《新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題2 突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題2 突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版
1
2、 1
專題二 數(shù) 列
建知識網(wǎng)絡(luò) 明內(nèi)在聯(lián)系
[高考點撥] 數(shù)列專題是浙江新高考的必考專題之一，主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運算及數(shù)列求和的能力，該部分即可單獨命題，又可與其他專題綜合命題，考查方式靈活多樣，結(jié)合浙江新高考的命題研究，本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”兩條主線展開分析和預(yù)測．
突破點4 等
3、差數(shù)列、等比數(shù)列
(對應(yīng)學(xué)生用書第16頁)
[核心知識提煉]
提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算
(1)通項公式
等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d；
等比數(shù)列：an＝a1·qn－1.
(2)求和公式
等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d；
等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)．
(3)性質(zhì)
若m＋n＝p＋q，
在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq；
在等比數(shù)列中am·an＝ap·aq.
提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明
數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法：
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法
①利用定義，證明an＋1－
4、an(n∈N*)為同一常數(shù)；
②利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法
①利用定義，證明(n∈N*)為同一常數(shù)；
②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2).
提煉3數(shù)列中項的最值的求法
(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)＝an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制．
(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進而確定相應(yīng)的最值．
(3
5、)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列{an}的最大項，則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項．
[高考真題回訪]
回訪1 等差數(shù)列及其運算
1．(20xx·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
【導(dǎo)學(xué)號：68334059】
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
C [法一：∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S
6、6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d>0，則21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，
即S4＋S6>2S5.
若S4＋S6>2S5，則10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，
∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要條件．
故選C.
法二：∵S4＋S6>2S5?S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)?a6>a5?a5＋d>a5?d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要條件．
故選C.]
2．(20xx·浙江高考)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比
7、數(shù)列，則( )
A．a(chǎn)1d>0，dS4>0
B．a(chǎn)1d<0，dS4<0
C．a(chǎn)1d>0，dS4<0
D．a(chǎn)1d<0，dS4>0
B [∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展開整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.]
3．(20xx·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設(shè){an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a
8、m＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
【導(dǎo)學(xué)號：68334060】
[解] (1)由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 2分
將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因為d＞0，所以d＝2，Sn＝n2(n∈N*). 5分
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 11分
由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，故所以
15分
4．(20xx·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(1)求d，a
9、n；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
[解] (1)由題意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}為公差為d的等差數(shù)列得，d2－3d－4＝0， 2分
解得d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*). 5分
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11， 6分
所以當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n； 8分
當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋
10、110. 11分
綜上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝ 15分
回訪2 等比數(shù)列及其運算
5．(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.
1 121 [∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，
∴＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.]
6．(20xx·浙江高考)已知{an}是等差
11、數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝______，d＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：68334061】
－1 [∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
7．(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通項公式an；
(2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和．
[解] (1)由題意得則 2分
又當n
12、≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. 5分
(2)設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，則b1＝2，b2＝1.
當n≥3時，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 10分
當n≥3時，Tn＝3＋－＝， 13分
所以Tn＝ 15分
(對應(yīng)學(xué)生用書第17頁)
熱點題型1 等差、等比數(shù)列的基本運算
題型分析：以等差(比)數(shù)列為載體，考查基本量的求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命
13、題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較小.
【例1】 (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設(shè)bn＝1＋log3an，那么數(shù)列{bn}的前15項和為( ) 【導(dǎo)學(xué)號：68334062】
A．152 B．135
C．80 D．16
(2)(20xx·臺州市高三年級調(diào)考)已知數(shù)列{an}的前m(m≥4)項是公差為2的等差數(shù)列，從第m－1項起，am－1，am，am＋1，…成公比為2的等比數(shù)列．若a1＝－2，則m＝________，{an}的前6項和S6＝________.
(1)B (2)4 28 [(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由
14、a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝＝3，首項a1＝＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前15項的和為＝135，故選B.
(2)由題意，得am－1＝a1＋(m－2)d＝2m－6，am＝2m－4，則由＝＝2，解得m＝4，所以數(shù)列{an}的前6項依次為－2,0,2,4,8,16，所以S6＝28.]
[方法指津]
在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這
15、其中蘊含著方程思想的運用.
提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍.
[變式訓(xùn)練1] (1)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝51，則n＝__________.
(2)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝8π，則|an|前9項的和S9＝________，cos(a3＋a7)的值為________．
(1)6 (2)24π － [(1)由a1＝1，an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3，
所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
由Sn＝n＋×3＝51，即(3n＋17)(n－6)＝0，
16、
解得n＝6或n＝－(舍)．
(2)由{an}為等差數(shù)列得a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，所以{an}前9項的和S9＝＝9a5＝9×＝24π.cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos ＝cos ＝－.]
熱點題型2 等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)
題型分析：該熱點常與數(shù)列中基本量的運算綜合考查，熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)，可以大大提高解題效率.
【例2】 (1)已知實數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2a5a8＝－8，則＋＋
( ) 【導(dǎo)學(xué)號：68334063】
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項
17、和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，，…，中最大的項為( )
A. B.
C. D.
(1)D (2)C [(1)由題意可得a2a5a8＝a＝－8，則a5＝－2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則＋＋＝＋＋＝＋＋1≥2＋1＝，當且僅當＝，q2＝時取等號，所以＋＋有最小值，故選D.
(2)由S15＝＝＝15a8>0，S16＝＝16×<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以{an}單調(diào)遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.]
[方法指津]
1．若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的
18、前n項和，則{man＋kbn}，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)．
2．若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數(shù))，{a}，仍為等比數(shù)列．
3．公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數(shù)列，且公比為＝＝q.
4．(1)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk.
(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d.
5．若A
19、2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則＝.
[變式訓(xùn)練2]
(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝( )
A．1 B．2
C．3 D．2或4
(2)已知公比q不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且a2＋S2，a3＋S3，a4＋S4成等差數(shù)列，則q＝________，S6＝________.
(1)C (2) [(1)∵{an}為等比數(shù)列，∴a5＋a7是a1＋a3與a9＋a11的等比中項，∴(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝
20、＝2.
同理a9＋a11是a5＋a7與a13＋a15的等比中項，
∴(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)
故a13＋a15＝＝＝1.
∴a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
(2)由a2＋S2＝＋q，a3＋S3＝＋q＋q2，a4＋S4＝＋q＋q2＋q3成等差數(shù)列，得2＝＋q＋＋q＋q2＋q3，化簡得2q2－3q＋1＝0，q≠1，解得q＝，所以S6＝＝1－6＝.]
熱點題型3 等差、等比數(shù)列的證明
題型分析：該熱點常以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，考查學(xué)生的推理論證能力.
【例3】 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)證明{
21、an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
(2)若S5＝，求λ. 【導(dǎo)學(xué)號：68334064】
[解] (1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 1分
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan. 2分
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 3分
因此{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 4分
于是an＝n－1. 6分
(2)由(1)得Sn＝1－n. 8分
由S5＝得1－5＝，
即5＝. 13分
解得λ＝－1. 15分
[方法指津]
22、
判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，或利用等差中項、等比中項進行判斷.
提醒：利用a＝an＋1·an－1(n≥2)來證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，要注意數(shù)列中的各項均不為0.
[變式訓(xùn)練3] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．
(1)證明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．
[解] (1)證明：由題設(shè)知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 2分
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. 4分
(2)由題設(shè)知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 5分
由(1)知，a3＝λ＋1. 6分
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 7分
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3. 9分
{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 13分
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 15分
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