新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題突破練3 數(shù)列中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題 理 北師大版

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1、 專題突破練(三)　數(shù)列中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題 1．(20xx·北京高考)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10， 解得d＝2，所以an＝2n－1. (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q， 因?yàn)閎2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3， 所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1. 從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…

2、＋3n－1＝. 2．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N＋)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，試求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b. 由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x2－2x. 又因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(n∈N＋)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上， 所以Sn＝3n2－2n. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－

3、1)2－2(n－1)]＝6n－5； 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5， 所以an＝6n－5(n∈N＋)． (2)由(1)得bn＝＝ ＝， 故Tn＝＝ ＝. 3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S3＝6.正項(xiàng)數(shù)列{bn}滿足b1·b2·b3·…·bn＝2. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若λbn>an，對(duì)n∈N＋均成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140187】 [解]　(1)∵等差數(shù)列{an}中，a1＝1，S3＝6， ∴d＝1，故an＝n. 由 ①÷②得bn＝2＝2＝2n(n≥2)， b1＝2＝21

4、＝2，滿足通項(xiàng)公式， 故bn＝2n. (2)λbn>an恒成立，即λ>恒成立， 設(shè)cn＝，則＝， 當(dāng)n≥1時(shí)，cn＋1≤cn，{cn}單調(diào)遞減， ∴(cn)max＝c1＝，故λ>， ∴λ的取值范圍是. 4．(20xx·山東高考)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； (2)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 圖1 [解]　(1)

5、設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q. 由題意得所以3q2－5q－2＝0. 由已知得q>0，所以q＝2，x1＝1. 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1. (2)過(guò)P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1. 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn. 由題意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.① 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.② ①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝＋－(2n＋1)×2n－1， 所以Tn＝.