【教案】直接開平方法

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1、21.2.1 直接開平方法 教學(xué)內(nèi)容 運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題． 過(guò)程與方法 提出問(wèn)題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 情感態(tài)度與價(jià)值觀 歷由事實(shí)問(wèn)題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過(guò)程,使同學(xué)們體會(huì)到通過(guò)一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型;經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過(guò)程,使同

2、學(xué)們體會(huì)到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;經(jīng)歷設(shè)置豐富的問(wèn)題情景,使學(xué)生體會(huì)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,從而更好地理解方程的意義和作用,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 重、難點(diǎn) 1．重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 2．難點(diǎn)：通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題 問(wèn)題1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2； （2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2； （3）x2+

3、px+_____=（x+______）2． 問(wèn)題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？ 老師點(diǎn)評(píng)： 問(wèn)題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2； （3）（）2． 問(wèn)題2：設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以驗(yàn)證，2和-2都是

4、方程x·2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值． 所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2． 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得 x=±2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ （學(xué)生分組討論） 老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞， 那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的兩根為t1=-，t2=-- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：

5、x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2．市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率． 分析：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x．一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因?yàn)槊磕?/p>

6、人均住房面積的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去． 所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%． （學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問(wèn)：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？ 共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 三、鞏固練習(xí) 教材P6練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例3．某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬(wàn)元，第一季度總營(yíng)業(yè)額為3.31萬(wàn)元，求該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少？ 分析：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x，那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的，應(yīng)是（1+x）2． 解：設(shè)該公司二

7、、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù)， 所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為10%． 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的． 六、布置作業(yè) 1．教材P16復(fù)習(xí)鞏固1． 2．選用作業(yè)設(shè)計(jì): 4 學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情，大家下載后可以自行修改