高考數(shù)學(xué)二輪課時(shí)作業(yè)：層級(jí)二 專(zhuān)題六 第3講理 概率、隨機(jī)變量及其分布 Word版含解析

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1、 層級(jí)二 專(zhuān)題六 第3講(理) 限時(shí)50分鐘　滿(mǎn)分76分 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2020·西安模擬)勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，其證明方法有幾百種之多，著名的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明．如圖，在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形ABDE是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形CFGH組成的．若Rt△ABC的三邊長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，則在正方形ABDE內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：C　[由于

2、Rt△ABC的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，又a2＋b2＝c2，于是(2b－c)2＋b2＝c2，故＝，＝.大正方形ABDE的面積為c2，小正方形CFGH的面積為(b－a)2，在正方形ABDE內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為＝2＝.故選C.] 2．(2020·石家莊模擬)《中華好詩(shī)詞》是由河北電視臺(tái)創(chuàng)辦的令廣大觀眾喜聞樂(lè)見(jiàn)的節(jié)目，旨在弘揚(yáng)中國(guó)古代詩(shī)詞文化，觀眾可以選擇從A，B，C和河北衛(wèi)視這四家視聽(tīng)媒體的播放平臺(tái)中觀看，若甲乙兩人各自隨機(jī)選擇一家播放平臺(tái)觀看此節(jié)目，則甲乙二人中恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[甲、

3、乙兩人從A，B，C和河北衛(wèi)視這四家播放平臺(tái)隨機(jī)選擇一家有4×4＝16(種)等可能情況，其中甲、乙兩人恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的情況有C×3＝6(種)，∴所求概率為＝.] 3．某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫(xiě)有成語(yǔ)的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 解析：A　[由題意得X＝0,1,2， 則P(X＝0)＝0.6×0

4、.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2， 所以E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.] 4．甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立解決同一個(gè)問(wèn)題，已知三位同學(xué)能夠正確解決這個(gè)問(wèn)題的概率分別為，，，則有人能夠解決這個(gè)問(wèn)題的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：B　[本題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率，考查對(duì)立事件的概率公式，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，屬于中檔題．這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有被解決的概率為＝，故有人能夠解決這個(gè)問(wèn)題的概率為1－＝.故選B項(xiàng)．] 5．(2019·大連三模)某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核，規(guī)則是：

5、①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃；②每個(gè)輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過(guò)，否則不通過(guò)．已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：B　[每個(gè)輪次甲不能通過(guò)的概率為×＝，通過(guò)的概率為1－＝，因?yàn)榧?個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B，所以X的數(shù)學(xué)期望為3×＝.] 6．(2020·衡水模擬)某公司為了準(zhǔn)確把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品計(jì)劃，特對(duì)某產(chǎn)品做了市場(chǎng)調(diào)查：先銷(xiāo)售該產(chǎn)品50天，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每天的銷(xiāo)量x(單位：件)分布在[50,100)內(nèi)，且銷(xiāo)量x的分布頻率f(x)＝若銷(xiāo)量大于或等于70件，則稱(chēng)

6、該日暢銷(xiāo)，其余為滯銷(xiāo)．在暢銷(xiāo)日中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，再?gòu)倪@8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，設(shè)這3天來(lái)自X個(gè)組，將頻率視為概率，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由題意知解得5≤n≤9，故n可取5,6,7,8,9，代入f(x)，得－0.5＋－0.5＋－a＋－a＋－a＝1，得a＝0.15.故銷(xiāo)量在[70,80)，[80,90)，[90,100)內(nèi)的頻率分別是0.2,0.3,0.3，頻率之比為2∶3∶3，所以各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3，X的所有可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝1－－＝. X的分布

7、列為 X 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故選C.] 二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分) 7．(2019·全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________． 解析：甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率為[C0.6×0.4×0.52＋0.62×C0.5×0.5]×0.6＝0.18. 答案：0.18 8．(20

