高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第9章 第7節(jié) 雙曲線 Word版含解析
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1、 第七節(jié) 雙曲線 [最新考綱] 1.了解雙曲線的實(shí)際背景,了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用. (對應(yīng)學(xué)生用書第161頁) 1.雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|的點(diǎn)的集合叫作雙曲線,定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn),兩個焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距. (2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c, 其中a,c為常數(shù)且
2、a>0,c>0. ①當(dāng)2a<|F1F2|時,M點(diǎn)的軌跡是雙曲線; ②當(dāng)2a=|F1F2|時,M點(diǎn)的軌跡是兩條射線; ③當(dāng)2a>|F1F2|時,M點(diǎn)不存在. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤-a, y∈R x∈R, y≤-a或y≥a 對稱性 對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo) A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 漸近線 y=±x y=±x 離心率 e==∈(1,+∞) 實(shí)、虛軸 線段A1A2叫做雙曲線
3、的實(shí)軸,它的長|A1A2|=2a; 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b; a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長 a,b,c的關(guān)系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 3.等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率為e=. 1.過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為,也叫通徑. 2.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b. 3.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. 4.與雙曲線-=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示
4、為-=t(t≠0). 5.當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,求雙曲線方程時,可設(shè)雙曲線方程為b2x2-a2y2=λ(λ≠0). 一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F(xiàn)2(0,-4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線. ( ) (2)方程-=1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線. ( ) (3)雙曲線-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的漸近線方程是-=0,即±=0. ( ) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于. ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改編 1.雙曲線-=
5、1的焦距為( ) A.5 B. C.2 D.1 C [由雙曲線-=1,易知c2=3+2=5,所以c=,所以雙曲線-=1的焦距為2.] 2.以橢圓+=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為( ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-=1 A [設(shè)要求的雙曲線方程為-=1(a>0,b>0), 由橢圓+=1,得橢圓焦點(diǎn)為(±1,0),在x軸上的頂點(diǎn)為(±2,0). 所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0),焦點(diǎn)為(±2,0). 所以a=1,c=2, 所以b2=c2-a2=3, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.] 3.已知雙曲線-=1(a>0)
6、的離心率為2,則a=( ) A.2 B. C. D.1 D [依題意,e===2,∴=2a,則a2=1,a=1.] 4.經(jīng)過點(diǎn)A(5,-3),且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________. -=1 [設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ,把點(diǎn)A(5,-3)代入,得λ=16, 故所求方程為-=1.] (對應(yīng)學(xué)生用書第162頁) ⊙考點(diǎn)1 雙曲線的定義及應(yīng)用 雙曲線定義的兩個應(yīng)用 (1)判定平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程. (2)在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運(yùn)用平方的方
7、法,建立與|PF1|·|PF2|的關(guān)系. (1)設(shè)P是雙曲線-=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若|PF1|=9,則|PF2|等于( ) A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不對 (2)已知動圓M與圓C1:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,則動圓圓心M的軌跡方程為( ) A.-=1(x≥) B.-=1(x≤-) C.+=1(x≥) D.+=1(x≤-) (3)已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|等于( ) A.2 B.4 C.6
