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1、
復(fù)數(shù)問題的六種簡求策略
復(fù)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點(diǎn)，它涉及到高中數(shù)學(xué)的很多分支，是每年高考中必考的內(nèi)容，為幫助同學(xué)們掌握這部分內(nèi)容，本文介紹幾種簡求復(fù)數(shù)題的常用方法，供參考。
一、特殊值法
對于含有參數(shù)范圍的題目，可選定參數(shù)范圍內(nèi)一特值代入，進(jìn)行估算，可排除干擾支，確定應(yīng)選支。
例1．當(dāng)＜m＜1時,復(fù)數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析：由于＜m＜1,取m=，則z=i,對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選D。
二、運(yùn)用特殊等式
記牢一些常用的特殊等式，如（1±i）2=±2i，
2、（±）3=1等，有助于復(fù)數(shù)運(yùn)算題的快速解決。
例2．計算（1－i）6·（）97
解：原式=[（1-i ）2]3·（）96·（）
=（-2i）3·（－）3×32·（）
=8i·（）=－4－4i
三、運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)
共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)很多，如z為實(shí)數(shù)z=，z為純復(fù)數(shù)z=-，z·=|z|2等，若能靈活運(yùn)用，可簡化解題。
例3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，求|z2-z+4|的最大值和最小值。
解析：由|z|=2，得|z|2=z·=4，則|z2-z+4|=|z2-z+z·|=|z（z-1+）|=2|（z -1+
- 2 - / 4
|，若設(shè)z=a+bi（-2≤a≤2，-2≤b≤2），
3、則|z2-z+4|=2|a+bi-1+a-bi|=2|2a-1|。
∴當(dāng)a=時，|z2-z+4|min=0，當(dāng)a=－2時，|z2－z+4|max=10
四、兩邊同取模
如果一個復(fù)數(shù)等式中，一邊能夠表示成實(shí)部和虛部，采用兩邊取模后，可將虛數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題。
例4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+||=2+ i，那么z等于（ ）
A．+i B．-i C． D．
分析：原關(guān)系式可化為z=2-||+i，又|z|=||且為實(shí)數(shù)，兩邊取模得|z|=，解得|z|=，則z=2-+i=+ i，故應(yīng)選D。
五、運(yùn)用整體思想
有些復(fù)數(shù)問題，若從整體上去觀察、分析題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，充分利用復(fù)數(shù)
4、的有關(guān)概念和性質(zhì)，對問題進(jìn)行整體處理，可得妙解。
例5．求同時滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z①z +是實(shí)數(shù)，且1＜z+≤6，②z的實(shí)部與虛部均為整數(shù)。
解析：觀察給出式，可設(shè)μ=z+，則μ∈R，且1＜μ≤6，整理得z2- μz+10=0，則△=μ2-40＜0，由求根公式得z=±i由條件②知是整數(shù)，則μ=2，或4或6，當(dāng)μ=2時，z=1±3i，當(dāng)μ=4時，z=2±i（不合題意，舍去），當(dāng)μ=6時，z=3±i故滿足條件的復(fù)數(shù)z=1±3i，或z=3±i。
六、活用復(fù)數(shù)的幾何意義
在深刻理解復(fù)數(shù)幾何意義的基礎(chǔ)上，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，借助幾何圖形的直觀化可快速解題。
例6．已知z1、z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2i，則|z1-z2|的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
分析：由|z1|=1，且z1=2i-z2知|z2-2i|=1，根據(jù)模的幾何意義知z1、z2分別在單位圓及以2i為圓心的圓上，則z1、z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間距離|z1-z2|的最大值為兩圓的連心線長加上兩圓的半徑長即|z1-z2| max =2+2=4，故選C。
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