高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第5節(jié)　第1課時　橢圓及其性質(zhì) Word版含解析

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1、 第五節(jié)　橢圓 第1課時　橢圓及其性質(zhì) [最新考綱]　1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)． (對應(yīng)學(xué)生用書第153頁) 1．橢圓的定義 (1)我們把平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓．這兩定點F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點，兩個焦點F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. ①當(dāng)2a＞|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓； ②當(dāng)2a＝|F1F

2、2|時，M點的軌跡為線段F1F2； ③當(dāng)2a＜|F1F2|時，M點的軌跡不存在． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點 頂點坐標(biāo) A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 焦點坐標(biāo) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 半軸長 長半軸長為a，短半軸長為b 離心率

3、e＝，且e∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 1．過橢圓焦點垂直于長軸的弦是最短的弦，長為，過焦點最長弦為長軸． 2．過原點最長弦為長軸長2a，最短弦為短軸長2b. 3．與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有公共焦點的橢圓方程為＋＝1(λ＞－b2)． 4．焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．若∠F1PF2＝θ，則 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點

4、時，S△PF1F2取最大值，為bc. (4)焦點三角形的周長為2(a＋c)． (5)已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓． (　　) (2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． (　　) (3)＋＝1(a≠b)表示焦點在y軸上的橢圓． (　　) (4)＋＝1(a＞b＞0)與＋＝1(a＞b＞0)的焦距相等． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．設(shè)P是橢圓＋＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF

5、1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5　　　　 C．8　　　　 D．10 D　[依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.] 2．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)． 因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e＝，所以解得 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] 3．過點A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 A　[設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(λ＞－4

6、)，則有＋＝1，解得λ＝6，故所求橢圓方程為＋＝1.] 4．已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標(biāo)為________． 或　[設(shè)P(xP，yP)，xP＞0，由題意知|F1F2|＝2. 則S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1. 代入橢圓的方程，得＋＝1，解得x＝， 因此點P的坐標(biāo)為或.] (對應(yīng)學(xué)生用書第154頁) ⊙考點1　橢圓的定義及應(yīng)用 　利用定義求方程、焦點三角形及最值的方法 求方程 通過對題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動點P滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程 求焦點三

7、角形 利用定義求焦點三角形的周長和面積．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧 求最值 抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值 (1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　) A.－＝1　　　　　 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (2)如圖，橢圓＋＝1(a＞2)的左、右焦點分別為F

8、1，F(xiàn)2，點P是橢圓上的一點，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面積為(　　) A. B. C. D. (3)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________． (1)D　(2)D　(3)－5　[(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且 2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為＋＝1. (2)由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16， 由余弦定理得 4a2－

9、16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， ∴|PF1||PF2|＝， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝，故選D. (3)由題意知，點M在橢圓外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，則|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10.(當(dāng)且僅當(dāng)點P，M，F(xiàn)2三點共線時等號成立) 又F2(3,0)，則|F2M|＝＝5. ∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5.] 　解答本例T(3)的關(guān)

10、鍵是差式(|PM|－|PF1|)轉(zhuǎn)化為和式|PM|＋|PF2|－10.而轉(zhuǎn)化的依據(jù)為|PF1|＋|PF2|＝2a. 　1.已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為(　　) A.＋＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1 D　[由題意得|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2， ∴點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝， ∴動點P的軌跡方程為＋＝1，故選D.] 2．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心

11、率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為＋＝1，故選D.] 3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 3　[設(shè)|PF1|

12、＝r1，|PF2|＝r2，則 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.] ⊙考點2　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法 (1)定義法．根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置寫出橢圓方程． (2)待定系數(shù)法．一般步驟如下： (1)一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為________． (2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(，)，則橢圓的方程為___

13、_____． (3)[一題多解]與橢圓＋＝1有相同離心率且經(jīng)過點P(2，－)的橢圓方程為________． (1)＋＝1　(2)＋＝1　(3)＋＝1或＋＝1　[(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，由點P(2，)在橢圓上知＋＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝.又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6，故橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． ∵橢圓經(jīng)過點P1，P2，∴點P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程，則 由①②兩式聯(lián)立，解得 ∴所求橢圓的方

