新編高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第11章】課時限時檢測70

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1、新編高考數(shù)學復習資料 課時限時檢測(七十)　數(shù)學歸納法及其應用 (時間：60分鐘　滿分：80分)命題報告 考查知識點及角度 題號及難度 基礎 中檔 稍難 數(shù)學歸納法的原理 1,2,3,7 4,5 用數(shù)學歸納法證明等式 10 用數(shù)學歸納法證明不等式 12 綜合應用 8 6,9,11 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．用數(shù)學歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　) A．2　　　　　B．3　　　　　C．5　　　　　D．6 【解析】　令n0分別取2,3,5,6，依次驗證即得

2、． 【答案】　C 2．對于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下： (1)當n＝1時，＜1＋1，不等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*且k≥1)時，不等式成立，即＜k＋1，則當n＝k＋1時，＝＜＝＝(k＋1)＋1， ∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法(　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗得不正確 C．歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 【解析】　在n＝k＋1時，沒用n＝k時的假設，不是數(shù)學歸納法．∴從n＝k到n＝k＋1的推理不正確． 【答案】　D 3．(2014·瀏陽模擬)用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xn＋y

3、n能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是(　　) A．假設n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立 【解析】　相鄰兩個正奇數(shù)相差2，故D選項正確． 【答案】　D 4．(2014·山東師大附中模擬)用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 【解析】　當n＝k時，左端＝

4、1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 結合四個選項可知，D正確． 【答案】　D 5．凸n多邊形有f(n)條對角線．則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 【解析】　f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1. 【答案】　C 6．(2014·安慶模擬)已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b

5、＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c 【解析】　由于該等式對一切n∈N*都成立， 不妨取n＝1,2,3，則有 解得a＝，b＝c＝. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)時，第一步應驗證的不等式是________． 【解析】　當n＝2時，左邊＝1＋＋. 【答案】　1＋＋ 8．設f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N*)，則f(n＋1)－f(n)＝________. 【解析】　∵f(n)＝1＋＋＋＋…＋， ∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.∴f(n＋1)－f(

6、n)＝＋＋. 【答案】?。? 9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)，通過計算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________. 【解析】　∵a1＝1，∴a2＝a1＋1＝， a3＝a2＋1＝，a4＝a3＋1＝. 猜想an＝. 【答案】　 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)用數(shù)學歸納法證明下面的等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1. 【證明】　(1)當n＝1時，左邊＝12＝1， 右邊＝(－1)0·＝1， ∴原等式成立． (2)假設n＝k(k∈N*，k≥1)時，等式成立， 即有12－2

7、2＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2 ＝(－1)k－1. 那么，當n＝k＋1時，則有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k， ∴n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)知對任意n∈N*有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2 ＝(－1)n－1. 11．(12分)(2014·桂林質檢)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)猜想數(shù)列{Sn}的通

8、項公式，并給出證明． 【解】　(1)當n＝1時，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， ∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0， 解得a1＝.當n＝2時，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a2－， ∴2－a2－a2＝0，解得a2＝. (2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得 SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝. 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 猜想Sn＝(n∈N*)． 下面用數(shù)學歸納法證明這個結論． ①當n＝1時，結論成立． ②假設

9、n＝k(k∈N*，k≥1)時結論成立，即Sk＝，當n＝k＋1時，Sk＋1＝＝＝. 即當n＝k＋1時結論成立． 由①②知Sn＝對任意的正整數(shù)n都成立． 12．(13分)(2014·煙臺模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 證明：對任意的n∈N*，不等式··…·＞成立． 【解】　(1)由題意，Sn＝bn＋r， 當n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0且b≠1，所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為··…·＞. ①當n＝1時，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以結論成立． ②假設n＝k時結論成立，即··…·＞， 則當n＝k＋1時，··…··＞·＝， 要證當n＝k＋1時結論成立， 只需證≥， 即證≥， 由均值不等式＝≥成立，故≥成立，所以，當n＝k＋1時，結論成立． 由①②可知，n∈N*時， 不等式··…·＞成立．