8、 D.8 (1)B (2)A (3)B [(1)根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=8?|PF2|=1或17. 又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17,故選B. (2)設(shè)動圓的半徑為r,由題意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2,故由雙曲線的定義可知動點(diǎn)M在以C1(-4,0),C2(4,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2a=2的雙曲線的右支上,即a=,c=4?b2=16-2=14,故動圓圓心M的軌跡方程為-=1(x≥),故選A. (3)由雙曲線的方程得a=1,c=, 由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=2. 在△PF1F2中,由余
9、弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即(2)2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|=22+|PF1|·|PF2|, 解得|PF1|·|PF2|=4,故選B.] [母題探究] 1.本例(3)中,若將條件“∠F1PF2=60°”改為|PF1|=2|PF2|,試求cos∠F1PF2的值. [解] 根據(jù)雙曲線的定義知,|PF1|-|PF2|=|PF2|=2,則|PF1|=2|PF2|=4,又|F1F2|=2 ∴cos∠F1PF2===. 2.本例(3)中,若
10、將條件“∠F1PF2=60°”,改為·=0,則△F1PF2的面積是多少? [解] 不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上. 則|PF1|-|PF2|=2a=2, 由·=0,得⊥. 在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=8, ∴|PF1||PF2|=2. ∴S△F1PF2=|PF1||PF2|=1. (1)求雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時,要注意取舍,如本例T(1);(2)利用定義求雙曲線方程時,要注意所求是雙曲線一支,還是整個雙曲線,如本例T(2). 1.已知點(diǎn)F1(-3,0)和F2(3,0),動點(diǎn)P到F1,
11、F2的距離之差為4,則點(diǎn)P的軌跡方程為( ) A.-=1(y>0) B.-=1(x>0) C.-=1(y>0) D.-=1(x>0) B [由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支,設(shè)其方程為-=1(x>0,a>0,b>0),由題設(shè)知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以點(diǎn)P的軌跡方程為-=1(x>0).] 2.已知雙曲線x2-=1的兩個焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點(diǎn).若|PF1|=|PF2|,則△F1PF2的面積為( ) A.48 B.24 C.12 D.6 B [由雙曲線的定義可得 |PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, 解得
12、|PF2|=6,故|PF1|=8, 又|F1F2|=10, 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形,因此S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=24.] 3.若雙曲線-=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是雙曲線右支上的動點(diǎn),A(1,4),則|PF|+|PA|的最小值是( ) A.8 B.9 C.10 D.12 B [由題意知,雙曲線-=1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-4,0),設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B,則B(4,0),由雙曲線的定義知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線且P在A,B之間時取等號.] ⊙考點(diǎn)2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
13、 求雙曲線方程的思路 (1)如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn),且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上,則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的方程組,解出a2,b2,從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個,也有可能是兩個,注意合理取舍,但不要漏解). (2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時,有兩種方法來解決:一種是分類討論,注意考慮要全面;另一種是設(shè)雙曲線的一般方程為mx2+ny2=1(mn<0)求解. (1)(2019·荊門模擬)方程+=1表示雙曲線的一個充分不必要條件是( ) A.-3<m<0 B.-1<m<3 C.-3<m<4 D.-2<m<3 (2)[一題多解]已知雙曲線過點(diǎn)
14、(2,3),漸近線方程為y=±x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 (3)(2018·天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 (1)B (2)C (3)C [(1)方程+=1表示雙曲線,則(m+2)(m-3)<0,解得-2<m<3.∵要求充分不必要條件,∴選項(xiàng)范圍是-2<m<3的真子集,只有選項(xiàng)B符合題意.故選B. (2
15、)法一:當(dāng)其中的一條漸近線方程y=x中的x=2時,y=2>3,又點(diǎn)(2,3)在第一象限,所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1(a>0,b>0),由題意得解得所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1,故選C. 法二:因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±x,即=±x,所以可設(shè)雙曲線的方程是x2-=λ(λ≠0),將點(diǎn)(2,3)代入,得λ=1,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1,故選C. (3)如圖,不妨設(shè)A在B的上方,則A,B. 其中的一條漸近線為bx-ay=0,則d1+d2===2b=6,∴b=3. 又由e==2,知a2+b2=4a2,∴a=. ∴雙曲線的方程為-=1. 故選C.]
