2018屆高三數(shù)學一輪復習： 第2章 第10節(jié) 課時分層訓練13

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1、 課時分層訓練(十三)　 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數(shù)為(　　) 【導學號：01772077】 A．2(x2－a2)　　　　　 B.2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D.3(x2＋a2) C　[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]　 2．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)等于(　　) A．－e　　　 B.－1 C.1　　　 D.e B　[由f(x

2、)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.]　 3．曲線y＝sin x＋ex在點(0,1)處的切線方程是(　　) A．x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0 C　[y′＝cos x＋ex，故切線斜率為k＝2，切線方程為y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]　 4．(2014·全國卷Ⅱ)設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(　　) A．0　　　 B.1 C.2　　　 D.3 D　[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，則f′(x

3、)＝a－.由導數(shù)的幾何意義可得在點(0,0)處的切線的斜率為f′(0)＝a－1.又切線方程為y＝2x，則有a－1＝2，∴a＝3.] 5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，則f(x)在點P(－1,2)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積等于(　　) 【導學號：01772078】 A．4　　　 B.5 C.　　　 D. C　[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 故切線方程為y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0， 令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－， ∴所求面積S＝××10＝.] 二、填空題 6．(2017·鄭州

4、二次質(zhì)量預測)曲線f(x)＝x3－x＋3在點P(1,3)處的切線方程是________． 2x－y＋1＝0　[由題意得f′(x)＝3x2－1，則f′(1)＝3×12－1＝2，即函數(shù)f(x)的圖象在點P(1,3)處的切線的斜率為2，則切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.] 7．若曲線y＝ax2－ln x在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________. 【導學號：01772079】 　[因為y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因為曲線在點(1，a)處的切線平行于x軸，故其斜率為0，故2a－1＝0，a＝.] 圖2-10-1 8．如圖2-10-1，y

5、＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝________. 0　[由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，即f′(3)＝－. 又因為g(x)＝xf(x)， 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.] 三、解答題 9．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x·tan x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝. [解]　(1)y′＝(x·tan x)′＝

6、x′tan x＋x(tan x)′ ＝tan x＋x·′＝tan x＋x· ＝tan x＋. (2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝′＝ ＝＝ ＝. 10．已知點M是曲線y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在M處的切線為l，求： (1)斜率最小的切線方程； (2)切線l的傾斜角α的取值范圍． [解]　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分 所以當x＝2時，y′＝－1，y＝， 所以斜率最小的切線過點

7、，4分 斜率k＝－1， 所以切線方程為x＋y－＝0.6分 (2)由(1)得k≥－1，9分 所以tan α≥－1，所以α∈∪.12分 B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2016·山東高考)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(　　) A．y＝sin x B.y＝ln x C．y＝ex D.y＝x3 A　[若y＝f(x)的圖象上存在兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))， 使得函數(shù)圖象在這兩點處的切線互相垂直，則f′(x1)·f′(x2)＝－1. 對于A：y′

8、＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，則當x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)時，結論成立； 對于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1； 對于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.顯然不存在這樣的x1，x2； 對于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，顯然不存在這樣的x1，x2. 綜上所述，選A.] 2．(2016·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________． y＝－2x

9、－1　[因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x>0時，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，則f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.] 3．已知函數(shù)f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在x＝1處的切線斜率相同，求a的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線． 【導學號：01772080】 [解]　根據(jù)題意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－. 2分 曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率為f′(1)＝3， 曲線y＝g(x)在x＝1處的切線斜率為g′(1)＝－a， 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 6分 曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為 y－f(1)＝3(x－1)， 所以y＋1＝3(x－1)，即切線方程為3x－y－4＝0.9分 曲線y＝g(x)在x＝1處的切線方程為 y－g(1)＝3(x－1)， 所以y＋6＝3(x－1)，即切線方程為3x－y－9＝0， 所以，兩條切線不是同一條直線. 12分