2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 選修4-4 第1節(jié) 坐標(biāo)系

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1、 選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié)　坐標(biāo)系 [考綱傳真]　1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程． 1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換． 2．極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo) (1)極坐標(biāo)系：如圖1所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O(極點(diǎn))，自極點(diǎn)O引一條射線Ox(極軸

2、)；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系． 圖1 (2)極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度ρ和從Ox到OM的角度θ來(lái)刻畫，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．其中ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 4.圓的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2

3、rcos_θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ (0≤0＜π) 5.直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線l過(guò)極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標(biāo)方程是θ＝α(ρ∈R)． (2)直線l過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a. (3)直線過(guò)M且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(　　) (2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點(diǎn)P的一個(gè)

4、極坐標(biāo)是.(　　) (3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的．(　　) (4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝.] 3．(教材改編)在直

5、角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為________． x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0.] 4．已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，則點(diǎn)A到直線l的距離為________． 　[由2ρsin＝，得2ρ＝， ∴y－x＝1. 由A，得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，－2)． ∴點(diǎn)A到直線l的距離d＝＝.] 5．(2015·江蘇高考)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑．

6、 [解]　以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.2分 圓C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＋2ρ－4＝0，4分 化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為.10分 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 　將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)

7、線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． [解]　(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得2分 由x＋y＝1得x2＋2＝1， 故曲線C的方程為x2＋＝1.5分 (2)由解得或6分 不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線斜率為k＝，8分 于是所求直線方程為y－1＝， 化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρ＝.10分 [規(guī)律方法]　1.解答該類問(wèn)題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與

8、變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解． 2．求交點(diǎn)坐標(biāo)，得直線方程，最后化為極坐標(biāo)方程，其實(shí)質(zhì)是將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入轉(zhuǎn)化． [變式訓(xùn)練1]　在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772437】 (1)求點(diǎn)A經(jīng)過(guò)φ變換所得點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)求直線l：y＝6x經(jīng)過(guò)φ變換后所得直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)點(diǎn)A′(x′，y′)，由伸縮變換 φ：得2分 ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1. ∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1，－1).5分 (2)設(shè)P′(x′，y′)是直線l′上任意一點(diǎn)． 由伸縮變換φ：得8分 代入y＝6x，得2y′

9、＝6·＝2x′， ∴y′＝x′為所求直線l′的方程.10分 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． [解]　(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.4分 (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρs

10、in θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.8分 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為.10分 [遷移探究1]　若本例條件不變，求直線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)． [解]　聯(lián)立方程 解得θ＝且ρ＝－2.6分 所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.10分 [遷移探究2]　本例條件不變，求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程． [解]　因?yàn)辄c(diǎn)(ρ，θ)與點(diǎn)(－ρ，θ)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱， 設(shè)點(diǎn)(ρ，θ)為對(duì)稱圓上任意一點(diǎn)，則(－ρ，θ)在圓C2上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分 故所求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程為x2

11、＋y2＋2x＋4y＋4＝0.10分 [規(guī)律方法]　1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)． 2．進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對(duì)方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運(yùn)用代入法和平方法等方法． [變式訓(xùn)練2]　(2016·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀； (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求

12、兩交點(diǎn)間的距離． [解]　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0， ∴x－y－1＝0，表示一條直線.2分 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2＝2x，則(x－1)2＋y2＝1. ∴C2是圓心為(1,0)，半徑r＝1的圓.4分 (2)由(1)知點(diǎn)(1,0)在直線x－y－1＝0上， 因此直線C1過(guò)圓C2的圓心.6分 ∴兩交點(diǎn)A，B的連線段是圓C2的直徑． 因此兩交點(diǎn)A，B間的距離|AB|＝2r＝2.10分 直線與圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　(2016·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為

13、極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. [解]　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.2分 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.4分 (2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ

14、＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，8分 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上． 所以a＝1.10分 [規(guī)律方法]　1.第(1)問(wèn)將曲線C1的參數(shù)方程先化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力．第(2)問(wèn)中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程，有意識(shí)地將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而求解． 2．由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)方程解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解． [變式訓(xùn)練3]　(2017·太原市質(zhì)檢)已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù))

15、．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離． [解]　(1)曲線C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝. ∴ρsin＝.2分 曲線C2化為＋＝1.(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. ∴曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝.4分 (2)∵M(jìn)(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標(biāo)方程

16、為θ＝，6分 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.8分 ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1.10分 [思想與方法] 1．曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化：對(duì)于簡(jiǎn)單的可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2，但有時(shí)需要作適當(dāng)?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時(shí)平方，兩邊同乘以ρ等． 2．確定極坐標(biāo)方程的四要素： 極點(diǎn)、極軸、長(zhǎng)度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可． [易錯(cuò)與防范] 1．平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一．極坐標(biāo)與P點(diǎn)之間不是一一對(duì)應(yīng)的，所以我們又規(guī)定ρ≥0,0≤θ＜2π，來(lái)使平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間是一一對(duì)應(yīng)的，但仍然不包括極點(diǎn)． 2．進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)： (1)注意ρ，θ的取值范圍及其影響． (2)重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用．