新編高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題3 突破點7　用樣本估計總體 Word版含解析

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1、 突破點7　用樣本估計總體 提煉1　頻率分布直方圖　(1)頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×. (2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1. (3)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，在頻率分布直方圖中： ①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)； ②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的； ③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和． 提煉2　莖葉圖的優(yōu)點　(1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到． (2)可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布情況． 提煉3　

2、樣本的數(shù)字特征　(1)眾數(shù)、中位數(shù)． (2)樣本平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (3)樣本方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (4)樣本標準差 s＝. 回訪　用樣本估計總體 1．(20xx·全國乙卷)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 圖 記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易

3、損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)． (1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式； (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值； (3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？ 解]　(1)當x≤19時，y＝3 800； 當x>19時，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y與x的函數(shù)解析式為 y＝(

4、x∈N).4分 (2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.6分 (3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800，20臺的費用為4 300,10臺的費用為4 800，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.8分 若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000，10臺的費用為4 500，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平

5、均數(shù)為(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 10分 比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.12分 2．(20xx·全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數(shù)分布表： 質量指標值分組 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125) 頻數(shù) 6 26 38 22 8 (1)在下表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖； (2)估計這種產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，能否認為該企

6、業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？ 解]　(1) 4分 (2)質量指標值的樣本平均數(shù)為＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.6分 質量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以這種產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.8分 (3)質量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.10分 由于該估計值小于0.8，故不能認為該企

7、業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.12分 3．(20xx·全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下： 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2 3．5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1 2．3　2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間： 3．2　1.7　1.9　

8、0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3 1．4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2 2．7　0.5 (1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結果看，哪種藥的療效更好？ (2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？ 圖 解]　(1)設A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為. 由觀測結果可得 ＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，2分 ＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1

9、.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.4分 由以上計算結果可得＞，因此可看出A藥的療效更好.6分 (2)由觀測結果可繪制莖葉圖如圖： 9分 從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有的葉集中在莖“2.”，“3.”上，而B藥療效的試驗結果有的葉集中在莖“0.”，“1.”上，由此可看出A藥的療效更好.12分 熱點題型1　頻率分布直方圖 題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實際問題為背景，考查學生運用已知數(shù)據(jù)分析問題的能力，難度中等． 　(20xx·合肥三模)某高中為了解全校學生每周參與體育運

10、動的情況，隨機從全校學生中抽取100名學生，統(tǒng)計他們每周參與體育運動的時間如下： 每周參與運動的時間(單位：小時) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20] 頻數(shù) 24 40 28 6 2 (1)作出樣本的頻率分布直方圖； (2)①估計該校學生每周參與體育運動的時間的中位數(shù)及平均數(shù)； ②若該校有學生3 000人，根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，估計該校學生每周參與體育運動的時間不低于8小時的人數(shù)． 解]　(1)頻率分布直方圖如圖所示： (2)①由數(shù)據(jù)估計中位數(shù)為4＋×4＝6.6，8分 估計平均數(shù)為2×0.24＋6×0.4＋10×0.28＋14×0

11、.06＋18×0.02＝6.88.10分 ②將頻率看作概率知P(t≥8)＝0.36， ∴3 000×0.36＝1 080.12分 解決該類問題的關鍵是正確理解已知數(shù)據(jù)的含義．掌握圖表中各個量的意義，通過圖表對已知數(shù)據(jù)進行分析． 提醒：(1)小長方形的面積表示頻率，其縱軸是，而不是頻率． (2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對應小長方形的高度之比． 變式訓練1] 某電子商務公司隨機抽取1 000名網(wǎng)絡購物者進行調查．這1 000名購物者網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間0.3,0.9]內，樣本分組為：0.3,0.4)，0.4，0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，

12、0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下： 圖7-3 電子商務公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關系如下： 購物金額分組 0.3,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.8) 0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100 150 200 (1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)； (2)以這1 000名購物者購物金額落在相應區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率． 解]　(1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表： x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<

13、0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為： ＝96.4分 (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與 購物金額x的對應關系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02，10分 從而，獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12分 熱點題型2　莖葉圖 題型分析：結合樣本數(shù)據(jù)和莖葉圖對

14、總體作出估計是高考命題的熱點，應引起足夠的重視，難度中等． 　(20xx·福州模擬)長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響著學生的身體健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周手機上網(wǎng)的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖7-4所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字)． 圖7-4 (1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學生平均上網(wǎng)時間較長； (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機提取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率． 解]　(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9＋1

15、1＋14＋20＋31)＝17.3分 由此估計A班學生每周平均上網(wǎng)時間17小時； B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估計B班學生每周平均上網(wǎng)時間較長.6分 (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個，分別為11,12,21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有：9種不同情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)兩種， 故a>

16、b的概率P＝.12分 作莖葉圖時先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據(jù)莖葉圖，可以得到數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，也可從圖中直接估計出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性． 變式訓練2]　(名師押題)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解]　(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差為40－19＝21.2分 (2)這20名工人年齡的莖葉圖如下： 6分 (3)這20名工人年齡的平均數(shù)＝(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，8分 故方差s2＝1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.12分