集合思想 (2)

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1、 集合思想 1. 集合的概念。 把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體,就是一個(gè)集合(簡稱集),其中每個(gè)事物叫做該集合的元素(簡稱元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合,是明確的。如“學(xué)習(xí)成績好的同學(xué)”不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的；而“語文和數(shù)學(xué)的平均成績在90分及以上的同學(xué)”就是一個(gè)集合。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個(gè)集合的元素完全相同，就說這兩個(gè)集合相等。 集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝”括起來表示集合的方法。描述法就是在花括號內(nèi)寫出規(guī)定這個(gè)

2、集合元素的特定性質(zhì)來表示集合的方法。列舉法的局限性在于當(dāng)集合的元素過多或者有無限多個(gè)時(shí)，很難把所有的元素一一列舉出來，這時(shí)描述法便體現(xiàn)出了優(yōu)越性。此外，有時(shí)也可以用封閉的曲線（文恩圖）來直觀地表示集合及集合間的關(guān)系，曲線的內(nèi)部表示集合的所有元素。 一一對應(yīng)是兩個(gè)集合之間元素（這種元素不一定是數(shù)）的一對一的對應(yīng)，也就是說集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b與之對應(yīng)；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a與之對應(yīng)。數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)，如正奇數(shù)集合和正偶數(shù)集合之間的元素可以建立一一對應(yīng)。其他集合之間也可以建立一一對應(yīng)，如五(1)班有25個(gè)男生，25個(gè)女生，如果把男

3、生和女生各自看成一個(gè)集合，那么這兩個(gè)集合之間可以建立一一對應(yīng)；再如，中國、美國、俄羅斯、英國、法國、德國作為一個(gè)集合，北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、柏林作為一個(gè)集合，這兩個(gè)集合之間也可以建立一一對應(yīng)。 2. 集合思想的重要意義。 集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，從集合論的角度研究數(shù)學(xué)，便于從整體和部分及二者的關(guān)系上研究數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識。如數(shù)系的擴(kuò)展，從小學(xué)的自然數(shù)到整數(shù)，再到中學(xué)的有理數(shù)、無理數(shù)和實(shí)數(shù)，都可以從集合的角度來描述。有時(shí)用集合語言來表述有關(guān)概念更為簡潔，如全體偶數(shù)的集合可表示為｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合溝通了代數(shù)(數(shù))和幾何之間的關(guān)系，如y = kx ，既是正比例函數(shù)，又

4、可以表示一條直線；也就是說在平面直角坐標(biāo)系上，這條直線是由滿足y = kx 的有序?qū)崝?shù)對所組成的點(diǎn)的集合。用集合圖描述概念的分類及概念之間的關(guān)系，往往層次分明、直觀清晰，如四邊形的分類可以用文恩圖表示。 3．集合思想的具體應(yīng)用。 集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容中進(jìn)行了滲透。在數(shù)的概念方面，如自然數(shù)可以從對等集合基數(shù)（元素的個(gè)數(shù)）的角度來理解，再如在一年級通過兩組數(shù)量相等的實(shí)物建立一一對應(yīng)，讓學(xué)生理解“同樣多”的概念，實(shí)際上就是兩個(gè)對等集合的元素之間建立一一對應(yīng)；數(shù)的運(yùn)算也可以從集合的角度來理解，如加法可以理解為兩個(gè)交集為空集的集合的并集，再如求兩數(shù)相差多少，通過把代表兩數(shù)的實(shí)物圖或直觀圖一

5、對一地比較，來幫助學(xué)生理解用減法計(jì)算的道理；實(shí)際上就是把代表兩數(shù)的實(shí)物分別看作集合Ａ、Ｂ，通過把Ａ的所有元素與Ｂ的部分元素建立一一對應(yīng)，然后轉(zhuǎn)化為求Ｂ與其子集（與Ａ等基）的差集的基數(shù)。此外，在小學(xué)數(shù)學(xué)中還經(jīng)常用集合圖表示概念之間的關(guān)系，如把所有三角形作為一個(gè)整體，看作一個(gè)集合，記為Ａ；把銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各自看作一個(gè)集合，分別記為Ｂ、Ｃ、Ｄ，這三個(gè)集合就是集合Ａ的三個(gè)互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)時(shí)，都是通過把兩個(gè)數(shù)各自的因數(shù)和倍數(shù)分別用集合圖表示，再求兩個(gè)集合的交集，直觀地表示了公因數(shù)和公倍數(shù)的概念。 4．集合思想的教學(xué)。 集合思想在小學(xué)

