廣東省珠海一中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圓錐曲線有關(guān)弦的問題課件 新人教A版

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1、圓錐曲線有關(guān)弦的問題圓錐曲線有關(guān)弦的問題如果直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，那么線段AB稱為圓錐曲線C的一條弦，直線l稱為圓錐曲線C的一條割線。一、圓錐曲線的焦點(diǎn)弦一、圓錐曲線的焦點(diǎn)弦過拋物線pxy22的焦點(diǎn)的一條直線和這拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.,22121pyyyy則這是拋物線焦點(diǎn)弦的一個(gè)重要性質(zhì)。此外，與焦點(diǎn)弦有關(guān)的性質(zhì)還有：過拋物線焦點(diǎn)弦兩端的切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上：過拋物線焦點(diǎn)弦兩端的切線互相垂直；以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切；過拋物線焦點(diǎn)弦兩端切線的交點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的連線和焦點(diǎn)弦互相垂直。橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)弦也有一些性質(zhì)，請同學(xué)們自己歸納總結(jié)。例1、

2、已知拋物線)0(22ppxy的焦點(diǎn)為F，AB為焦點(diǎn)弦，A，B兩點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的射影分別為A，B，求證：FBFAxyoFBAAB123證明:如圖0180BAAAAF 而lBBlAA, 準(zhǔn)線/BBAA2180210AFBFA21803,0B同理000902180218031BA096) 34(22xxk).0 , 2(),0 , 0(, 134) 1(2122FFyx右焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)為)2(349) 1 (,346221221kxxkxx則0964322xyx例2、過橢圓的左焦點(diǎn)作一橢圓的焦點(diǎn)弦AB，求直線AB的傾斜角為多大時(shí)，以弦AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)。解：橢圓化為設(shè)所求直線y=kx，將y=

3、kx代入橢圓，整理，得),(),(2211yxByxA設(shè)0) 34(36)6(22k22BFAF 1222211xyxy則04)(2212121yyxxxx即,2為直徑的圓上在ABF2211,kxykxy而0)349(434623492222kkkk再由（1）、（2），得773,k得解之773773arctgarctgAB或的傾斜角為直線導(dǎo)評:本題若先寫出AB為直徑的圓的方程,再把2F坐標(biāo)代入圓方程,求解過程將比較繁雜.這里運(yùn)用平面幾何知識,選擇垂直條件,簡化了計(jì)算.),(yxM設(shè).)(,)2() 1 (2121212121xyyxyyxxxxxyy即得,2121xxyykAB,2,22221

4、1pyxpyxpyyx221),(),(2211yxByxA221|81yypSMAB)0(22ppxy例3、已知拋物線的兩條切線互相垂直,兩切點(diǎn)分別為這兩切線的交點(diǎn)為M點(diǎn),求證:xyAAMBFo證明：212222112,2,2yypkpyxpyxAB得代入將|21ABMFSMAB)2()() 1 ()(,2211xxpyyMBxxpyyMA的方程為的方程為得由拋物線切線方程)2,2(.2),2() 1 (2121yypMyyy點(diǎn)坐標(biāo)為得pyyppyykMF22222121而ABMFkkMFAB故, 1)(2)(212121yypyyyyx.,22,2221點(diǎn)在準(zhǔn)線上即而Mpppxpyy221

5、221)()(|xxyyAB而pyyyySMAB2|2|2122121221|81yyp| ,90,0AMAMAFMMAAMAFAMA|2|2|21211yyyyyMAMFxyAAMBFo設(shè)AA垂直準(zhǔn)線,A為垂足，由拋物線性質(zhì)，知所以三角形AAM和三角形AMF全等。22221221)22()(pypyyypyy2|2214)(sec212212xxxx1124)122(sec222222tgtgtgtg|STMN |1 |sec222tg122 yx例4、求證等軸雙曲線的兩條互相垂直的焦點(diǎn)弦長度相等。2FNMTSoxy)2(:xtgyMN設(shè)得整理代入, 122 yx22121)2()2()(x

6、tgxtgxx221221)()(|yyxxMN2212)(1 (xxtg, 0) 12(22)1 (2222tgxtgxtg證明：（1）若一條焦點(diǎn)弦垂直于x軸，則另一條焦點(diǎn)弦必為實(shí)軸，不難算出通徑 與實(shí)軸都為2。)20(且（2）如圖，若一條焦點(diǎn)弦傾角為|2cos|2|2cos|2| )2(2cos|2|ST類似可得|2cos|22同樣另一條焦點(diǎn)弦傾角為1,22, 3bca2212)(1 (xxk1922yx橢圓方程為4)(1 (212212xxxxk, 6|21AA,24|21FF1F),0(12MFF例5、橢圓長軸焦距過橢圓左焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，問取何值時(shí)，|MN|等于橢圓短

