高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 熱點(diǎn)探究課5 直線與圓的綜合問題

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1、 熱點(diǎn)探究課(五)　直線與圓的綜合問題 [命題解讀]　從近五年的高考試題來看，高考對該部分的考查主要以直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系為載體，綜合考查直線方程、圓的方程的求法及與直線、圓相關(guān)的最值范圍問題． 熱點(diǎn)1　與直線、圓有關(guān)的最值(范圍)問題 該類問題以直線、圓的位置關(guān)系為載體，通過定點(diǎn)圓心，弦心距之間的關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系建立不等式，并借助函數(shù)或不等式求相應(yīng)問題的最值． 　(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：6217225

2、5】 (2)(2016·蘇北四市模擬)設(shè)m，n>0，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的最小值是________． (1)　(2)2＋2　[(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)，由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，即≤2整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值是. (2)由直線與圓相切可知圓心距d＝＝1，整理可得(m－1)(n－1)＝2，利用均值不等式2＝(m－1)(n－1)≤2，可知m＋n≥2＋2.等號成立的條件為m－1＝n－1，即m＝n＝＋1.] [規(guī)律方法]　1.研究直線

3、與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題． 2．與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化． [對點(diǎn)訓(xùn)練1]　已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為________． 6　[根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示， 則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且AB＝2m，因?yàn)椤螦PB＝90°，連結(jié)OP，易知OP＝AB＝m.要求m的最大值，即求

4、圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．因?yàn)镺C＝＝5，所以O(shè)Pmax＝OC＋r＝6，即m的最大值為6.] 熱點(diǎn)2　定點(diǎn)問題 定點(diǎn)問題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)． (2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)． 　已知t∈R，圓C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0. (1)若圓C的圓心在直線x－y＋2＝0上，求圓C的方程． (2)圓C是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，請說明理由． [解]　(1)由原方程配方得(x－t)2＋(y－t2)

5、2＝t4＋t2－4t＋4，其圓心為C(t，t2)． 依題意知t－t2＋2＝0，所以t＝－1或2. 即圓C的方程為x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0.6分 (2)整理圓C的方程為(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0， 令?所以圓C過定點(diǎn)(2,0).14分 [規(guī)律方法]　判定圓是否過定點(diǎn)，或是求圓所過定點(diǎn)坐標(biāo)的問題，可以在方程形式上轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個參量的方程，結(jié)合恒等式的關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組求該點(diǎn)的坐標(biāo)．若方程組有解，則說明圓過定點(diǎn)，否則圓不過定點(diǎn)． [對點(diǎn)訓(xùn)練2]　如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋1)2＋y

6、2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.設(shè)動圓C同時平分圓C1、圓C2的周長． (1)求證：動圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動． (2)動圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由． 圖1 [解]　(1)證明：設(shè)圓心C(x，y)，由題意，得CC1＝CC2， 即＝，化簡得x＋y－3＝0， 即動圓圓心C在定直線x＋y－3＝0上運(yùn)動.4分 (2)圓C過定點(diǎn)． 設(shè)C(m,3－m)，則動圓C的半徑為＝. 于是動圓C的方程為(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2， 整理，得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0， 聯(lián)立方程組

7、解得或 所以動圓C過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為和.14分 熱點(diǎn)3　與直線、圓有關(guān)的函數(shù)建模問題(答題模板) 與直線、圓有關(guān)的函數(shù)建模問題也是近幾年的一個高考亮點(diǎn)，2014年江蘇省第18題曾經(jīng)考查過，主要考查學(xué)生運(yùn)用直線、圓的知識及坐標(biāo)法的思想解決問題． 　(本小題滿分14分)(2017·南京鹽城一模)如圖2所示，A，B是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū). 為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P，垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個要求(A，B，P可看成三個點(diǎn))：①垃圾發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；

8、②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)(這里參考的指標(biāo)是點(diǎn)P到直線AB的距離要盡可能大). 現(xiàn)估測得A，B兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？ 【導(dǎo)學(xué)號：62172256】 圖2 [解]　以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系． 則A(－8,0)，B(8,0)． 由條件①，得＝＝.5分 設(shè)P(x，y)(y>0)，則3＝5，10分 化簡得(x－17)2＋y2＝152(y>0)， 即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(17,0)為圓心、15為半徑的圓位于x軸上方的半圓.12分 則當(dāng)x＝17時，點(diǎn)P到直線AB的距離

