高中數(shù)學(xué)必修4教案：8_示范教案（2_4_2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角）

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1、 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 平面向量的數(shù)量積,教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中,首先研究平面向量所成的角,其次,介紹了向量數(shù)量積的定義,最后研究了向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則和基本結(jié)論;在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示中,在平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上,利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示研討了平面向量所成角的計(jì)算方式,得到了兩向量垂直的判定方法,本節(jié)是平面向量數(shù)量積的第二部分. 前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積,以及平面向量的坐標(biāo)表示.那么在有了平面向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)和引進(jìn)平面向量的數(shù)量積后,就順其自然地要考慮到

2、平面向量的數(shù)量積是否也能用坐標(biāo)表示的問題.另一方面,由于平面向量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角,因此在實(shí)現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示后,向量的模、夾角也都可以與向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來.利用平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合平面向量與平面向量數(shù)量積的關(guān)系來推導(dǎo)出平面向量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標(biāo)表示. 教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.通過例題分析、課堂訓(xùn)練,讓學(xué)生總結(jié)歸納出對于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的,

3、這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了知識和方法基礎(chǔ). 三維目標(biāo) 1.通過探究平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法. 2.掌握兩個向量垂直的坐標(biāo)條件以及能運(yùn)用兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題. 3.通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,進(jìn)一步加深學(xué)生對平面向量數(shù)量積的認(rèn)識,提高學(xué)生的運(yùn)算速度,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 教學(xué)難點(diǎn):向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用. 課時安排 1課時 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法,向量的表

4、示形式不同,對其運(yùn)算的表示方式也會改變.向量的坐標(biāo)表示,為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便.上一節(jié),我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積,那么向量的坐標(biāo)表示,對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題. 思路2.在平面直角坐標(biāo)系中,平面向量可以用有序?qū)崝?shù)對來表示,兩個平面向量共線的條件也可以用坐標(biāo)運(yùn)算的形式刻畫出來,那么學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積之后,它能否用坐標(biāo)來表示？若能,如何通過坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會是一個有序?qū)崝?shù)對嗎？同時,平面向量的模、夾角又該如何用坐標(biāo)來表示呢？通過回顧兩個向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標(biāo)表示,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)、探

5、索平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①平面向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示? ②已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a·b呢? ③怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個平面向量垂直的條件？ ④你能否根據(jù)所學(xué)知識推導(dǎo)出向量的長度、距離和夾角公式？ 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識對問題進(jìn)行推導(dǎo)和探究.前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)可以用平面直角坐標(biāo)系中的有序?qū)崝?shù)對來表示,而且我們也知道了向量的加、減以及實(shí)數(shù)與向量積的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來表示.兩個向量共線時它們對應(yīng)的坐標(biāo)也具備某種關(guān)系,那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運(yùn)算

6、關(guān)系,這種運(yùn)算關(guān)系能否用向量的坐標(biāo)來表示呢？教師提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教師可以組織學(xué)生到黑板上板書推導(dǎo)過程,教師給予必要的提示和補(bǔ)充.推導(dǎo)過程如下: ∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j, ∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j) =x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2. 又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0, ∴a·b=x1x2+y1y2. 教師給出結(jié)論性的總結(jié),由此可歸納如下: 1°平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和, 即a=(x1,y1),b

7、=(x2,y2), 則a·b=x1x2+y1y2. 2°向量模的坐標(biāo)表示 若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=. 如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|= 3°兩向量垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a⊥bx1x2+y1y2=0. 4°兩向量夾角的坐標(biāo)表示 設(shè)a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示,可得 cosθ= 討論結(jié)果:略. 應(yīng)用示例 例1 已知A(1,2),B(

8、2,3),C(-2,5),試判斷△ABC的形狀,并給出證明. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來解決平面圖形的形狀問題.判斷平面圖形的形狀,特別是三角形的形狀時主要看邊長是否相等,角是否為直角.可先作出草圖,進(jìn)行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關(guān);若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法. 解:在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形.下面

9、給出證明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1), =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴·=1×(-3)+1×3=0. ∴⊥. ∴△ABC是直角三角形. 點(diǎn)評:本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用,利用向量垂直的條件和模長公式來判斷三角形的形狀.當(dāng)給出要判定的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)時,首先要作出草圖,得到直觀判定,然后對你的結(jié)論給出充分的證明. 變式訓(xùn)練 在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角,求k的值. 解:由于題設(shè)中未指明哪一個角為直角,故需分別討論. 若∠A=90°,則⊥,所以·=0. 于是2×1+3k=0.故k=. 同理可求,若∠

