2018屆高三數(shù)學一輪復習： 第2章 第11節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

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1、 第十一節(jié)　導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 [考綱傳真]　了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次)． 函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系 函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則 (1)若f′(x)＞0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； (2)若f′(x)＜0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； (3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么在區(qū)間(a，b)上一定有f′(x)>0.(　　)

2、(2)如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性．(　　) (3)f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充要條件．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A．(－1,1]　　　　　　 B.(0,1] C．[1，＋∞) D.(0，＋∞) B　[函數(shù)y＝x2－ln x的定義域為(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，則可得0＜x≤1.]　 3．(教材改編)如圖2-11-1所示是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則下列判斷中正確的是(　　) 圖2-11-1 A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－

3、3,0)上是減函數(shù) B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù) C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù) D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù) A　[當x∈(－3,0)時，f′(x)＜0，則f(x)在(－3,0)上是減函數(shù)．其他判斷均不正確．] 4．(2015·陜西高考)設f(x)＝x－sin x，則f(x)(　　) A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù) C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù) B　[因為f′(x)＝1－cos x≥0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項A和C.又因為f(0)＝0－sin 0＝0，所以函數(shù)存在零點，排除選項D，故選B.]

4、 5．(2014·全國卷Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B.(－∞，－1] C．[2，＋∞) D.[1，＋∞) D　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范圍為[1，＋∞)．] 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．試討論f(x)的單調(diào)性. 【導學號：01772081】 [解]　f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，

5、 解得x1＝0，x2＝－.2分 當a＝0時，因為f′(x)＝3x2≥0，所以函數(shù)f(x) 在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；4分 當a＞0時，x∈∪(0，＋∞)時，f′(x)＞0，x∈時，f′(x)＜0， 所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；7分 當a＜0時，x∈(－∞，0)∪時，f′(x)＞0，x∈時，f′(x)＜0，10分 所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.12分 [規(guī)律方法]　用導數(shù)證明函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟 (1)一求．求f′(x)； (2)二定．確認f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號； (3)三結(jié)論．作出結(jié)論：

6、f′(x)＞0時為增函數(shù)；f′(x)＜0時為減函數(shù)． 易錯警示：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論． [變式訓練1]　(2016·四川高考節(jié)選)設函數(shù)f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)證明：當x>1時，g(x)>0. [解]　(1)由題意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).2分 當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減． 當a>0時，由f′(x)＝0有x＝， 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；5分 當x∈時，f′

7、(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.7分 (2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1.9分 當x>1時，s′(x)>0，所以ex－1>x， 從而g(x)＝－>0.12分 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 　(2016·北京高考)設函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　(1)因為f(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.2分 依題設，即 解得5分 (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)＝e2－

8、x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)與1－x＋ex－1同號.7分 令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1. 所以，當x∈(－∞，1)時，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減； 當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增.9分 故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值， 從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).12分 [規(guī)律方法]　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求

9、f′(x)； (3)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0，得單調(diào)遞增區(qū)間； (4)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＜0，得單調(diào)遞減區(qū)間． [變式訓練2]　已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，則當a＜0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________，單調(diào)遞減區(qū)間是________． 　　[由已知得f(x)的定義域為(0，＋∞)． 因為f′(x)＝a＋＝， 所以當x≥－時，f′(x)≤0， 當0＜x＜－時，f′(x)＞0， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為.] 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. 【導學號：01772082】 若f(x)在R

10、上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2對x∈R恒成立.5分 因為3x2≥0，所以只需a≤0. 又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0].12分 [遷移探究1]　(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． [解]　因為f′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋

11、∞)上恒成立，7分 所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范圍為(－∞，3].12分 [遷移探究2]　(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)，求a的值． [解]　f′(x)＝3x2－a. 當a≤0時，f′(x)≥0，3分 所以f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)． 當a＞0時，令3x2－a＜0，得－＜x＜，8分 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴＝1，即a＝3.12分 [遷移探究3]　(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍． [解]　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a

12、.由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0).5分 ∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范圍為(0,3).12分 [規(guī)律方法]　根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法 (1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集． (2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0”來求解． 易錯警示：(1)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏

13、解． (2)函數(shù)在其區(qū)間上不具有單調(diào)性，但可在子區(qū)間上具有單調(diào)性，如遷移3中利用了∈(0,1)來求解． [變式訓練3]　(2016·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,1]　　　　　 B. C. D. C　[取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具備在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.] [思想與方法] 1．已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實質(zhì)上是求f′(x)＞0，f′(x)＜0的解區(qū)

14、間，并注意函數(shù)f(x)的定義域． 2．含參函數(shù)的單調(diào)性要分類討論，通過確定導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性． 3．已知函數(shù)單調(diào)性可以利用已知區(qū)間和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的包含關系或轉(zhuǎn)化為恒成立問題兩種思路解決． [易錯與防范] 1．求單調(diào)區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則． 2．注意兩種表述“函數(shù)f(x)在(a，b)上為減函數(shù)”與“函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(a，b)”的區(qū)別． 3．在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件． 4．可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．