9、最大，最大值為15千米． 所以點(diǎn)P的選址應(yīng)滿足在上述坐標(biāo)系中其坐標(biāo)為(17,15)即可.14分 [答題模板]　第1步建系：以線段AB為x軸，其中垂線為y軸建系． 第2步建等量關(guān)系：以題設(shè)條件為依托，把文字語言代數(shù)化，數(shù)量化． 第3步解模：利用數(shù)學(xué)知識求解第2步中的等量關(guān)系，做到等價變形． 第4步回扣主題：把數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際問題化． 第5步反思總結(jié)：從第1步到第4步反思一遍，看有無漏點(diǎn)，錯點(diǎn)． [溫馨提示]　1.該類問題以實(shí)際問題為載體，重在考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，求解的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化． 2．注意實(shí)際問題隱含的條件、范圍等信息． [對點(diǎn)訓(xùn)練3]　一條

10、形如斜L型的鐵路線MON在經(jīng)過某城市O時轉(zhuǎn)彎而改變方向，測得tan∠MON＝－3，因市內(nèi)不準(zhǔn)建站，故考慮在郊區(qū)A，B處分別建設(shè)東車站與北車站，其中東車站A建于鐵路OM上，且OA＝6 km，北車站B建于鐵路ON上，同時在兩站之間建設(shè)一條貨運(yùn)公路，使直線AB經(jīng)過貨物中轉(zhuǎn)站Q，已知Q站與鐵路線OM，ON的垂直距離分別為2 km， km. 現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系． 圖3 (1)若一貨運(yùn)汽車以36 km/h的速度從車站A開往車站B，不計途中裝卸貨物時間，則需多長時間？ (2)若在中轉(zhuǎn)站Q的正北方向6 km有一個工廠P，為了節(jié)省開支，產(chǎn)品不經(jīng)中轉(zhuǎn)

11、站而運(yùn)至公路上C處，讓貨車直接運(yùn)走，試確定點(diǎn)C的最佳位置． [解]　(1)由已知得A(6,0)，直線ON的方程為y＝－3x， 設(shè)Q(x0,2)(x0>0)，由＝及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分 ∴直線AQ的方程為y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0， 由得即B(－3,9)， ∴AB＝＝9，從而t＝＝ h. 即貨運(yùn)汽車需要15分鐘時間.8分 (2)點(diǎn)P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C. 由(1)知直線AB的方程為x＋y－6＝0，12分 ∵P(4,8)，則直線PC的方程為x－y＋4＝0， 聯(lián)立上述兩式得即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,5).16分 熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(五) A組　

12、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172257】 －或－　[由已知，得點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，－3)． 設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0. 由反射光線與圓相切，則有d＝＝1， 解得k＝－或k＝－.] 2．若圓x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0關(guān)于直線y＝x＋2b成軸對稱圖形，則

13、a－b的取值范圍是________． (－∞，4)　[圓的方程可變?yōu)?x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a， 可知圓心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2. ∵圓關(guān)于直線y＝x＋2b對稱， ∴點(diǎn)(1，－3)在直線上，則b＝－2. ∴a－b＝2＋a<4.] 3．已知m，n為正整數(shù)，且直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行，則2m＋n的最小值為________． 9　[直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行， ∴2n＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 又m>0，n>0，得＋＝1. ∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝

14、9. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． ∴2m＋n的最小值為9.] 4．過點(diǎn)P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是________． 　[因l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則l的斜率存在，設(shè)斜率為k，所以直線l的方程為y＋1＝k(x＋)， 即kx－y＋k－1＝0， 則圓心到l的距離d＝. 依題意，得≤1，解得0≤k≤. 故直線l的傾斜角的取值范圍是.] 5．若圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有兩點(diǎn)到直線2x＋y＋c＝0(c>0)的距離等于1，則c的取值范圍為________． (，3)　[圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圓心為(1，－2)，半

15、徑r＝2，要使圓上恰有兩點(diǎn)到直線2x＋y＋c＝0(c>0)的距離為1，則1<<3， 解得0，故c的取值范圍為(，3)．] 6．過點(diǎn)M(1,2)的直線l與圓C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時，直線l的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172258】 x－2y＋3＝0　[當(dāng)CM⊥l，即弦長最短時，∠ACB最小，kCM＝－2， ∴kl·kCM＝－1，∴kl＝， ∴l(xiāng)的方程為：x－2y＋3＝0.] 7．在圓x2＋y2＝4上與直線l：4x＋3y－12＝0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 　[過圓(0,0)與直線l

16、垂直的直線方程為3x－4y＝0，由解得或結(jié)合圖象(圖略)可知所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.] 8．已知兩點(diǎn)A(－1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是________． 2＋，2－　[如圖，圓心(1,0)到直線AB：2x－y＋2＝0的距離為d＝， 故圓上的點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是＋1，最小值是－1，又AB＝，故△PAB面積的最大值和最小值分別是2＋，2－.] 9．若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為________． 2　[圓C1：x2＋y

