數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試:第二部分 專題五 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題 Word版含解析

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1、 A級(jí) 基礎(chǔ)通關(guān) 一、選擇題 1.(2017·全國卷Ⅰ改編)橢圓C:+=1的焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)A,B是長軸的兩端點(diǎn),若曲線C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.(3,+∞) B.[1,3) C.(0,) D.(0,1] 解析:依題意,當(dāng)0<m<3時(shí),焦點(diǎn)在x軸上, 要在曲線C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°, 則≥tan 60°,即≥,解得0<m≤1. 答案:D 2.(2018·全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為(  ) A.1- B.2- C. D

2、.-1 解析:在△F1PF2中,PF1⊥PF2,∠PF2F1=60°. 由|F1F2|=2c,得|PF2|=c,|PF1|=c. 由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a,即(+1)c=2a. 故橢圓的離心率e==-1. 答案:D 3.若點(diǎn)P為拋物線y=2x2上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),則|PF|的最小值為(  ) A.2 B. C. D. 解析:根據(jù)題意,拋物線y=2x2上,設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,則有|PF|=d,拋物線的方程為y=2x2,即x2=y(tǒng),其準(zhǔn)線方程為y=-,所以當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí),d有最小值,即|PF|min=. 答案:D 4.(2019·天

3、津卷)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|OF|(O為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為(  ) A. B. C.2 D. 解析:由已知易得,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1,所以|OF|=1. 又雙曲線的兩條漸近線的方程為y=±x,不妨設(shè)點(diǎn)A,B,所以|AB|==4|OF|=4,所以=2,即b=2a,所以b2=4a2. 又因?yàn)閏2=a2+b2,所以c2=5a2,所以e==. 答案:D 5.(2019·安徽六安一中模擬)點(diǎn)P在橢圓C1:+=1上,C1的右焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)

4、Q在圓C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,則|PQ|-|PF2|的最小值為(  ) A.4-4 B.4-4 C.6-2 D.2-6 解析:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(-1,0). 則|PQ|-|PF2|=|PQ|-(2a-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-4, 故要求|PQ|-|PF2|的最小值. 即求|PQ|+|PF1|的最小值. 又圓C2的半徑r=2,圓心C2(-3,4), 所以(|PQ|+|PF1|)min=|C2F1|-r=-2= 2-2. 故|PQ|-|PF2|的最小值為2-6. 答案:D 二、填空題 6.(2019·廣東六校聯(lián)考)已知雙曲線-=

5、1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|+|≤||,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是________. 解析:由于O是F1F2的中點(diǎn),得=(+). 因?yàn)殡p曲線上的存在點(diǎn)P滿足2|+|≤||, 則4||≤2c. 由于||≥a,知4a≤2c,所以e≥2. 答案:[2,+∞) 7.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作x軸,y軸垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為________. 解析:不妨設(shè)A(x1,y1)(y1>0), B(x2,y2)(y2<0). 則|AC|+|BD|=x2+y1=+y1

6、. 又y1y2=-p2=-4, 所以|AC|+|BD|=-(y2<0). 設(shè)g(x)=-,g′(x)=, 令g′(x)<0,得x<-2, 令g′(x)>0,得-2<x<0. 所以g(x)在(-∞,-2)上遞減,在(-2,0)上遞增. 所以當(dāng)x=-2,即y2=-2時(shí),|AC|+|BD|取最小值為3. 答案:3 8.(2019·浙江卷)已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心,|OF|為半徑的圓上,則直線PF的斜率是________. 解析:如圖,左焦點(diǎn)F(-2,0),右焦點(diǎn)F′(2,0). 線段PF的中點(diǎn)M在以O(shè)(0,