16、 已知雙曲線的漸近線方程,用漸近線方程設(shè)出雙曲線方程,運(yùn)算過程較為簡單. [教師備選例題] 設(shè)雙曲線與橢圓+=1有共同的焦點(diǎn),且與橢圓相交,其中一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(,4),則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________. -=1 [法一:橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,±3),設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),根據(jù)雙曲線的定義知2a=|-| =4,故a=2. 又b2=32-22=5,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 法二:橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,±3).設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),則a2+b2=9, ① 又點(diǎn)(,4)在雙曲線上,所以-=1, ② 聯(lián)立①②解得a2=
17、4,b2=5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 1.(2019·湘潭模擬)以雙曲線-=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且漸近線互相垂直的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.x2-y2=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 D [由題可知,所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0).又因?yàn)殡p曲線的漸近線互相垂直,所以a=b=3,則該雙曲線的方程為-=1.故選D.] 2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,若|PF1|-|PF2|=4b,且雙曲線的焦距為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.-y2=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 A [由
18、題意可得 解得 則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.] 3.經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),Q(-6,7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. -=1 [設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0), 因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),Q(-6,7), 所以解得 故所求雙曲線方程為-=1.] ⊙考點(diǎn)3 雙曲線的幾何性質(zhì) 求雙曲線的離心率(或其范圍) 求雙曲線的離心率或其范圍的方法 (1)求a,b,c的值,由==1+直接求e. (2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解. (1)(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F
19、為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為( ) A. B. C.2 D. (2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍是( ) A. B. C.(1,2] D. (1)A (2)B [(1)令雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),則c=. 如圖所示,由圓的對稱性及條件|PQ|=|OF|可知,PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑,且PQ⊥OF.設(shè)垂足為
20、M,連接OP,則|OP|=a,|OM|=|MP|=, 由|OM|2+|MP|2=|OP|2, 得+=a2, ∴=,即離心率e=. 故選A. (2)由雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以|PF2|=,由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為c-a,可得≥c-a,解得≤,即e≤,又雙曲線的離心率e>1,故該雙曲線離心率的取值范圍為,故選B.] 本例T(2)利用雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離不小于c-a建立不等式求解,同時應(yīng)注意雙曲線的離心率e>1. [教師備選例題] (2019·沈陽模擬)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、
21、右焦點(diǎn),P是雙曲線C上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=4a,且△PF1F2的最小內(nèi)角的正弦值為,則雙曲線C的離心率為( ) A.2 B.3 C. D. C [不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn),由雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.△PF1F2的最小內(nèi)角的正弦值為,其余弦值為,因?yàn)閨PF1|>|PF2|,|F1F2|>|PF2|,所以∠PF1F2為△PF1F2的最小內(nèi)角.由余弦定理可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2,即a2=4c2+9a2-2×2c×3a
22、×,所以離心率e==.故選C.] 與漸近線有關(guān)的問題 與漸近線有關(guān)的結(jié)論 (1)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x. (2)e2=1+?=e2-1?=. (1)(2019·武漢模擬)已知雙曲線C:-=1(m>0,n>0)的離心率與橢圓+=1的離心率互為倒數(shù),則雙曲線C的漸近線方程為( ) A.4x±3y=0 B.3x±4y=0 C.4x±3y=0或3x±4y=0 D.4x±5y=0或5x±4y=0 (2)(2019·張掖模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1,焦
23、點(diǎn)到其一條漸近線的距離為,則其一條漸近線的傾斜角為( ) A.30° B.45° C.60° D.120° (1)A (2)B [(1)由題意知,橢圓中a=5,b=4,∴橢圓的離心率e==,∴雙曲線的離心率為=,∴=,∴雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,即4x±3y=0.故選A. (2)設(shè)雙曲線-=1的右頂點(diǎn)A(a,0),右焦點(diǎn)F2(c,0)到漸近線y=x的距離分別為1和,則有即=. 則==-1=2-1=1,即=1. 設(shè)漸近線y=x的傾斜角為θ,則tan θ==1. 所以θ=45°,故選B.] 雙曲線中,焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于b是常用的結(jié)論. [教師備選例題]
24、 (2019·衡水模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過點(diǎn)F1作圓x2+y2=a2的切線,交雙曲線右支于點(diǎn)M.若∠F1MF2=45°,則雙曲線的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x A [如圖,作OA⊥F1M于點(diǎn)A,F(xiàn)2B⊥F1M于點(diǎn)B.因?yàn)镕1M與圓x2+y2=a2相切,∠F1MF2=45°,所以|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b.又點(diǎn)M在雙曲線上,所以|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a,整理得b=a.所以=.所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選A.]
25、 1.已知雙曲線-=1(m>0)的一個焦點(diǎn)在直線x+y=5上,則雙曲線的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x B [由雙曲線-=1(m>0)的焦點(diǎn)在y軸上,且在直線x+y=5上,直線x+y=5與y軸的交點(diǎn)為(0,5), 有c=5,則m+9=25,得m=16, 所以雙曲線的方程為-=1, 故雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選B.] 2.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)A(2,)在雙曲線C上,若AF2⊥F1F2,則雙曲線C的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x A [因?yàn)锳F2⊥F1F2,A(2,),所以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),由雙曲線的定義可知2a=|AF1|-|AF2|=-=2,即a=,所以b==,故雙曲線C的漸近線方程為y=±x,故選A.]
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