8、19·寧波三模)某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元．保險(xiǎn)公司把職工從事的工作共分為A，B，C三類(lèi)工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出這三類(lèi)工種的每年賠付頻率如表所示，并以此估計(jì)賠付概率. 工種類(lèi)別 A B C 賠付頻率 若規(guī)定該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過(guò)保費(fèi)的20%，則A，B，C三類(lèi)工種每份保單保費(fèi)的上限之和為_(kāi)_______元． 解析：設(shè)工種A的每份保單保費(fèi)為a元，保險(xiǎn)公司每份保單的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X，則X的分布列為 X a a－5×105 P 1－ 保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)E(X)＝a＋(a－5×10

9、5)×＝(a－5)(元)， 根據(jù)規(guī)定知a－5≤0.2a， 解得a≤6.25. 設(shè)工種B的每份保單保費(fèi)為b元，同理可得保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)為(b－10)元，根據(jù)規(guī)定知，b－10≤0.2b，解得b≤12.5， 設(shè)工種C的每份保單保費(fèi)為c元，同理可得保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)為(c－50)元，根據(jù)規(guī)定知，c－50≤0.2c，解得c≤62.5. 則A，B，C三類(lèi)工種每份保單保費(fèi)的上限之和為6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)． 答案：81.25 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 9．(2020·長(zhǎng)沙模擬)東方商店欲購(gòu)進(jìn)某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每?jī)商熨?gòu)進(jìn)該食品一次(

10、購(gòu)進(jìn)時(shí)，該食品為剛生產(chǎn)的)．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該食品每份進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元，如果兩天內(nèi)無(wú)法售出，則食品過(guò)期作廢，且兩天內(nèi)的銷(xiāo)售情況互不影響，為了解市場(chǎng)的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該食品在本地區(qū)100天的銷(xiāo)售量如下表： 銷(xiāo)售量/份 15 16 17 18 天數(shù) 20 30 40 10 (視樣本頻率為概率) (1)根據(jù)該食品100天的銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)表，記兩天中一共銷(xiāo)售該食品份數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)以?xún)商靸?nèi)該食品所獲得的利潤(rùn)期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購(gòu)進(jìn)32或33份， 哪一種得到的利潤(rùn)更大？ 解析：(1)根據(jù)題意可得 P(ξ＝30)＝×＝， P(ξ＝31)＝××

11、2＝， P(ξ＝32)＝××2＋×＝， P(ξ＝33)＝××2＋××2＝， P(ξ＝34)＝××2＋×＝， P(ξ＝35)＝××2＝， P(ξ＝36)＝×＝. ξ的分布列如下： ξ 30 31 32 33 34 35 36 P E(ξ)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8. (2)當(dāng)一次性購(gòu)進(jìn)32份食品時(shí)，設(shè)每?jī)商斓睦麧?rùn)為X，則X的可能取值有104,116,128， 且P(X＝104)＝0.04，P(X＝116)＝0.12， P(X＝128)＝1－0.04－0.12＝0.84， ∴E(X)＝104

12、×0.04＋116×0.12＋128×0.84＝125.6. 當(dāng)一次性購(gòu)進(jìn)33份食品時(shí)，設(shè)每?jī)商斓睦麧?rùn)為Y，則Y的可能取值有96,108,120,132. 且P(Y＝96)＝0.04，P(Y＝108)＝0.12， P(Y＝120)＝0.25，P(Y＝132)＝1－0.04－0.12－0.25＝0.59， ∴E(Y)＝96×0.04＋108×0.12＋120×0.25＋132×0.59＝124.68. ∵E(X)＞E(Y)， ∴東方商店一次性購(gòu)進(jìn)32份食品時(shí)得到的利潤(rùn)更大． 10．(2019·北京卷)改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一

13、．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 　　　　　支付金額(元) 支付方式　　　　　　 (0,1 000] (1 000,2 000] 大于2 000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 (1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率； (2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和

14、數(shù)學(xué)期望； (3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由． 解析：本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來(lái)設(shè)置問(wèn)題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)． (1)由題意可知，兩種支付方式都使用的人數(shù)為：(100－30－25－5)人＝40人，則： 該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率p＝＝. (2)由題意可知， 僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1 000元的

15、人數(shù)占，金額大于1 000的人數(shù)占， 僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1 000元的人數(shù)占，金額大于1 000元的人數(shù)占， 且X可能的取值為0,1,2. P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝2＋2＝，P(X＝2)＝×＝， X的分布列為： X 0 1 2 p(X) 其數(shù)學(xué)期望：E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (3)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化．理由如下： 隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率． 學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際

