《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第5章 第3節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練30》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第5章 第3節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練30（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)分層訓(xùn)練(三十)
等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí)：30分鐘)
一、選擇題
1．對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法一定正確的是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772184】
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列
B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列
D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
D [由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D.]
2．(2016·重慶巴蜀中學(xué)3月模擬)我國(guó)古代有用一首詩(shī)歌形式提出的數(shù)列問(wèn)題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增．共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)塔頂幾盞燈？
( )
【導(dǎo)學(xué)
2、號(hào)：01772185】
A．5 B.4
C．3 D.2
C [設(shè)塔頂有x盞燈，則由題意知＝381，解得x＝3.故選C.]
3．(2016·廣東肇慶三模)在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于( )
A．－3 B.－1
C．1 D.3
D [兩式相減得a4－a3＝2a3，從而求得＝3，即q＝3.]
4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B.42
C．63 D.84
B [∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴
3、3＋3q2＋3q4＝21.
∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故選B.]
5．(2017·合肥二次質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．{an}是單調(diào)遞減數(shù)列
B．{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列
C．{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列
D．{S2n}是單調(diào)遞減數(shù)列
C [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因?yàn)閍2＝12，所以q4＝，則q2＝，所以數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為12，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列{a2n}為單
4、調(diào)遞減數(shù)列，故選C.]
二、填空題
6．若三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a＝5＋2，c＝5－2，則b＝__________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772186】
1 [∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]
7．(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.
1 121 [∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，
∴＝3.
又S2＝4，∴
5、S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.]
8．(2017·深圳二次調(diào)研)《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半．”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則Sn＝__________尺．
2n－＋1 [依題意大老鼠每天打洞的距離構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的距離共為＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞
6、的距離共為＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]
三、解答題
9．?dāng)?shù)列{bn}滿足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
[解] (1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，2分
∴＝2, 又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，
∴數(shù)列{bn＋2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.5分
(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，
∴an－1－an－2＝2n－1－2(n>2
7、)，
…，a2－a1＝22－2，
∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，9分
∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n.
∴Sn＝－＝2n＋2－(n2＋n＋4).12分
10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
[解] (1)證明：依題意Sn＝4an－3(n∈N*)，
n＝1時(shí)，a1＝4a1－3，解得a1＝1.2分
因?yàn)镾n＝4an－3，則Sn－1＝4an－1－
8、3(n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝an－1.
又a1＝1≠0，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.5分
(2)由(1)知an＝n－1，
由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，
得bn＋1－bn＝n－1.7分
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋
＝3·n－1－1(n≥2).10分
當(dāng)n＝1時(shí)也滿足，
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3·n－1－1(n∈N*).12分
B組 能力提升
(建議用時(shí)：15分鐘)
1．(2016·安徽安慶二模)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝λ
9、an－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，則λ的值等于( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772187】
A．1 B.－1
C. D.2
D [由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，所以＝1，得λ＝2.]
2．(2016·廣東肇慶三模)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，則a1＋a5＝__________.
34 [由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而
10、a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.]
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
[解] (1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).2分
∵a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴＝3(n≥2)，
∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.6分
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，8分
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列.10分
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n.12分
2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第5章 第3節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練30
