高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [最新考綱]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，

2、l1⊥l2. 2．兩條直線的交點的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解． 3．三種距離公式 (1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝. 特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝. (2)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝. (3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. 由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法 直線方程l1與l2 l1：A1x

3、＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 垂直的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 平行的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) 相交的充分條件 ≠(A2B2≠0) 重合的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3) 若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．(　　) (4) 直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距

4、離．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3) √　(4)√ 二、教材改編 1．已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　) A.　　 B.2－　　 C.－1　　 D.＋1 C　[由題意得＝1，即|a＋1|＝， 又a>0，∴a＝－1.] 2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________. 1　[由題意知＝1，所以m－4＝－2－m， 所以m＝1.] 3．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________． －9　[由得 所以點(1,2)滿足方程m

5、x＋2y＋5＝0， 即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.] 4．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________． 2　[由兩直線平行可知＝，即m＝8. ∴兩直線方程分別為3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0， 則它們之間的距離d＝＝2.] 考點1　兩條直線的位置關(guān)系 　解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想” 　1.設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不

6、必要條件 A　[當(dāng)a＝1時，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0， 所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件．] 2．若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實數(shù)a的值為(　　) A. B. C. D. D　[由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.] 3．已知三條直線l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為(　　) A. B. C. D. D　[∵三條直線不能構(gòu)成一個三角形， ∴①當(dāng)l1∥l3

7、時，m＝； ②當(dāng)l2∥l3時，m＝－； ③當(dāng)l1，l2，l3交于一點時，也不能構(gòu)成一個三角形， 由得交點為，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故選D.] 　直接運用“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行與垂直的充要條件解題”可有效避免不必要的參數(shù)討論． 考點2　兩條直線的交點與距離問題 　(1)求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程． (2)點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件 ①求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式． ②求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等． 　(1

8、)求經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為________ (2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． (1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)由得∴l(xiāng)1與l2的交點坐標(biāo)為(1,3)． 設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0， 則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7. ∴所求直線方程為x＋2y－7＝0. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝，

9、 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．] 　1.直線系方程的常見類型 (1)過定點P(x0，y0)的直線系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是參數(shù)，直線系中未包括直線x＝x0)，也就是平常所提到的直線的點斜式方程； (2)平行于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是參數(shù)且λ≠C)； (3)垂直于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是參數(shù))； (4)過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2

10、：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 2．動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上，從而簡化計算． [教師備選例題] 1．已知三角形三邊所在的直線方程分別為：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0，求邊2x－7y－14＝0上的高所在的直線方程． [解]　設(shè)所求高所在的直線方程為2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0， 可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0， 解得

11、λ＝， 所以所求高所在的直線方程為7x＋2y－19＝0. 2．求過直線2x＋7y－4＝0與7x－21y－1＝0的交點，且和A(－3,1)，B(5,7)等距離的直線方程． [解]　設(shè)所求直線方程為2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0， 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0， 由點A(－3,1)，B(5,7)到所求直線等距離，可得 ＝， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝， 所以所求的直線方程為21x－28y－13＝0或x＝1. 　1.當(dāng)0

12、限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由得 又∵00，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點在第二象限．] 2．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為(　　) A. B. C. D. C　[因為＝≠－，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為.] 考點3　對稱問題 　中心對稱問題 　中心對稱問題的解法 (1)點關(guān)于點：點P(x，

13、y)關(guān)于點Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足 (2)線關(guān)于點：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決． 　過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________． x＋4y－4＝0　[設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.] 　點關(guān)于點的對稱問題常常轉(zhuǎn)化為中心對稱問題，利用中點坐標(biāo)公式求解． 　若直線

14、l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) B　[直線l1：y＝k(x－4)恒過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)．] 　軸對稱問題 　軸對稱問題的解法 (1)點關(guān)于線：點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)， 則有 (2)線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決． 　(1)已知直線y＝2x是△A

15、BC中角C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點C的坐標(biāo)為(　　) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) (2)已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________． (1)C　(2)6x－y－6＝0　[(1)設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(x，y)，則 解得∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.聯(lián)立解得則C(2,4)． (2)設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，

16、b)，則反射光線所在直線過點M′， 所以解得a＝1，b＝0.即M ′(1,0)． 又反射光線經(jīng)過點N(2,6)， 所以所求直線的方程為＝， 即6x－y－6＝0.] 　在求對稱點時，關(guān)鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解． 　1.若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________. 　[由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連

17、線的中垂線，于是解得 故m＋n＝.] 2．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求： (1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)A′(x，y)， 則解得即A′. (2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上． 設(shè)對稱點為M′(a，b)，則 解得即M′. 設(shè)m與l的交點為N，則由得N(4,3)． 又m′經(jīng)過點N(4,3)， ∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. (3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，N(4,3)，則P，N關(guān)于點A的對稱點P′，N′均在直線l′上． 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0. 法二：設(shè)Q(x，y)為l′上任意一點， 則Q(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為Q′(－2－x，－4－y)， ∵Q′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0.