新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第三節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)突破熱點(diǎn)題型

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域和值域 　 [例1]　(1)求函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域； (2)求函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值與最小值． [自主解答]　(1)由 得 ∴－3≤x＜－或0＜x＜. ∴函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域?yàn)? . (2)令t＝sin x，∵|x|≤， ∴t∈. ∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴當(dāng)t＝時(shí)，ymax＝，t＝－時(shí)，ymin＝. ∴函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值為，最小值為. 【方法規(guī)律】 1．三角函數(shù)定義域的求法 求三

2、角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解． 2．三角函數(shù)值域(或最值)的求法 求解三角函數(shù)的值域(或最值)常見(jiàn)到以下幾種類型的題目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)． (2013·陜西高考)已知向量a＝，b＝(

3、sin x，cos 2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解：f(x)＝·(sin x，cos 2x) ＝cos xsin x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x ＝cossin 2x－sincos 2x ＝sin. (1)f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝＝π， 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)， 當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，f(x)取得最大值1.[來(lái)源:] 當(dāng)2x－＝－，即x＝0時(shí)，f(0)＝－， 當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，f＝， 故f(

4、x)的最小值為－. 因此，f(x)在上的最大值為1，最小值為－. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性 　 [例2]　(1)(2013·浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的(　　) A．充分不必要條件　　　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2012·福建高考)函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對(duì)稱軸是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ (3)(201

5、3·江西高考)函數(shù)y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T為_(kāi)_______． [自主解答]　(1)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝時(shí)，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，為奇函數(shù)．所以“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的必要不充分條件． (2)法一：(圖象特征)∵正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 故令x－＝kπ＋，k∈Z，則x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，則x＝－. 法二：(驗(yàn)證法)x＝時(shí)，y＝sin＝0，不合題意，排除A；x＝時(shí)，y＝sin＝，不合題意，排除B；x＝－時(shí)，y＝sin＝－，不合題意，排除D；而x＝－時(shí)，y＝sin＝－1，符

6、合題意，C項(xiàng)正確，故選C. (3)∵y＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋，[來(lái)源:] ∴最小正周期T＝＝π. [答案]　(1)B　(2)C　(3)π 【互動(dòng)探究】 本例(2)中函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心是什么？ 解：令x－＝kπ，k∈Z，則x＝＋kπ，k∈Z. 故函數(shù)f(x)＝sin的對(duì)稱中心為(k∈Z)．　　　　　 【方法規(guī)律】[來(lái)源:] 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0. (

7、2)對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷． 1．函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的一條對(duì)稱軸為x＝，則φ＝________. 解析：由y＝sin x的對(duì)稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)，即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)． 又|φ|＜，所以k＝0，故φ＝. 答案： 2．函數(shù)y＝cos(3x＋φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則φ＝________. 解析：由題意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函數(shù)，故φ

8、＝kπ＋(k∈Z)． 答案：kπ＋(k∈Z) 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 三角函數(shù)的單調(diào)性　　 [來(lái)源:] 1．三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點(diǎn)，題型既有選擇題也有填空題，難度適中，為中低檔題． 2．高考對(duì)三角函數(shù)單調(diào)性的考查有以下幾個(gè)命題角度： (1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)； (3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)． [例3]　(1)(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　　B. C. D．(0,2] (2)

9、(2013·安徽高考)已知函數(shù)f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期為π. ①求ω的值； ②討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [自主解答]　(1)由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由題意知?(k∈Z)且≥2×， 則且0＜ω≤2， 故≤ω≤. (2)①f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋. 因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0， 從而有＝π，故ω＝1. ②由①知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，則≤2x＋≤. 當(dāng)≤2x＋≤，即0≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)≤2

10、x＋≤，即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． [答案]　(1)A 三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間．①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)． (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解． (3)利用三

11、角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函數(shù)的值域(或最值)問(wèn)題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決． 1．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω等于(　　) A．3 B．2 C. D. 解析：選C　∵y＝sin ωx(ω＞0)過(guò)原點(diǎn)， ∴當(dāng)0≤ωx≤，即0≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是增函數(shù)； 當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是減函數(shù)． 由y＝sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減知，＝，故ω＝. 2．求函數(shù)y＝tan的單調(diào)

12、區(qū)間． 解：把函數(shù)y＝tan變?yōu)閥＝－tan. 由kπ－<2x－

13、(或最值)的方法 　(1)利用sin x、cos x的有界性． (2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域(或最值)． (3)換元法：把sin x或cos x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(或最值)問(wèn)題． 4個(gè)注意點(diǎn)——研究三角函數(shù)性質(zhì)應(yīng)注意的問(wèn)題 　(1)三角函數(shù)的圖象從形上完全反映了三角函數(shù)的性質(zhì)，求三角函數(shù)的定義域、值域時(shí)應(yīng)注意利用三角函數(shù)的圖象． (2)閉區(qū)間上值域(或最值)問(wèn)題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的值域(或最值)問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)值域(或最值)的影響． (3)利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注意x系數(shù)的正負(fù)． (4)利用換元法求三角函數(shù)值域(或最值)時(shí)要注意三角函數(shù)的有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯(cuò)誤．