新編人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：94 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．判斷兩個(gè)分類變量是彼此相關(guān)還是相互獨(dú)立的常用方法中，最為精確的是(　　) A．三維柱形圖　　　　　　　 B．二維條形圖 C．等高條形圖 D．獨(dú)立性檢驗(yàn) 解析：前三種方法只能直觀地看出兩個(gè)分類變量x與y是否相關(guān)，但看不出相關(guān)的程度．獨(dú)立性檢驗(yàn)通過(guò)計(jì)算得出相關(guān)的可能性，較為準(zhǔn)確． 答案：D 2．(2014年廣州調(diào)研)已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從所得的散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則＝(　　) A．2.1 B．2.

2、2 C．2.4 D．2.6 解析：由題意得＝2，＝4.5，將(2,4.5)代入＝0.95x＋可得＝2.6. 答案：D 3．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 b 乙班 c 30 總計(jì) 105 已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35 B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50 C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系” D．根

3、據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系” 解析：由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是30，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值為k＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 答案：C 4．(2014年通州一模)對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說(shuō)法中不正確的是(　　) A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程＝x＋必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 C

4、．用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R2的值越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好 D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)r＝－0.936 2，則變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系 解析：R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越好，故選C. 答案：C[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 5．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表： [來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 男 女 總計(jì) 愛(ài)好 40 20 60 不愛(ài)好 20 30 50 總計(jì) 60 50[來(lái)源:] 110 由K2＝算得， K2＝≈7.8. 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.

5、001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結(jié)論是(　　) A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” 解析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由K2≈7.8＞6.635可知我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，故選C. 答案：C 6．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用

6、x(萬(wàn)元) 4 2 3 5 銷售額y(萬(wàn)元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為(　　) A．63.6萬(wàn)元 B．65.5萬(wàn)元 C．67.7萬(wàn)元 D．72.0萬(wàn)元 解析：∵＝＝3.5(萬(wàn)元)，[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] ＝＝42， 又＝x＋必過(guò)(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1. ∴線性回歸方程為＝9.4x＋9.1， ∴當(dāng)x＝6時(shí)，＝9.4×6＋9.1＝65.5(萬(wàn)元)． 答案：B 二、填空題 7．(2014年韶關(guān)模擬)某市居民2008～2012年家庭年平均收入x(單位：萬(wàn)元)與年平均支出

7、y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 2012 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關(guān)關(guān)系． 解析：由中位數(shù)的定義知，總體個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)按大小順序排列后中間一個(gè)是中位數(shù)，而偶數(shù)個(gè)時(shí)需取中間兩數(shù)的平均數(shù)．由統(tǒng)計(jì)資料可以看出，當(dāng)年平均收入增多時(shí)，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正線性相關(guān)關(guān)系． 答案：13　正 8．(2014年甘肅部分示范校

8、模擬)為了均衡教育資源，加大對(duì)偏遠(yuǎn)地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬(wàn)元)和年教育支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：＝0.15x＋0.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年教育支出平均增加________萬(wàn)元． 解析：由題意知0.15(x＋1)＋0.2－0.15x－0.2＝0.15. 答案：0.15 9．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841

9、)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k＝≈4.844. 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______． 解析：∵K2≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%. 答案：5% 三、解答題 10．(2013年高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720. (1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；

10、 (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中， b＝，a＝－b， 其中，為樣本平均值．線性回歸方程也可寫為＝x＋. 解析：(1)由題意知n＝10，＝xi＝＝8，＝y(tǒng)i＝＝2， 又lxx＝x－n2＝720－10×82＝80， lxy＝xiyi－n?。?84－10×8×2＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入

11、回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 11．一商場(chǎng)對(duì)每天進(jìn)店人數(shù)和商品銷售件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)對(duì)比，得到如下表格： 人數(shù)xi 10 15 20 25 30 35 40 件數(shù)yi 4 7 12 15 20 23 27 其中i＝1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天進(jìn)店人數(shù)為橫軸，每天商品銷售件數(shù)為縱軸，畫出散點(diǎn)圖； (2)求回歸直線方程．(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位) (3)預(yù)測(cè)進(jìn)店人數(shù)為80人時(shí)，商品銷售的件數(shù)．(結(jié)果保留整數(shù)) 解析：(1)散點(diǎn)圖如圖． (2)∵xiyi＝3 245，＝25，＝15.4

12、3，x＝5 075，7()2＝4 375,7?。? 695， ∴＝≈0.79， ＝－b＝－4.32， ∴回歸直線方程是＝0.79x－4.32. (3)進(jìn)店人數(shù)為80人時(shí)，商品銷售的件數(shù)y＝0.79×80－4.32≈59. 12．(能力提升)(2013年高考福建卷)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[6

13、0,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率； (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？ 附：2＝ P(2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 (注：此公式也可以寫成K2＝) 解析：(1)由已知得，樣本中有25

14、周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名． 所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)，記為B1，B2. 從中隨機(jī)抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)． 其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3

15、，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝. (2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手[來(lái)源:] 合計(jì) 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 所以得K2＝＝ ＝≈1.79. 因?yàn)?.79<2.706， 所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”． [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1．已知數(shù)組(x1，

16、y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)滿足線性回歸方程＝x＋，則“(x0，y0)滿足線性回歸方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：x0，y0為這10組數(shù)據(jù)的平均值，又因?yàn)榫€性回歸方程＝x＋必過(guò)樣本中心點(diǎn)(，)，因此(，)一定滿足線性回歸方程，但滿足線性回歸方程的數(shù)組除了(，)外，可能還有其他樣本點(diǎn)． 答案：B 2．(2014年江西重點(diǎn)中學(xué)盟校第二次聯(lián)考)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方

17、程＝0.67x＋54.9. 零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______． 解析：由已知可計(jì)算求出＝30，而回歸直線方程必過(guò)點(diǎn)(，)，則＝0.67×30＋54.9＝75，設(shè)模糊數(shù)字為a，則 ＝75，計(jì)算得a＝68. 答案：68 3．某超市為了了解熱茶的銷售量y(單位：杯)與氣溫x(單位：℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 杯數(shù) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程＝bx＋a中的b≈－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－5 ℃時(shí)，熱茶銷售量為_(kāi)_______杯． 解析：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得，＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40. 則a＝－b＝40－(－2)×10＝60，故＝－2x＋60. 當(dāng)x＝－5時(shí)，＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70