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1、壓軸題提分練（二）
2 2
x y
1 ?設橢圓a2+ b^= 1(a> b> 0)的左焦點為
F，離心率為過點F且與x軸垂直
的直線被橢圓截得的線段長為433.
（i）求橢圓的方程；
⑵設A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點 F且斜率為k的直線與橢圓交于C,
2b
D兩點?若AC DB + AD CB = 8, O為坐標原點，求△ OCD的面積.
解析：（1）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為
4“3
3 .
因為橢圓的離心率為中，所以a=h， 又 a2= b2 + c2，可解得 b= 2， c= 1， a=\3
2 2
所以橢圓的方
2、程為氣+2=1.
⑵由⑴可知F（- 1,0），則直線CD的方程為y= k（x+ 1）.
+ kx+ 1，
聯(lián)立x2 y2
+
3 + 2
1,
2 2 2 2
消去 y 得(2 + 3k )x + 6k x+ 3k — 6= 0.
設 C(X1, y1), D(x2, y2),
6k2 3k2— 6
所以 X1 + x2=— 2, X1X2= 2.
2+ 3k 2+ 3k
又 A(— 3, 0), B( 3, 0),所以 AC DB + AD CB
=(X1+ 3, y1)(-3 — x?, — y2)+ (x2 + 3, y2)(?.3 — X1,— y”
3、2
2 2 2 2k +12
=6— (2 + 2k )x1x2 — 2k (X1 + x2) — 2k = 6+ 2 = 8,
2 + 3k2
解得k= 土, 2.
6X2 3 3X 2-6
從而 Xl + X2=— =—廳，X1X2= = 0.
2+ 3X 2 2 2+ 3X 2
所以 |xi — X2、= p (X1 + X2 f - 4X1X2 =寸(一3] — 4X 0 = 2, |CD|= U + k2|xi -X2|= 1 + 2X3= 323.
而原點O到直線CD的距離為d=
；1 + k2 - 1 + 2
所以△OCD 的面積為 S= ~|CD|X
4、d= ^X 2.已知函數(shù)f(X)= eX-ax—1(a為常數(shù)),曲線y=f(x)在與y軸的交點A處的切線 斜率為—1.
(1)求a的值及函數(shù)y= f(x)的單調(diào)區(qū)間；
⑵若 X1ln 2,且 f(x1)= f(x2)，試證明：X1 + X2<2ln 2.
解析：(1)由 f(x)= ex— ax— 1 得 f' (x) = ex— a.
又 f' (0)= 1 — a=— 1,所以 a= 2,
所以 f(x) = ex— 2x— 1, f' (x)= ex—2.
由 f' (x) = e — 2>0 得 x>ln 2.
所以函數(shù)y= f(x)在(一x, ln
5、 2)上單調(diào)遞減，
在(ln 2,+ x)上單調(diào)遞增.
(2)證明：設 x>ln 2,所以 2ln 2 — xln 2),
D
則 g' (x)= eT+ 4e-x— 4>2 ;ex 4e— x — 4 = 0,當且僅當 x= ln 2 時，等號成立, 所以 g(x)= f(x) — f(2In 2 — x)在(In 2,+*)上單調(diào)遞增.
又g(ln 2)= 0,所以當x>ln 2時，
g(x) = f(x) — f(2I n 2 — x)>g(ln 2) = 0,
即 f(x)>f(2ln 2 — x)，所以 f(X2)>f(2In 2 — X2),
又因為 f(xi) = f(X2)，所以 f(xi)>f(2ln 2 — X2).
由于 x2>ln 2,所以 2ln 2— x2
第一部分題型專項練壓軸題提分練(二)