10、B=90°時,k的值為; 若∠C=90°時,k的值為. 故所求k的值為或或. 例2 (1)已知三點(diǎn)A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值; (2)a=(3,0),b=(-5,5),求a與b的夾角. 活動:教師讓學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2)的數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的積,其比值就是這兩個向量夾角的余弦值,即cosθ=.當(dāng)求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時,需注意兩向量夾角的范圍是0≤θ≤π.學(xué)生在解這方面的題目時需要把向量的坐標(biāo)表示清楚,以免出現(xiàn)不必要的錯誤. 解:(1

11、)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15. 又∵||==3,||==, ∴cos∠BAC= (2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52. 設(shè)a與b的夾角為θ,則 cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=. 點(diǎn)評:本題考查的是利用向量的坐標(biāo)表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進(jìn)行運(yùn)算與求解主要是對基礎(chǔ)知識的鞏固與提高. 變式訓(xùn)練 設(shè)a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b間的夾角θ.(精確到1°) 解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30

12、+28=-2. |a|=,|b|= 由計(jì)算器得cosθ=≈-0.03. 利用計(jì)算器中得θ≈92°. 例3 已知|a|=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個問題: (1)若a⊥b,求a; (2)若a∥b,求a. 活動:對平面中的兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2),要讓學(xué)生在應(yīng)用中深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性,向量垂直的坐標(biāo)表示x1x2+y1y2=0與向量共線的坐標(biāo)表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, 應(yīng)仔細(xì)比較并熟記,當(dāng)難以區(qū)分時,要從意義上鑒別,兩向量垂直是a·b=0,而共線是方向相同或相反.教師可多加強(qiáng)反例練習(xí),多給出這兩種類型的同式變形訓(xùn)練. 解:(1)設(shè)a=

13、(x,y),由|a|=3且a⊥b, 得 解得 ∴a=a= (2)設(shè)a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得 解得或 ∴a=a=. 點(diǎn)評:本題主要考查學(xué)生對公式的掌握情況,學(xué)生能熟練運(yùn)用兩向量的坐標(biāo)運(yùn)算來判斷垂直或者共線,也能熟練地進(jìn)行公式的逆用,利用已知關(guān)系來求向量的坐標(biāo). 變式訓(xùn)練 求證:一次函數(shù)y=2x-3的圖象(直線l1)與一次函數(shù)y=x的圖象(直線l2)互相垂直. 解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取兩點(diǎn)A(1,-1),B(2,1). 同理,在直線l2上取兩點(diǎn)C(-2,1),D(-4,2),于是: =(2

14、,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1). 由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得·=1×(-2)+1×2=0, ∴⊥,即l1⊥l2. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí). 解答: 1.|a|=5,|b|=,a·b=-7. 2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49. 3.a·b=1,|a|=,|b|=,θ≈88°. 課堂小結(jié) 1.在知識層面上,先引導(dǎo)學(xué)生歸納平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,向量的模,兩向量的夾角,向量垂直的條件.其次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律,夾角和距離

15、公式、兩向量垂直的坐標(biāo)表示. 2.在思想方法上,教師與學(xué)生一起回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)思想方法,定義法,待定系數(shù)法等. 作業(yè) 課本習(xí)題2.4 A組8、9、10. 設(shè)計(jì)感想 由于本節(jié)課是對平面向量的進(jìn)一步探究與應(yīng)用,是對平面向量幾何意義的綜合研究提高,因此教案設(shè)計(jì)流程是探究、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用、提高,這符合新課程理念,符合新課標(biāo)要求.我們知道平面向量的數(shù)量積是本章最重要的內(nèi)容,也是高考中的重點(diǎn),既有選擇題、填空題,也有解答題(大多同立體幾何、解析幾何綜合考查),故學(xué)習(xí)時要熟練掌握基本概念和性質(zhì)及其綜合運(yùn)用.而且數(shù)量積的坐標(biāo)表示又是向量運(yùn)算的一個重要內(nèi)容,用坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)平

16、面內(nèi)點(diǎn)的位置,是解析幾何的一個基本特征,從而以坐標(biāo)為橋梁可以建立向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系.以三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo),又可以溝通向量與三角函數(shù)的相互關(guān)系,由此就產(chǎn)生出一類向量與解析幾何及三角函數(shù)交匯的綜合性問題. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示使得向量數(shù)量積的應(yīng)用更為方便,也拓寬了向量應(yīng)用的途徑.通過學(xué)習(xí)本節(jié)的內(nèi)容,要更加加深對向量數(shù)量積概念的理解,同時善于運(yùn)用坐標(biāo)形式運(yùn)算解決數(shù)量問題,尤其是有關(guān)向量的夾角、長度、垂直等,往往可以使問題簡單化.靈活使用坐標(biāo)形式,綜合處理向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、平行等,綜合地解決向量綜合題,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.在本節(jié)的學(xué)習(xí)中可以通過對實(shí)際問題的抽象來培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題和應(yīng)用知識解決問題的意識與能力.