新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第二章 第四節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝，則f(－a)＝________. 解析：根據(jù)題意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函數(shù)， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(huán)(a)＝2－[1＋h (a)]＝2－f(a)＝2－＝. 答案： 2．若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式為f(x)＝_

3、_______. 解析：由f(x)＝bx2＋a(b＋2)x＋2a2是偶函數(shù)，可得a(b＋2)＝0.又其值域?yàn)?－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，從而b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4. 答案：－2x2＋4 3．若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝________. 解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， 則＋a＝－(＋a)，∴a＝. 答案： 4．定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，則f(3)，f(－2)與f(1)的大小關(guān)系是________． 解析：由已知<0，得f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)<

4、f(－2)

5、)， 化簡(jiǎn)得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0. 因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a＝－1. 答案：－1 7．偶函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數(shù)，則f(x)在[0,2]上的單調(diào)性是________． 解析：∵T＝4，且f(x)在[－6，－4]上單調(diào)遞減， ∴函數(shù)在[－2,0]上也單調(diào)遞減， 又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， 由對(duì)稱(chēng)性知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增． 答案：?jiǎn)握{(diào)遞增 8．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則不等式f(x)<－1的解集是________． 解析：∵f(

6、x)是奇函數(shù)， ∴x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)． 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<－1，即log2 x<－1，得00時(shí)，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)；進(jìn)而f(2 016)＝f(

7、336×6)＝f(0)＝3－1＝. 答案： 二、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象知 所以1

8、 (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并加以證明； (3)求f(x)的值域． 解析：(1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立， 即－＝0恒成立， 則2(a＋b)x2＋2a＝0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立． ∴a＝b＝0. (2)∵f(x)＝(x∈R)是奇函數(shù)， ∴只需研究f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的單調(diào)區(qū)間即可． 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，x＋1>0，x2－x1>0， 而x1，x2∈[0,1]時(shí)，x1x2－1<0， x1，x2∈[1，＋∞)時(shí)，x1x2－1>0， ∴當(dāng)x1，x2∈[0,1]時(shí)，f(x1)－f(x2)<

9、0， 函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x1，x2∈[1，＋∞)時(shí)，f(x1)－f(x2)>0， 函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)． 又f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)， 在(－∞，－1]上是減函數(shù)． 又x∈[0,1]，u∈[－1,0]時(shí)，恒有f(x)≥f(u)，等號(hào)只在x＝u＝0時(shí)取到，故f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)， 在(－∞，－1]，[1，＋∞)上是減函數(shù)． (3)當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝＝0； 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝＝≤， 即0

10、知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0. (1)求證：f(x)是偶函數(shù)； (2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 證明：(1)因?qū)Χx域內(nèi)的任意x1、x2都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 令x＝x1，x2＝－1，則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)． 再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，從而f(－1)＝0， 于是有f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函數(shù)． (2)設(shè)01，從而f()>0， 故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)