17、2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)． 化為：(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑為3. 圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為1. ∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值為2.] 10．(2017·蘇州模擬)設(shè)曲線C的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線上的點(diǎn)到直線l的距離為的點(diǎn)的個數(shù)為________． 2　[由(x－

18、2)2＋(y＋1)2＝9，得圓心坐標(biāo)為(2，－1)，半徑r＝3，圓心到直線l的距離d＝＝＝. 要使曲線上的點(diǎn)到直線l的距離為，此時對應(yīng)的點(diǎn)在直徑上，故有兩個點(diǎn)．] 二、解答題 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)．記過三個交點(diǎn)的圓為圓C. (1)求圓C的方程； (2)圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(與b的取值無關(guān))？證明你的結(jié)論. 【導(dǎo)學(xué)號：62172259】 [解]　(1)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b；令x＝0，得y2＋Ey＋

19、b＝0，此方程有一個根為b，代入得E＝－b－1，所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (2)圓C必過定點(diǎn)(0,1)，(－2,1)． 證明如下：原方程轉(zhuǎn)化為(x2＋y2＋2x－y)＋b(1－y)＝0，即解得或 12．(2017·南京鹽城二模)如圖4，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB. 圖4 問：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道

20、AB最短？ [解]　如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy. 設(shè)A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)， 則直線AB的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 因?yàn)锳B與圓C相切，所以＝1. 化簡得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2. 因此AB＝＝ ＝ ＝. 因?yàn)?＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 于是AB＝2－(a＋b)． 又ab＝2(a＋b)－2≤2， 解得0＜a＋b≤4－2或a＋b≥4＋2. 因?yàn)?＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2， 所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2)＝2－2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝

21、b＝2－時取等號， 所以AB的最小值為2－2，此時a＝b＝2－. 即當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2－百米/時，小道AB最短． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·無錫模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋(y－3)2＝2，點(diǎn)A是x軸上的一個動點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的取值范圍是________． 　[設(shè)∠PCA＝θ，所以PQ＝2sin θ. 又cos θ＝，AC∈[3，＋∞)，所以cos θ∈， 所以cos2θ∈，sin2θ＝1－cos2θ∈， 所以sin θ∈，所以PQ∈.] 2．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足過點(diǎn)P的

22、直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最小值為__________． 4　[作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根據(jù)圖形知點(diǎn)P(1,3)到圓心的距離最大，則OP＝，圓的半徑為. ∴ABmin＝2＝2＝4.] 3．(2017·連云港、徐州、淮安、宿遷四市一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－3,4)，B(9,0)，若C，D分別為線段OA，OB上的動點(diǎn)，且滿足AC＝BD. 圖5 (1)若AC＝4，求直線CD的方程； (2)證明：△OCD的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn)O)． [解]　(1)因?yàn)锳(－3,4)，所以O(shè)A＝＝

23、5， 又因?yàn)锳C＝4，所以O(shè)C＝1，所以C， 由BD＝4，得D(5,0)，所以直線CD的斜率為＝－， 所以直線CD的方程為y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0. (2)證明：設(shè)C(－3m,4m)(0

24、x＋2y)＝0， 令所以(舍)或 所以△OCD的外接圓恒過定點(diǎn)為(2，－1)． 4．(2017·南京模擬)已知在△ABC中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－2,0)和(2,0)，點(diǎn)C在x軸上方． (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3)，求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的方程； (2)若∠ACB＝45°，求△ABC的外接圓的方程； (3)若在給定直線y＝x＋t上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向(2)中圓引一條切線，切點(diǎn)為Q.問是否存在一個定點(diǎn)M，恒有PM＝PQ？請說明理由． [解]　(1)因?yàn)锳C＝5，BC＝3，所以橢圓的長軸長2a＝AC＋BC＝8， 又c＝2，所以b＝2，故所求橢圓的方程為＋＝1. (2

25、)因?yàn)椋?R，所以2R＝4，即R＝2 又圓心在AB的垂直平分線上，故可設(shè)圓心為(0，s)(s>0)， 則由4＋s2＝8，所以△ABC的外接圓的方程為x2＋(y－2)2＝8. (3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，x＋t)，因?yàn)楹阌蠵M＝PQ，所以(x－m)2＋(x＋t－n)2＝x2＋(x＋t－2)2－8， 即(2m＋2n－4)x－(m2＋n2－2nt＋4t＋4)＝0，對x∈R，恒成立， 從而 消去m，得n2－(t＋2)n＋(2t＋4)＝0. 因?yàn)榉匠膛袆e式△＝t2－4t－12，所以 ①當(dāng)－2