新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 突破點(diǎn)15　函數(shù)與方程 Word版含答案

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1、 1

2、 1 突破點(diǎn)15　函數(shù)與方程 [核心知識(shí)提煉] 提煉1 函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 (1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根． (2)幾何法：對(duì)于不能求解的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． (3)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，即如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b

3、)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn). 提煉2 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍問題，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．要注意觀察是否需要將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)較為簡單的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為定曲線與動(dòng)直線問題． [高考真題回訪] 回訪　已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍 1．(20xx·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝(　　) A．－　　　　　 B． C. D．1 C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2

4、＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)． ∵f(x)有唯一零點(diǎn)，∴g(t)也有唯一零點(diǎn)． 又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝. 故選C. 法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x＋1≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”． 若a＞0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，

5、 要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a＝1，即a＝. 若a≤0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一． 故選C.] 2．(20xx·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1) A　[f′(x)＝3ax2－6x， 當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)， 則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0； x∈時(shí)，f′(x)<0； x∈時(shí)，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示． 圖(1)

6、 不符合題意，排除B、C. 當(dāng)a＝－時(shí)，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，x∈時(shí)，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，則f(x)的大致圖象如圖(2)所示． 圖(2) 不符合題意，排除D.] 熱點(diǎn)題型1　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 題型分析：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題，難度中等偏難． 【例1】(1)(20xx·貴陽二模)已知函數(shù)f(x)＝當(dāng)1＜a＜2時(shí)，關(guān)于x的方程f[f(x)]＝a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024128】 A．2　　　　　 B．

7、3 C．4 D．5 (2)已知函數(shù)f(x)＝cos x，g(x)＝2－|x－2|，x∈[－2,6]，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的所有零點(diǎn)之和為(　　) A．6　　　 B．8 C.10　　　 D．12 (1)C　(2)D　[(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1＜a＜2，作出函數(shù)f(x)的圖象，令f(x)＝t(t＞0)，則f(t)＝a，a∈(1,2)，所以t∈∪(e，e2)，當(dāng)t∈時(shí)，因?yàn)椋?，由f(x)＝t可得此時(shí)有兩個(gè)解；當(dāng)t∈(e，e2)時(shí)，因?yàn)閑＞2，由f(x)＝t可得此時(shí)有兩個(gè)解，故關(guān)于x的方程f[f(x)]＝a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為4，故選C. (2)函數(shù)h(x)＝f(x)－

8、g(x)的零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)＝g(x)的根之和，即轉(zhuǎn)化為y1＝f(x)和y2＝g(x)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．又由函數(shù)g(x)＝2－|x－2|與f(x)的圖象均關(guān)于x＝2對(duì)稱，可知函數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12.] [方法指津] 求解此類函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題時(shí)，通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝g(x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．其解題的關(guān)鍵步驟為：①分解為兩個(gè)簡單函數(shù)；②在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；③數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 提醒：在畫函

9、數(shù)圖象時(shí)，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時(shí)應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用，以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等)的適時(shí)運(yùn)用，可加快畫圖速度，從而將問題簡化． [變式訓(xùn)練1] (1)(20xx·武漢一模)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(1－x)－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(20xx·南昌一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f(x)＝ln x－x＋1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (1)C　(2)C　[(1)g(x)＝f(1－x)－1

10、 ＝ ? 當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選C. (2)當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ln x－x＋1，則f′(x)＝－1＝，由f′(x)＝0得x＝1，且x∈(0,1)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值f(1)＝0，又奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出函數(shù)圖象如圖，由圖可知函數(shù)f(x)與y＝ex的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，故選C. ] 熱點(diǎn)題型2　已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍 題型分析：已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值

11、范圍，主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，對(duì)學(xué)生的畫圖能力有較高要求． 【例2】(1)(20xx·焦作二模)已知函數(shù)f(x)＝F(x)＝f(x)－x－1，且函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0] B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，＋∞) (2)(20xx·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)＝－kx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024129】 A．(0,2) B. C．(0，＋∞) D．(0，e) (1)C　(2)B　[(1)當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)＝ex－x－1，此時(shí)有一個(gè)零

12、點(diǎn)0， 當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)＝x[x＋(a－1)]， ∵函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn)， ∴1－a＞0，∴a＜1.故選C. (2)由題意，知x≠0，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程－kx＝0只有一個(gè)根，即方程＝k只有一個(gè)根，則函數(shù)g(x)＝與直線y＝k只有一個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)間′(x)＝，當(dāng)x＜0時(shí)，g′(x)＞0，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，g′(x)＞0，所以函數(shù)g(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，在(2，＋∞)上為增函數(shù)，g(x)的極小值為g(2)＝，且x→0，g(x)→＋∞；x→－∞，g(x)→0；x→＋∞，g(x)→＋∞，則g(x)的大致圖象如圖

13、所示，由圖易知0＜k＜，故選B. ] [方法指津] 求解此類逆向問題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，并進(jìn)行適當(dāng)化簡、整理；二是構(gòu)造新的函數(shù)，把方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；三是對(duì)新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍． 提醒：把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，在構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)的過程中，一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù)，最好有一條是直線，這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果． [變式訓(xùn)練2] (1)(20xx·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個(gè)零

14、點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024130】 A. B. C．－ D．－ (2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(　　) A．[3,5] B．[4,6] C．(3,5) D．(4,6) (1)C　(2)C　[(1)令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且f(x)是奇函數(shù)，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，又因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2＋1＝x－λ只有一個(gè)零點(diǎn)，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個(gè)零點(diǎn)，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－， 故選C. (2)因?yàn)閒(x)－f(－x)＝0， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù)， 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示： 因?yàn)間(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以y＝f(x)和y＝logax的圖象在(0，＋∞)上只有三個(gè)交點(diǎn)， 所以解得3＜a＜5.]