高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第9節(jié)　圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 Word版含解析

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1、 第九節(jié)　圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁) ⊙考點(diǎn)1　定點(diǎn)問題 　圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點(diǎn)的問題(其他曲線過定點(diǎn)太復(fù)雜，高中階段一般不涉及)，其實(shí)質(zhì)是：當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí)，這些直線和圓相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)．這類問題的求解一般可分為以下三步： 一選：選擇變量，定點(diǎn)問題中的定點(diǎn)，隨某一個(gè)量的變化而固定，可選擇這個(gè)量為變量(有時(shí)可選擇兩個(gè)變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一)． 二求：求出定點(diǎn)所滿足的方程，即把需要證明為定點(diǎn)的問題表示成關(guān)于上述變量的方程． 三定點(diǎn)：對(duì)上述方

2、程進(jìn)行必要的化簡(jiǎn)，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)． 　(2019·開封模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F(，0)，長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)與短半軸的長(zhǎng)的比值為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． [解](1)由題意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1. ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 聯(lián)立消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4

3、＝0. ∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝. ∵點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上， ∴·＝0. ∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0， ∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0， 整理，得5m2－2m－3＝0， 解得m＝－或m＝1(舍去)． ∴直線l的方程為y＝kx－. 易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意． 故直線l過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為. 　對(duì)于直線y＝kx＋m，當(dāng)m為定值或m＝f(k)時(shí)，便可確定直線過定點(diǎn)，因此根據(jù)條件求出m的值或m與k的關(guān)系便可

4、求出定點(diǎn)． [教師備選例題] 　已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓的短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足＝，直線PM，PN分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試證明直線AB過定點(diǎn)． [解](1)由橢圓的離心率e＝＝＝，得a2＝4b2，將P(2,1)代入橢圓方程＋＝1，得＋＝1，解得b2＝2，則a2＝8，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 　(2)證明：當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線AB過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)一定在y軸上， 當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋t，設(shè)A(x1，y1)，B(

5、x2，y2)，易知x1≠2，x2≠2， 聯(lián)立消去y，得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－8＝0，則Δ＝16(8k2－t2＋2)＞0， x1＋x2＝－，x1x2＝. 又直線PA的方程為y－1＝(x－2)， 即y－1＝(x－2)， 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 同理可知N， 由＝， 得＋＝0， 化簡(jiǎn)整理得，(2－4k)x1x2－(2－4k＋2t)(x1＋x2)＋8t＝0，則(2－4k)×－(2－4k＋2t)·＋8t＝0， 整理得(2t＋4)k＋(t2＋t－2)＝0， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝－2時(shí)，上式對(duì)任意的k都成立， 所以直線AB過定點(diǎn)(0，－2)． 　(2019·濟(jì)南模擬)已知拋物線

6、C1：y2＝2px(p＞0)與橢圓C2：＋＝1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，過點(diǎn)A(2,0)且與x軸不垂直的直線l與拋物線C1交于P，Q兩點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M. (1)求拋物線C1的方程． (2)試問直線MQ是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由． [解](1)由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，坐標(biāo)為(1,0)，所以p＝2， 所以拋物線C1的方程為y2＝4x. (2)法一：因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱， 所以設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則M(x1，－y1)， 設(shè)直線PQ的方程為y＝k(x－2)，代入y2＝4x得，k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0，所以

7、x1x2＝4， 設(shè)直線MQ的方程為y＝mx＋n， 代入y2＝4x得，m2x2＋(2mn－4)x＋n2＝0，所以x1x2＝＝4， 因?yàn)閤1＞0，x2＞0，y1y2＜0，所以＝2，即n＝2m， 所以直線MQ的方程為y＝m(x＋2)，必過定點(diǎn)(－2,0)． 法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)， 因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，所以y3＝－y1， 設(shè)直線PQ的方程為x＝ty＋2， 代入y2＝4x得，y2－4ty－8＝0，所以y1y2＝－8， 設(shè)直線MQ的方程為x＝my＋n， 代入y2＝4x得，y2－4my－4n＝0，所以y2y3＝－4n， 因?yàn)閥3＝－y1，

8、所以y2(－y1)＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2， 所以直線MQ的方程為x＝my－2，必過定點(diǎn)(－2,0)． ⊙考點(diǎn)2　定值問題 　圓錐曲線中的定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等)無關(guān)的問題．其求解步驟一般為： 一選：選擇變量，一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等． 二化：把要求解的定值表示成含上述變量的式子，并利用其他輔助條件來減少變量的個(gè)數(shù)，使其只含有一個(gè)變量(或者有多個(gè)變量，但是能整體約分也可以)． 三定值：化簡(jiǎn)式子得到定值．由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與變量的值無關(guān)，故求出的式子必能化為一個(gè)常數(shù)

9、，所以只須對(duì)上述式子進(jìn)行必要的化簡(jiǎn)即可得到定值． 　(2018·北京高考)已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N. (1)求直線l的斜率的取值范圍； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，＝λ，＝μ，求證：＋為定值． [解](1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)(1,2)， 所以2p＝4，即p＝2. 故拋物線C的方程為y2＝4x. 由題意知，直線l的斜率存在且不為0. 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)， 由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 依題意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，

10、 解得k<0或0

11、·沈陽模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF1F2的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使·＝m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值． [解](1)依題意知解得 　所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝m， 當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋n，則點(diǎn)O到直線MN的距離d＝＝， 聯(lián)立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ＞0得4k2－n2＋3＞0，則x1＋x2＝，x1

12、x2＝， 所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m， 整理得＝12＋. 因?yàn)閐＝為常數(shù)， 則m＝0，d＝＝， 此時(shí)＝12滿足Δ＞0. 當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，由m＝0得kOM＝±1， 聯(lián)立消去y，得x2＝， 點(diǎn)O到直線MN的距離d＝|x|＝亦成立． 綜上，當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，這個(gè)定值是. 　(2019·成都模擬)直線l與橢圓＋＝1(a＞b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，已知m＝(ax1，by1)，n＝(ax2，by2)，若橢圓的離心率e＝，且經(jīng)過點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓的方程．

13、(2)當(dāng)m⊥n時(shí)，△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由． [解](1)由題意得 解得 ∴橢圓的方程為＋x2＝1. (2)①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x1＝x2，y1＝－y2， 由已知m·n＝0，得4x－y＝0，∴y＝4x. 又A(x1，y1)在橢圓上，∴x＋＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，三角形的面積S＝|x1||y1－y2|＝|x1|·2|y1|＝1，三角形的面積為定值． ②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋t，聯(lián)立得(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0. 則Δ＞0，即4k2t2－4(k2＋4)(t2－4)＞0， x1＋x2＝，x1x2＝. ∵m⊥n，∴4x1x2＋y1y2＝0，∴4x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，代入整理得2t2－k2＝4. 而S△AOB＝··|AB|＝|t|·＝＝＝1， ∴△AOB的面積為定值．