7、軸的長。2F1A2A1FxyMNo解法一：如圖，建立直角坐標(biāo)系，則則設(shè)),(),(2211yxNyxM.91972,9123622212221kkxxkkxx919724)91236)(1 (222222kkkkk,33k221221)()(|yyxxMN2291) 1(6kk)22( xky0972236)91 (2222kxkxk設(shè)直線MN的方程為代入橢圓方程，整理，得291) 1(6,22kk由已知.656或,33tg即解法二：同解法一，設(shè)MN中點(diǎn)為D，.9121822221kkxxxD設(shè)M、N、D到左準(zhǔn)線的射影分別為M、N、D。|11NFMFMN則|2|)|(|DDeNNMMe|22c

8、axeD|91218229|322222kk291)1 (622kkxxxFMFcos28)24()6(,22221得由余弦定理中在cos2231x得同理設(shè),|1yNFcos2231y2cos89622F1A2A1FxyMNoDMND以下同解法一。xMF |1設(shè)24| ,6|212FFxMF則 解法三：.656,23cos或2cos896|yxMN導(dǎo)評：此題1983年高考（理科）試題。解法一是一般解法，有普遍性，但計(jì)算量較大；解法二利用橢圓第二定義，比解法一簡化了計(jì)算；解法三利用橢圓第一定義結(jié)合三角知識，計(jì)算量進(jìn)一步減少，有一定的啟發(fā)性。)2(1610)(,41022244baba則圓的半徑為

9、0)()(2121yyyyxxxx022222222222222222bababaybabxbaayx),(),(:2211yxQyxP設(shè)解. 12222byax設(shè)橢圓方程為) 1 (02,2222baba則圓過原點(diǎn)二、圓錐曲線一般弦的問題二、圓錐曲線一般弦的問題022FEyDxCyAx),(00yxM,2200ECyDAxk.1),(4,),(22002CkAkyxflFEyDxCyAxyxf則設(shè)AB為圓錐曲線C：的弦,為弦AB的中點(diǎn),若弦的斜率k存在，則若圓錐曲線C的一組平等弦的斜率為k，則這些平等弦的中點(diǎn)軌跡方程為 2Ax+2Cky+D+Ek=0.設(shè)|AB|=l，令,210| ,PQOQ

10、OPQP且例6、已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓交于求該橢圓的方程。,OQOP ,210|PQ則以線段PQ為直徑的圓的方程為,2121yyxx與y=x+1聯(lián)立，求得代入圓的方程，得232322)2(),1 (2222baba或得由123213222222yxyx或故橢圓方程為) 1 (,222211yxyx則2122122)()(yyyy)2( 1)()(221212yyyy22222121yyxxx3|),(),(2211AByxByxA2122122)()(3yyxx 11)()(41221221yyyy導(dǎo)評：此題是1991年高考（文科）數(shù)學(xué)試題。常規(guī)解法是用

11、韋達(dá)定理結(jié)合垂直，兩點(diǎn)間距離等關(guān)系進(jìn)行比較繁瑣的運(yùn)算求出含有長、短半軸長為未知數(shù)的方程組,而這里利用圓的方程和性質(zhì)直接得出方程組.xy 2例7、如圖，定長為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，線段AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)。xyoMBAF解法一：設(shè)線段AB中點(diǎn)M(x,y)到y(tǒng)軸距離為1 1)()(2412221yyyy) 3(31)()(221221yyyy且當(dāng).450 xx取最小值,) 1 (,2321212121xxyyyyyy可解得又由可解得由45可取得最小值x)22,45()22,45(或點(diǎn)坐標(biāo)為M|,| |,|BFBDAFAC|)|(|21|ACBDME

12、xyoMBACEDNF4541234522)(22222BABABABAMyyyyyyxxx|MNxM23|21AB|)|(|21BFAF 45) 132(41x由（2），222210yyy相應(yīng)M點(diǎn)縱坐標(biāo)xy 2,41x)0 ,41(F解法二、拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)A、B、M到準(zhǔn)線的射影為C、E、D。設(shè)線段ME交y軸于N，則|ENME 當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)，|MN|最小，因而x最小值可達(dá)到。,412pyyBA而2)(,2BAyy得代入上式222BAMyyyxyoMBACEDNF)22,45()22,45(或點(diǎn)坐標(biāo)為M導(dǎo)評：此題是1987年高考（理科）數(shù)學(xué)試題。解法一利用平均值定理，不易想到且計(jì)算量較大；解法二利用拋物線定義，計(jì)算量比較小，值得推廣。