)＝sin＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，又因?yàn)閒(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝. [答案]　 [點(diǎn)評]　函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)圖象上一個(gè)最高點(diǎn)和它鄰近的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的

9、絕對值是函數(shù)的半周期，縱坐標(biāo)之差的絕對值是2A.在解決由三角函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式的問題時(shí)，要注意使用好函數(shù)圖象顯示出來的函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及兩個(gè)坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)等． 4．根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù) [典例4]　若函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x在x＝處有最小值－2，則常數(shù)a，b的值是(　　) A．a(chǎn)＝－1，b＝　　　　　　　B．a(chǎn)＝1，b＝－ C．a(chǎn)＝，b＝－1 D．a(chǎn)＝－，b＝1 [解題指導(dǎo)]　函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x的最小值為－. [解析]　f(x)＝sin(x－φ)其中cos φ＝，sin φ＝， 則解得 [答案]　D [點(diǎn)評]　解答本題的兩個(gè)關(guān)鍵：(1)引進(jìn)輔助角，將原式化為三角函數(shù)的基本形式；(2)利用正弦函數(shù)取最值的方法建立方程組．