高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：51 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析

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1、 橢圓及其性質(zhì) 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．4 A　[由題意知F1(－，0)，把x＝－，代入方程＋y2＝1得＋y2＝1，解得y＝±，則|PF1|＝，所以|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝，故選A.] 2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. C　[不妨設(shè)a>0，因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8

2、，所以a＝2，所以橢圓C的離心率e＝＝.] 3．橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于(　　) A．4 B．8 C．4或8 D．12 C　[由題意知，即2＜m＜10. 又2c＝4，即c＝2，則(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4， 解得m＝4或m＝8，故選C.] 4．(2019·呼和浩特模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．若∠A1PA2的最大值可以取到120°，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. D　[由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的短軸端點(diǎn)處時(shí)，∠A1PA2有最大值，則tan 60°＝，即＝

3、. 所以e2＝1－＝1－＝， 即e＝，故選D.] 5．△ABC的周長(zhǎng)是8，B(－1,0)，C(1,0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是(　　) A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) A　[由題意知|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝6， ∴點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓且2a＝6，c＝1，則b2＝8. 所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為＋＝1(x≠±3)．] 二、填空題 6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0，－2)且a＝2b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． ＋＝1　[由題意知解得 因此所求橢圓方程為＋＝1.] 7．已知橢圓＋＝1

4、的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是________． 　[由題意知解得 又|F1F2|＝2，則|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2， 即PF2⊥F1F2. ∴S△PF1F2＝×|F1F2|×|PF2|＝×2×1＝.] 8．橢圓＋＝1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． (－3,0)或(3,0)　[記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 則m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處

5、時(shí)，m取得最大值25.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3,0)或(3,0)．] 三、解答題 9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [解]　設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)． 設(shè)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)． ∵F1A⊥F2A，∴·＝0， 而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即c＝5. ∴F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2| ＝＋ ＝＋＝4， ∴a＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2)2－52

6、＝15. ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 10．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的離心率e＝，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)． [解]　橢圓方程可化為＋＝1，m＞0. ∵m－＝＞0， ∴m＞，∴a2＝m，b2＝， c＝＝. 由e＝，得＝，∴m＝1. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為2a＝2和2b＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1，F(xiàn)2，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2. 1．(2019·哈爾濱模擬)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，直線l：y＝kx(k≠0)與橢圓C交于

7、A，B兩點(diǎn)，則|AF|＋|BF|的值是(　　) A．2 B．2　　　　 C．4　　　　 D．4 C　[設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，連接AF2，BF2.(圖略)因?yàn)閨OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，所以四邊形AFBF2是平行四邊形，所以|BF|＝|AF2|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.故選C.] 2．(2019·衡水模擬)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R＝4r時(shí)，橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. B　[由題意知|F1F2|＝2c，根據(jù)

8、正弦定理可得 2R＝＝＝c，即R＝. 由余弦定理得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4a2－3|PF1|·|PF2|， ∴|PF1||PF2|＝(a2－c2)． ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin＝. 又S△F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝(a＋c)r， ∴＝(a＋c)r， ∴r＝. 由R＝4r得＝， ∴＝，故選B.] 3．(2019·揭陽(yáng)模擬)已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)恰好是邊長(zhǎng)為2的正方形的頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)

9、準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． ＋＝1　[設(shè)橢圓上、下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A. 由題意知|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b＝ 則所求橢圓方程為＋＝1.] 4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. [解](1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M，＝，2b2＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意

10、，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故＝4，即b2＝4a.　　 ① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 把點(diǎn)N(x1，y1)代入C的方程，得＋＝1. ② 將①及c＝代入②得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 1．若橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝2有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的離心率e的取值范圍為(　　) A.　　　　　　 B. C. D. A　[由題意可知，橢圓的上、下頂點(diǎn)

11、在圓內(nèi)，左、右頂點(diǎn)在圓外，則整理得解得＜e＜.] 2．已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. [解](1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由題意得解得c＝. 所以b2＝a2－c2＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，－n)． 由題設(shè)知m≠±2，且n≠0. 直線AM的斜率kAM＝， 故直線DE的斜率kDE＝－. 所以直線DE的方程為y＝－(x－m)． 直線BN的方程為y＝(x－2)． 聯(lián)立 解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－. 由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2， 所以yE＝－n. 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|， S△BDN＝|BD|·|n|， 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.