新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第四節(jié)　數(shù)列求和突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第四節(jié)　數(shù) 列 求 和 考點一 公式法求和 　 [例1]　(2013·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. [自主解答]　(1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2， 即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn. 因為d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.則 當(dāng)n≤11時，

2、 |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n. 當(dāng)n≥12時， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝ 【方法規(guī)律】 三類可以使用公式求和的數(shù)列 (1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解． (2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求解． (3)等差數(shù)列各項加上絕對值，等差數(shù)列的通項公式乘以(－1)n. 已知數(shù)列{a

3、n}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項和Sn. 解：Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以當(dāng)n為偶數(shù)時， Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 當(dāng)n為奇數(shù)時， Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1.[來源:] 綜上所述，Sn＝ 考點二 錯位相減法求和 　 [例2]　已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27

4、，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，證明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)． [自主解答]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d. 由條件，得方程組解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)證明：由(1)，得 Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，① 2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.② 由①－②，得 －Tn＝

5、2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8， 即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1. 而當(dāng)n≥2時，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1， 所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2. 【互動探究】 在本例(2)中，若Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，求證：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． 證明：由(1)，得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② ②－①，得 Tn＝－2

6、(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2 ＝＋2n＋2－6n＋2 ＝10×2n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.　　　　 【方法規(guī)律】 用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式； (3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解． [來源:]

7、 已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝. (1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列并求數(shù)列{bn}的通項公式；[來源:] (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解：(1)由bn＝，得bn＋1＝， 又∵an＋1－3an＝3n， ∴bn＋1－bn＝－＝＝＝.[來源:] ∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其首項b1＝1，公差為. ∴bn＝1＋(n－1)＝. (2)an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1. ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝3×1＋4×3＋…＋(n＋2)×3n－1，① ∴3Sn＝3×3＋4×32＋…＋(n＋2)×3n.② ①

8、－②，得 －2Sn＝3×1＋3＋32＋…＋3n－1－(n＋2)×3n ＝2＋1＋3＋32＋…＋3n－1－(n＋2)×3n ＝－(n＋2)×3n， ∴Sn＝－＋. 高頻考點 考點三 裂項相消法求和　　 1．裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度： (1)直接考查裂項相消法求和； (2)與不等式相結(jié)合考查裂項相消法求和． [例3]　(2013·廣東高考)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)證明

9、：a2＝； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. [自主解答]　(1)證明：∵an>0，令n＝1，有4S1＝a－4－1，即4a1＝a－5，∴a2＝. (2)當(dāng)n≥2時，4Sn＝a－4n－1,4Sn－1＝a－4(n－1)－1，兩式相減得4an＝a－a－4，有a＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2，∴{an}從第2項起，是公差為2的等差數(shù)列， ∴a5＝a2＋3×2＝a2＋6，a14＝a2＋12×2＝a2＋24， 又a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，有a＝a2·a14， 則(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3， 由(1)得a1＝1，

10、又an＋1＝an＋2(n≥2)． ∴{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， 即an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (3)證明：由(2)得＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝ ＝<. 裂項相消法求和問題的常見類型及解題策略 (1)直接考查裂項相消法求和．解決此類問題常用的裂項有：＝－；＝；＝－. (2)與不等式相結(jié)合考查裂項相消法求和．解決此類問題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式． 1．正項數(shù)列{an}滿足：a－(2n－1)an－2n＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(

11、1)由a－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正項數(shù)列，所以an＝2n.[來源:] (2)已知an＝2n，bn＝， 則bn＝＝. Tn＝ ＝＝. 2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，cn＝，記Sn＝c1＋c2＋…＋cn，證明：Sn<1. 解：(1)由題意a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＋2n－1an＝，n∈N*，當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝. 兩式相減，得2n－1an＝－＝. 所以，當(dāng)n≥2時，

12、an＝. 當(dāng)n＝1時，a1＝也滿足上式， 所求通項公式an＝(n∈N*)． (2)證明：bn＝＝＝， cn＝＝－， Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－<1. —————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種思路——解決非等差、等比數(shù)列求和問題的兩種思路 　(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成． (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和． 3個注意點——應(yīng)用“裂項相消法”和“錯位相減法”應(yīng)注　意的問題 　(1)裂項相消法，分裂通項是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差． (2)在正負(fù)項抵消后，是否只剩下第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項，未消去的項有前后對稱的特點． (3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比含有參數(shù)，應(yīng)分q＝1和q≠1兩種情況求解．