7、0)為圓心,2為半徑的圓上,因此OM=2. 在△FF′P中,OMPF′, 所以PF′=4. 根據(jù)橢圓的定義,得PF+PF′=6, 所以PF=2. 又因?yàn)镕F′=4, 所以在Rt△MFF′中, tan ∠PFF′===, 故直線PF的斜率是. 答案: 三、解答題 9.已知曲線C:y2=4x,曲線M:(x-1)2+y2=4(x≥1),直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若·=-4,求證:直線l恒過定點(diǎn); (2)若直線l與曲線M相切,求·(點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0))的最大值. (1)證明:設(shè)l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得y2-4

8、my-4n=0. 所以y1+y2=4m,y1y2=-4n. 所以x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2. 由·=-4, 得x1x2+y1y2=n2-4n=-4,解得n=2. 所以直線l方程為x=my+2, 所以直線l恒過定點(diǎn)(2,0). (2)解:因?yàn)橹本€l與曲線M:(x-1)2+y2=4(x≥1)相切, 所以=2,且n≥3, 整理得4m2=n2-2n-3(n≥3).① 又點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0),所以由已知及①,得 ·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2) =(x1-1)(x2-1)+y1y2 =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 =n2-4m2-2n+1-4

9、n =n2-4m2-6n+1=4-4n. 又y=4-4n(n≥3)是減函數(shù), 所以當(dāng)n=3時(shí),y=4-4n取得最大值-8. 故·的最大值為-8. 10.(2019·惠州調(diào)研)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,短軸長為2. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)A(0,4)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的上焦點(diǎn).問:是否存在直線l,使得S△MAF=S△MNF?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:(1)由題意知=,b=,且a2=b2+c2, 解之得a2=4,b2=3. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)存在.理由如下: 由題意可知l的斜

10、率一定存在, 設(shè)l為y=kx+4,M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立?(3k2+4)x2+24kx+36=0, 所以 由SMAF=S△MNF,知M為線段AN的中點(diǎn), 所以x2=2x1,④  將④代入②得x1=-;④代入③得x=. 從而可得k2=,且滿足①式, 所以k=±. 因此存在直線l為6x-y+4=0或6x+y-4=0滿足題意. B級(jí) 能力提升 11.(2019·華南師大檢測(cè))已知橢圓D的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2,且長軸長是短軸長的倍. (1)求橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)P(2,0),過橢圓D左焦點(diǎn)F的直線l交D于A、B兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意

11、直線,不等式·=λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值. 解:(1)依題意,c=1,a=b, 又a2=b2+c2,得2b2=b2+1, 所以b2=1,a2=2. 所以橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則·=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2, 當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),x1=x2=-1,y1=-y2且y=,此時(shí)=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1), 所以·=(-3)2-y=. 當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線l:y=k(x+1), 由整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

12、 所以x1+x2=-,x1x2=, 所以·=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)-(k2-2)·+4+k2==-<. 要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立,只需λ≥(·)max,故λ的最小值為. 12.設(shè)橢圓M:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A(-1,0),B(1,0),C為橢圓M上的點(diǎn),且∠ACB=,S△ABC=. (1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)過橢圓M右焦點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線與橢圓M相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),探究在x軸上是否存在定點(diǎn)D,使得·為定值?若存在,試求出定值和點(diǎn)D的坐標(biāo);

13、若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:(1)在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=(CA+CB)2-3CA·CB=4. 又S△ABC=CA·CB·sin C=CA·CB=, 所以CA·CB=,代入上式得CA+CB=2, 所以橢圓長軸2a=2,焦距2c=AB=2,所以b=1. 所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)設(shè)直線方程y=k(x-1),E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2), 聯(lián)立 消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,Δ=8k2+8>0, 所以x1+x2=,x1x2=. 假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)D(x0,0)使得·為定值. 所以·=(x1-x0,y1)·(x2-x0,y2) =x1x2-x0(x1+x2)+x+y1y2 =x1x2-x0(x1+x2)+x+k2(x1-1)(x2-1) =(1+k2)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+x+k2 = 要使·為定值,則·的值與k無關(guān), 所以2x-4x0+1=2(x-2),解得x0=, 此時(shí)·=-為定值,定點(diǎn)為.

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