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1、
第4節(jié) 曲線與方程
題型123 求動點的軌跡方程
1.（2013遼寧理20）如圖，拋物線.點在拋物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于）.當時，切線的斜率為.
（1）求的值；
（2）當在上運動時，求線段中點的軌跡方程（重合于時，中點為）.
2.（2014 湖北理 21）（滿分14分）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多，記點的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設斜率為的直線過定點.求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.
3.（2014 廣東理 20） （14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為，
2、
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
4.（2016四川理15）在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為，當是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題：
①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點.
②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上.
③若兩點關(guān)于軸對稱，則他們的“伴隨點”關(guān)于軸對稱.
④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線.
其中的真命題是 .
4.②③ 解析 對于①，若令則其伴隨點為，而的伴隨點為，而不是，故錯誤；
對于②，令單位圓上點的坐標為，其伴隨點為仍在單
3、位圓上，故②正確；
對于③，設曲線關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別為
與的圖像關(guān)于軸對稱，所以③正確；對于④，直線上取點得，其伴隨點消參后軌跡是圓，故④錯誤.所以正確的序號為②③.
5.（2016全國乙理20（1））設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點.
（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程.
5.解析 (1)如圖所示，圓的圓心為，半徑，
因為，所以.又因為，所以，
于是 ，所以.故為定值.
又，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，
由，，得.故點的軌跡的方程為.
6.（201
4、6全國丙卷20）已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于，兩點，交的準線于，兩點.
（1）若在線段上，是的中點，證明；
（2）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.
6.解析 (1)連接，，由，及，得，所以.因為是中點，，所以，所以， ，又，
所以，所以（等角的余角相等），所以.
(2)設，，準線為，，設直線與軸交點為，，因為，所以，得，即．
設中點為，
由，得，即.
又，所以，即．
易知當直線不存在時，點也滿足此方程，
所以中點軌跡方程為.
7.（2017全國2卷理科20（1））設為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足.
（1）求點的軌跡方程；
7．解析 （1）設點，易知，，又，
所以點.又在橢圓上，所以，即．
2013-2017高考數(shù)學分類匯編-第10章圓錐曲線-4 曲線與方程（理科）