14、程為＋＝1. (3)法一：因為e＝＝ ＝＝＝， 若焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(m＞n＞0)， 則1－＝，從而＝，＝.又＋＝1，所以m2＝8，n2＝6.所以橢圓方程為＋＝1. 若焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(h＞k＞0)， 則＋＝1，且＝， 解得h2＝，k2＝. 故所求方程為＋＝1，故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 法二：若焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝t(t＞0)，將點P(2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程為＋＝1；若焦點在y軸上，設(shè)方程為＋＝λ(λ＞0)， 代入點P(2，－)，得λ＝，故所求方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.] 　離心率

15、相同的兩個橢圓焦點可能在不同的軸上，因此要分類求解，如本例T(3)． [教師備選例題] 1．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　[由長、短半軸長之和為10，焦距為4，可得a＋b＝10,2c＝4，∴c＝2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦點在x軸上，∴所求橢圓方程為＋＝1.故選C.] 2．已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓過點A(－3,0)，且離心率e＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． ＋＝1或＋＝1　[若焦點在x軸上，由題知a＝3，因為橢圓的離心

16、率e＝，所以c＝，b＝2，所以橢圓方程是＋＝1.若焦點在y軸上，則b＝3，a2－c2＝9，又離心率e＝＝，解得a2＝，所以橢圓方程是＋＝1.] 　1.已知a，b∈R，則“a＞0＞b”是“－＝1表示橢圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[當(dāng)a＞0＞b且a＝－b時，－＝1表示圓，充分性不成立；當(dāng)－＝1表示橢圓時，a＞0＞b且a≠－b，必要性成立，所以“a＞0＞b”是“－＝1表示橢圓”的必要不充分條件，故選B.] 2．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，且短軸長為2，離心率為，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋y2＝1

17、B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.＋x2＝1 A　[由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，則2b＝2，故b＝1.又＝，a2＝b2＋c2，∴a2＝5.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.故選A.] ⊙考點3　橢圓的幾何性質(zhì) 　求橢圓離心率的值(或范圍) 1．求橢圓離心率的方法 (1)定義法：根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e＝求解． (2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．

18、2．求橢圓離心率范圍的兩種方法 方法 解法 適合題型 幾何法 利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系 題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系 直接法 根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式 題設(shè)條件直接有不等關(guān)系 (1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　) A．1－　　　 B．2－ C. D.－1 (2)已知

19、F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A．(0，－1) B．(－1,1) C．(0，－1) D．(－1,1) (1)D　(2)B　[(1)由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D. (2)∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與

20、橢圓交于A，B上下兩點，∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A，B，∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，兩邊同時除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是(－1,1)，故選B.] 　求離心率的取值范圍，關(guān)鍵是尋找關(guān)于a，b，c的不等式，如本例T(2)，利用等腰三角形是銳角三角形，則頂角的一半小于，建立不等式求解． [教師備選例題] 1．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M

21、，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為(　　) A.　　　B．2－　　　C.　　　D.－1 D　[如圖所示． 由題意可得MF1⊥MF2，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c， 所以c2＋(2a－c)2＝4c2， 化為c2＋2ac－2a2＝0， 即e2＋2e－2＝0，e∈(0,1)， 解得e＝－1，故選D.] 2．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D.

22、 A　[根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點到橢圓的左、右焦點的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因為1≤b＜2，所以0＜e≤，故選A.] 　與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問題 　與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法 (1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍． (2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍． (4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍． (1)(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在

23、點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) (2)(2019·開封模擬)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________． (1)A　(2)4　[(1)當(dāng)0＜m＜3時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1. 當(dāng)m＞3時，焦點在y軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥，解得

24、m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由題意知a＝2，因為e＝＝， 所以c＝1，b2＝a2－c2＝3. 故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)． 所以－2≤x0≤2，－≤y0≤. 因為F(－1,0)，A(2,0)， ＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 則當(dāng)x0＝－2時，·取得最大值4.] 　橢圓中長軸兩端點(或兩焦點)與短軸頂點所成的角最大，本例T(1)就是以此求解的． 　1.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線

25、段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. A　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故選A.] 2．已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，點M是該橢圓上的一個動點，那么|＋|的最小值是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　[設(shè)M(x0，y0)，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．則＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝ ＝＝. 因為點M在橢圓上，所以0≤y≤16， 所以當(dāng)y＝16時，|＋|取最小值為8.]