新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式學案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第二節(jié)　基本不等式 [考綱傳真]　1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． (對應學生用書第81頁) [基礎知識填充] 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號． (3)稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù).稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)． 2．幾個重要的不等

3、式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R當且僅當a＝b時，取等號)； (2)＋≥2(a，b同號且不為零，當且僅當a＝b時，取等號)； (3)ab≤2(a，b∈R，當且僅當a＝b時，取等號)； (4)2≤(a，b∈R，當且僅當a＝b時，取等號)． 3．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

4、 (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)x>0，y>0是＋≥2的充要條件．(　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2>2ab　 B．a(chǎn)＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯誤；對于B，C，當a<0，b<0時，明顯錯誤． 對于D，∵ab>0， ∴＋≥2＝2.] 3．(20xx·福州模擬)若直線＋

5、＝1(a＞0，b＞0)過點(1,1)，則a＋b的最小值等于 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[因為直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當a＝b＝2時取“＝”，故選C．] 4．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 C　[當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2＝(x>2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，選C．] 5．(教材改編)若把總長為20

6、m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是__________m2. 【導學號：00090198】 25　[設矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， 則y＝x(10－x)≤2＝25， 當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.] (對應學生用書第81頁) 直接法或配湊法求最值 　(1)(20xx·湖南高考)若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A．　 B．2 C．2 D．4 (2)已知x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________． (1)C　(2)1　[(1)由＋

7、＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2， 當且僅當即a＝，b＝2時取“＝”，所以ab的最小值為2. (2)因為x＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.] [規(guī)律方法]　(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件． (2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利

8、用基本不等式． [變式訓練1]　(1)若函數(shù)f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 (2)(20xx·平頂山模擬)若對于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ (1)C　(2)A　[(1)當x＞2時，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2＝(x＞2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，即a＝3，選C． (2)由x＞0，得＝≤＝，當且僅當x＝1時，等號成立．則a≥，故選A．] 常數(shù)代換法或消元法求最值

9、　(1)(20xx·河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)已知正實數(shù)x，y滿足2x＋y＝2，則＋的最小值為________． (2)(20xx·鄭州模擬)已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是________． 【導學號：00090199】 (1)　(2)3　[(1)∵正實數(shù)x，y滿足2x＋y＝2， 則＋＝(2x＋y) ＝≥ ＝，當且僅當x＝y(tǒng)＝時取等號． ∴＋的最小值為. (2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，則2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，當且僅當x＝1時，等號成立，所以2x＋y的最小值為3.] [規(guī)律方法]　條件最值的求解通常有三種

10、方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解． 易錯警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致． [變式訓練2]　(1)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，則＋的最小值為________． (2)(20xx·淮北模擬)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y－xy＝0，則x＋2y的最小值為(　　) A．8 B．4 C．

11、2 D．0 (1)18　(2)A　[(1)因為x＞0，y＞0，且x＋y＝1， 所以＋＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 當且僅當＝，即x＝2y時等號成立， 所以當x＝，y＝時，＋有最小值18. (2)法一：(常數(shù)代換法)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x＞0，y＞0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8. 法二：(不等式法)由x＞0，y＞0得x＋2y＝xy≤·2 即(x＋2y)2－8(x＋2y)≥0 解得x＋2y≥8或x＋2y≤0(舍去) 從而x＋2y的最小值為8.] 基本不等式的實際應用 　運貨卡車以每小時x千米的速度

12、勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元． (1)求這次行車總費用y關于x的表達式； (2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值. 【導學號：00090200】 [解]　(1)設所用時間為t＝(h)， y＝×2×＋14×，x∈[50,100]. 2分 所以這次行車總費用y關于x的表達式是 y＝＋x，x∈. (或y＝＋x，x∈). 5分 (2)y＝＋x≥26 ， 當且僅當＝x， 即x＝18，等號成立. 8分 故當x＝18千米/時

13、，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元. 12分 [規(guī)律方法]　1.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． 2．根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值． 3．在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解． [變式訓練3]　某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F＝. (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時. 【導學號：00090201】 (1)1 900　(2)100　[(1)當l＝6.05時，F(xiàn)＝， ∴F＝＝≤＝1 900， 當且僅當v＝，即v＝11時取“＝”． ∴最大車流量F為1 900輛/時． (2)當l＝5時，F(xiàn)＝＝， ∴F≤＝2 000， 當且僅當v＝，即v＝10時取“＝”． ∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加2 000－1 900＝100輛/時．]