6、數(shù)學(xué)中廣泛滲透，在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問題。 第一，應(yīng)正確理解有關(guān)概念。我們知道，兩個(gè)數(shù)之間可以比較大小，但是兩個(gè)集合之間無法直接比較大小，也就是說一般不說兩個(gè)集合誰大誰小。如有兩個(gè)集合A、B，當(dāng)且僅當(dāng)它們有完全相同的元素時(shí)，稱A、B相等，記為A=B。 如A={2，3，5，7}，B={ x|x是小于10的素?cái)?shù)}。集合之間可以有包含關(guān)系，如C={2, 3, 5, 7, 11}，則A是C的真子集。集合之間可以比較基數(shù)的大小，也就是比較元素的個(gè)數(shù)的多少。只要兩個(gè)集合元素間能夠建立一一對應(yīng)的關(guān)系，那么就說兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等，就是基數(shù)相等，即等勢或等基。如果A是Ｃ的真子集, 就說A的基數(shù)小于Ｃ的

7、基數(shù)。 對于有限集比較容易數(shù)出它的元素的個(gè)數(shù)，而對于無限集，又怎樣比較它們元素個(gè)數(shù)的多少呢？如正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合，它們的基數(shù)相等嗎？我們知道，兩個(gè)集合的元素，只要能夠建立一一對應(yīng)就基數(shù)相等。正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合的元素之間可以建立如下的一一對應(yīng)關(guān)系。 １?。病。场。础。怠　々? ↓　↓　↓　↓　↓ ２?。础。丁。浮。保啊々? 因此，這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等，也就是它們的基數(shù)相等。 案例1：乒乓球比賽有16人參加Ａ組的小組賽，規(guī)定采取淘汰賽決出小組第一名參加決賽。一共要進(jìn)行多少場比賽？ 分析：淘汰賽一般的規(guī)則是每兩個(gè)人分為一組比賽一場，勝者進(jìn)入下一輪繼續(xù)進(jìn)行兩人一組比賽；如果出現(xiàn)單

8、數(shù)就有一人輪空，直接進(jìn)入下一輪比賽。這樣一直進(jìn)行下去，直到?jīng)Q出第一名。按照這個(gè)思路解答，只需要把每一輪比賽的場數(shù)算出來，最后加起來就行。第一輪共有8場比賽，第二輪共有4場比賽，第三輪共有2場比賽，第四輪共有1場比賽；所以總共有15(8+4+2+1=15)場比賽。 以上思路層次清楚、容易理解，小學(xué)生一般都可以接受，但是如果參加小組比賽的人比較多，計(jì)算起來就比較麻煩。下面用一一對應(yīng)的思想來分析：因?yàn)槊繄霰荣愄蕴粋€(gè)人，有一場比賽就淘汰一個(gè)人，沒有比賽就不淘汰人，要想淘汰一個(gè)人就必須有一場比賽，也就是說比賽的場數(shù)與被淘汰的人數(shù)是一一對應(yīng)的。在小組參賽的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，

9、所以比賽的場數(shù)為15場。 第二，正確把握集合思想的教學(xué)要求。集合思想雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛滲透，但是集合的知識并不是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容；因而應(yīng)注意把握好知識的難度和要求，盡量使用通俗易懂的語言滲透集合思想。集合除了可以表示概念系統(tǒng)及概念間的關(guān)系外，利用文恩圖進(jìn)行集合的直觀運(yùn)算，可以解決一些分類計(jì)數(shù)的問題。 案例2：六(1)班舉辦文藝活動，演出歌舞節(jié)目的有9人，演出小品等節(jié)目的有12人，兩類節(jié)目都參加的有5人。該班共有多少人參加這兩類節(jié)目的演出？ 分析：為了便于理解集合的運(yùn)算 原理，我們借助文恩圖來分析。左邊 的圈里表示演出歌舞節(jié)目的人，右邊 圈里表示演出小品等節(jié)目的人。兩個(gè) 圈相交

10、的共有的部分有5人，表示這 5人既參加了歌舞節(jié)目，又參加了小品等節(jié)目的演出。左邊圈中沒跟另一個(gè)圈相交的單獨(dú)的部分有4人，表示這4人只參加了歌舞節(jié)目的演出。因此，參加歌舞節(jié)目演出的9人由兩部分組成：一部分是只參加歌舞節(jié)目演出的4人，另一部分是既參加歌舞節(jié)目又參加小品等節(jié)目演出的5人。同樣道理，參加小品等節(jié)目演出的12人由兩部分組成：一部分是只參加小品等節(jié)目演出的7人，另一部分是既參加小品等節(jié)目又參加歌舞節(jié)目演出的5人。綜合以上分析，可以得出：該班參加這兩類節(jié)目演出的人數(shù)是4+5+7=16，或9+12－5=16。 第三，集合思想的教學(xué)要貫徹小學(xué)數(shù)學(xué)的始終。如上所述，集合思想在一年級學(xué)習(xí)之初，學(xué)生在學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)和分類等知識中就已經(jīng)有所接觸，一直到高年級學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)、三角形和四邊形的分類、數(shù)的分類(正數(shù)、0、負(fù)數(shù))等等，不同年級和不同知識領(lǐng)域都有所滲透。這里涉及了用集合語言表示概念及概念間的關(guān)系、集合的元素之間的對應(yīng)關(guān)系、集合的運(yùn)算等等。因此，集合思想的滲透不是一朝一夕的事情，而是堅(jiān)持不懈的長期的過程。 4