16、情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”． 11．(2020·福建質(zhì)檢)“工資條里顯紅利，個(gè)稅新政入民心”．隨著2019年新年鐘聲的敲響，我國(guó)自1980年以來(lái)，力度最大的一次個(gè)人所得稅(簡(jiǎn)稱(chēng)個(gè)稅)改革迎來(lái)了全面實(shí)施的階段.2019年1月1日起實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括：①個(gè)稅起征點(diǎn)為5 000元；②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個(gè)稅起征點(diǎn)－專(zhuān)項(xiàng)附加扣除；③專(zhuān)項(xiàng)附加扣除包括住房貸款利息或者住房租金(以下簡(jiǎn)稱(chēng)住房)、子女教育、贍養(yǎng)老人等．新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下： 舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)3 500元) 新個(gè)稅稅

17、率表(個(gè)稅起征點(diǎn)5 000元) 繳稅 級(jí)數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個(gè)稅起征點(diǎn) 稅率(%) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個(gè)稅起征點(diǎn)－專(zhuān)項(xiàng)附加扣除 稅率(%) 1 不超過(guò)1 500元的部分 3 不超過(guò)3 000元的部分 3 2 超過(guò)1 500元至4 500元的部分 10 超過(guò)3 000元至12 000元的部分 10 3 超過(guò)4 500元至9 000元的部分 20 超過(guò)12 000元至25 000元的部分 20 4 超過(guò)9 000元至35 000元的部分 25 超過(guò)25 000元至35 000元的部分 25 5 超過(guò)35 000元

18、至55 000元的部分 30 超過(guò)35 000元至55 000元的部分 30 … … … … … 隨機(jī)抽取某市1 000名同一收入層級(jí)的IT從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2019年的人均月收入為24 000元．統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專(zhuān)項(xiàng)附加扣除；同時(shí)，他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除、符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除、符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除但不符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除、既符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1；此外

19、，他們均不符合其他專(zhuān)項(xiàng)附加扣除．新個(gè)稅政策下該市的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房1 000元/月，子女教育每孩1 000元/月，贍養(yǎng)老人2 000元/月等． 假設(shè)該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者都獨(dú)自享受專(zhuān)項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入．根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決如下問(wèn)題： (1)設(shè)該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者2019年月繳個(gè)稅為X元，求X的分布列和期望； (2)根據(jù)新舊個(gè)稅政策，估計(jì)從2019年1月開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅之和就超過(guò)其2019年的人均月收入？ 解析：(1)既不符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人

20、專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000＝18 000(元)， 月繳個(gè)稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋6 000×20%＝2 190； 符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000－1 000＝17 000(元)， 月繳個(gè)稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋5 000×20%＝1 990； 符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除但不符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000－2 000＝16 000(元)， 月繳個(gè)

21、稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋4 000×20%＝1 790. 既符合子女教育專(zhuān)項(xiàng)附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000－1 000－2 000＝15 000(元)， 月繳個(gè)稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋3 000×20%＝1 590. 所以X的可能值為2 190,1 990,1 790,1 590. 依題意，上述四類(lèi)人群的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1， 所以P(X＝2 190)＝，P(X＝1 990)＝， P(X＝1 790)＝，P(X＝1 590)＝. 所以X的分布列為 X 2 190

22、 1 990 1 790 1 590 P 所以E(X)＝2 190×＋1 990×＋1 790×＋1 590×＝1 950. (2)因?yàn)樵谂f個(gè)稅政策下該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者2019年每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－3 500＝20 500(元)， 所以其月繳個(gè)稅為1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋11 500×25%＝4 120(元)． 因?yàn)樵谛聜€(gè)稅政策下該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者2019年月繳個(gè)稅的均值為1 950元， 所以該收入層級(jí)的IT從業(yè)者每月少繳納的個(gè)稅為4 120－1 950＝2 170(元)． 設(shè)經(jīng)過(guò)x個(gè)月，該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅的總和就超過(guò)24 000元， 則2 170x＞24 000，因?yàn)閤∈N，所以x≥12. 所以經(jīng)過(guò)12個(gè)月，該市該收入層級(jí)的IT從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅的總和就超過(guò)2019年的人均月收入．