高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第4章 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) Word版含解析

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1、 全國(guó)卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 從高考題型、題量來(lái)看，一般有兩種方式：三個(gè)小題或一個(gè)小題另加一個(gè)解答題，分值上占17分左右． 2.考查內(nèi)容 (1)客觀題主要考查三角函數(shù)的定義，圖像與性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知識(shí)． (2)解答題涉及知識(shí)點(diǎn)較為綜合．涉及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形知識(shí)較為常見． 3.備考策略 (1)熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式求值、化簡(jiǎn)． (2)重視對(duì)三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究，復(fù)習(xí)時(shí)通過(guò)選擇題、填空題和解答題加以訓(xùn)練和鞏固，注意將問題和方法進(jìn)行歸納、整理． (3

2、)對(duì)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用要加強(qiáng)訓(xùn)練. 第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [最新考綱]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (4)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐

3、標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. (2)公式： 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長(zhǎng)用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函數(shù) (1)定義 設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 拓展：任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)． 設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r， 則sin

4、 α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號(hào)為正的口訣 一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)幾何表示 三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示． 如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線． (1)單位圓上任意一點(diǎn)可設(shè)為(cos θ，sin θ)(θ∈R)． (2)若α∈，則sin α＜α＜tan α. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(　　) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．(　　) (3)不相等的角終邊一定不相同

5、．(　　) (4)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．若θ滿足sin θ＜0，cos θ＞0，則θ的終邊在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的終邊落在第四象限．] 2．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　[∵＝2π＋，∴與終邊相同． 又角度制與弧度制不可

6、同時(shí)混用，故選C.] 3．角－225°＝________弧度，這個(gè)角的終邊落在第________象限． [答案]　－　二 4．設(shè)角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝______. 　[由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin θ＝－， cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝.] 5．一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為________弧度． [答案]　 考點(diǎn)1　象限角及終邊相同的角 　象限角的兩種判斷方法 (1)圖像法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角． (2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化

7、為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角． 　1.設(shè)集合M＝，N A．M＝N　　　　　　 B．M?N C．N?M D．M∩N＝? B　[由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N，故選B.] 2．設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos ，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[∵θ是第三象限角

8、， ∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z， ∴的終邊落在第二、四象限， 又＝－cos ，∴cos ＜0，∴是第二象限角．] 3．與－2 010°終邊相同的最小正角是________． 150°　[與－2 010°終邊相同的角可表示為α＝－2 010°＋k·360°，k∈Z， 又當(dāng)k＝6時(shí)，α＝150°，故與－2 010°終邊相同的最小正角為150°.] 4．終邊在直線y＝x上的角的集合是________． {α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}　[終邊在y＝x上的角可表示為α＝k·180°＋60°，k∈Z.] 　(1)利用終邊相同的角的集合可以

9、求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角． (2)確定kα，(k∈Z*)的終邊位置的方法 先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在位置． 考點(diǎn)2　扇形的弧長(zhǎng)、面積公式 　弧度制下有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長(zhǎng)及扇形面積公式，在使用公式時(shí)，要注意角的單位必須是弧度． (2)分析題目已知哪些量、要求哪些量，然后靈活地運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程(組)求解． 　已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l. (1)若α＝60°，R

10、＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l； (2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ [解]　(1)α＝60°＝rad， 所以l＝α·R＝×10＝(cm)． (2)由題意得?(舍去)或 故扇形圓心角為rad. (3)由已知得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當(dāng)R＝5 cm時(shí)，S取得最大值25 cm2， 此時(shí)l＝10 cm，α＝2 rad. 　求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題． 　1.若圓弧長(zhǎng)度等于

11、圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為(　　) A. B. C.3 D. D　[如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對(duì)的圓心角∠AOB＝， 作OM⊥AB，垂足為M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， ∴l(xiāng)＝r， 由弧長(zhǎng)公式得α＝＝＝.] 2．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是(　　) A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1 C　[如圖，∠AOB＝2弧度，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于C，并延長(zhǎng)OC交于D. 則∠AOD＝∠BOD＝1弧度， 且AC＝AB＝1， 在R

12、t△AOC中， AO＝＝， 即r＝， 從而的長(zhǎng)為l＝α·r＝.故選C.] 3．已知扇形弧長(zhǎng)為20 cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________cm2. 　[由弧長(zhǎng)公式l＝|α|r， 得r＝＝， 所以S扇形＝lr＝×20×＝.] 考點(diǎn)3　三角函數(shù)的概念及應(yīng)用 　三角函數(shù)定義問題的常見類型及解題策略 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值：先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解． (2)已知角α的某三角函數(shù)值，求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值． (3)三角函數(shù)值的符號(hào)及角的終邊位置的判斷．已知一角的三

13、角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況． 　三角函數(shù)定義的應(yīng)用 　(1)在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸的非負(fù)半軸為角的始 邊，角α，β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)和，則sin(α＋β)＝(　　) A．－ B. C．－ D. (2)角α終邊上一點(diǎn)P(4m，－3m)(m≠0)，則2sin α＋cos α＝________. (3)角α的終邊在直線y＝－x，求sin α，cos α，tan α. (1)D　(2)±　[(1)由題意可知cos α＝，sin α＝. c

14、os β＝－，sin β＝， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋×＝－＋ ＝. (2)r＝＝5|m|， 當(dāng)m＞0時(shí)，r＝5m，sin α＝－＝－，cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝2×＋＝－. 當(dāng)m＜0時(shí)，r＝－5m，sin α＝＝，cos α＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝2×＋＝， ∴2sin α＋cos α＝±.] (3)[解]　由題意tan α＝－， 當(dāng)角α終邊落在第二象限，設(shè)角α終邊上一點(diǎn)P(－3,4)，r＝5，∴sin α＝，cos α＝－， 當(dāng)角α終邊落在第四象限，設(shè)角α終邊上一點(diǎn)P(3，－4)，r＝5

15、，sin α＝－，cos α＝. 　充分利用三角函數(shù)的定義解題是解答此類問題的關(guān)鍵，對(duì)于含字母的方程求解要注意字母的范圍． 　三角函數(shù)值的符號(hào)判斷 　(1)若tan α＞0，則(　　) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 (2)若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (1)C　(2)C　[(1)由tan α＞0，可得α的終邊在第一象限或第三象限，此時(shí)sin α與cos α同號(hào)，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故選C. (2

16、)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號(hào)， 則α為第二象限角或第三象限角． 由＜0可知cos α，tan α異號(hào)，則α為第三象限角或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．] 　判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況和三角函數(shù)的定義域． 　三角函數(shù)線的應(yīng)用 　[一題多解]函數(shù)y＝的定義域?yàn)開______． (k∈Z)　[法一：要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cos x≥0.利用圖像，在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的圖像，

17、如圖所示． 在[0,2π]內(nèi)，滿足sin x＝cos x的x為，，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域?yàn)? 法二：利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)． 所以定義域?yàn)? .] 　利用三角函數(shù)線比較大小或解三角不等式，通常采用數(shù)形結(jié)合的方法，一般來(lái)說(shuō)sin x≥b，cos x≥a，只需作直線y＝b，x＝a與單位圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置，此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍． 　1.已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B

18、　[∵tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．] 2．(2019·棗莊模擬)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　) A．－　 　 B． C．－　 　 D． B　[∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m＞0，∴＝，即m＝.] 3．若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A．sin α＜tan α＜cos α 　 B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α 　 D．tan α＜sin α＜cos α C　[如圖，作出角α的正弦線MP， 余弦線OM，正切線AT， 觀察可知sin α＜cos α＜tan α.]