高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)與選考內(nèi)容 第3講 幾何證明選講課件 理

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1、第3講 幾何證明選講考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解平行線截割定理，會證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.2.會證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.會證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.4.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會證平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓).5.幾何證明選講考綱要求(5)(8)略2011年新課標(biāo)卷考查四點(diǎn)共圓及求圓的半徑；2012年新課標(biāo)卷考查線線平行判 定、三角形相似的判定等基礎(chǔ)知 識；2013年新課標(biāo)卷考查證明弦長相等；考查求三角形外接圓的半徑；2014年新課標(biāo)卷考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，證明

2、三角形兩個(gè)角相 等；考查證明等邊三角形；2015年新課標(biāo)卷考查圓的切線判定與性質(zhì)，直角三角形射影定理從近幾年的高考來看，幾何證明選講作為選考內(nèi)容基本沒有變化，都是二選一，主要考查平行線截割定理、射影定理、圓周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割線定理，內(nèi)容很多，但考試還是側(cè)重圓內(nèi)的邊角運(yùn)算，因此在備考時(shí)也應(yīng)該有所側(cè)重1.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得對應(yīng)線段成比例.推論 1：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.推論 2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.2.射影定理的結(jié)論直角三

3、角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積.在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于點(diǎn) D，則 AB2BDBC；AC2CDCB；AD2_.BDDC相似三角形的判定定理相似三角形的性質(zhì)預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比；對應(yīng)中線的比等于相似比；對應(yīng)角平分線的比等于相似比；周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方判定定理 1 兩角對應(yīng)相等判定定理 2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等判定定理 3 三邊對應(yīng)成比例判定定理 4直角三角形的斜邊和一條直角

4、邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例3.相似三角形的判定與性質(zhì)4.圓周角定理與圓心角定理(1)圓周角定理及其推論.定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論：(1)推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.(2)推論 2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑.(3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù).5.弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.6.圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.(2)推論：推論 1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論 2

5、：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.7.與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P(1)PAPBPCPD.(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四條線段中知三求一.(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是O的割線(1)PAPBPCPD.(2)PACPDB(1)求線段PA，PB，PC，PD.(2)應(yīng)用相似求AC，BD切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PBPC.(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是O的切線(1)PAPB.(2)OPAOPB(1)證線段相等，已知PA求P

6、B.(2)求角8.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理及推論(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理.定理 1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).定理 2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.(2)圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論.判定定理：如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.1.(2015 年天津)如圖 10-3-1，在圓 O 中，M，N 是弦 AB 的三等分點(diǎn)，弦 CD，CE 分別經(jīng)過點(diǎn) M，N.若 CM2，MD4，CN3 ，則線段 NE 的長為()圖 10-3-1A.83B.3C.103D.52CMMD 24 8解析：由

7、相交弦定理可知：AMMBCMMD，CNNE ANNB.又因?yàn)镸，N 是弦AB 的三等分點(diǎn)，所以AMMBANNB.CNNECMMD.所以 NECN 3 3 .故選 A.答案：A2.(2015 年廣東)如圖 10-3-2，AB 為圓 O 的直徑，點(diǎn) E 為AB 的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn) E 作圓 O 的切線，切點(diǎn)為 C，過點(diǎn) A，則 AD作直線 EC 的垂線，垂足為 D.若 AB4，CE_.2 3圖 10-3-2 圖D70 答案：33.(2015 年重慶)如圖 10-3-3，圓 O 的弦 AB，CD 相交于點(diǎn)E，過點(diǎn) A 作圓 O 的切線與 DC 的延長線交于點(diǎn) P，若 PA 6，AE9，PC3，CE

8、ED2 1，則 BE_.圖 10-3-3PD 12，CEED 63解析：由切割線定理，得PA2PCPD，因此623CDPDPC9.又 CEED21，因此 CE6，ED3.因?yàn)?AEEBCEED，所以 BEAE 92.答案：2考點(diǎn) 1 相似三角形例 1：(2015 年江蘇)如圖 10-3-4，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圓圓 O 的弦 AE 交 BC 于點(diǎn) D，求證：ABDAEB.圖 10-3-4解：因?yàn)?ABAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE.又BAEDAB，所以ABDAEB.【規(guī)律方法】(1)判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路：先找兩對對應(yīng)角相等；若只能找到一對對應(yīng)角相等，則判

9、斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例；若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.(2)借助圖形判斷三角形相似的方法：有平行線的可圍繞平行線找相似；有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例；有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應(yīng)邊.【互動(dòng)探究】1.(2012 年新課標(biāo))如圖 10-3-5，D，E 分別是ABC 邊 AB，AC 的中點(diǎn)，直線 DE 交ABC 的外接圓于 F ，G 兩點(diǎn)，若CFAB，證明：(1)CDBC；(3)BCDGBD.圖 10-3-5解：(1)如圖 D72，D，E 分別為 AB，

10、AC 的中點(diǎn)，DEBC.CFAB，四邊形 BCFD 是平行四邊形.CFBDAD.連接 AF，四邊形 ADCF 是平行四邊形.CDAF.CFAB，BCAF.CDBC.圖 D72(2)FGBC，GBCF.由(1)知，BDCF，GBBD.DGBEFCDBC，BCDGBD.考點(diǎn) 2 與圓有關(guān)的角例 2：(2015 年新課標(biāo))如圖 10-3-6，AB 是圓 O 的直徑，AC 是圓 O 的切線，BC 交圓 O 于點(diǎn) E.(1)若 D 為 AC 的中點(diǎn)，證明：DE 是 O 的切線；(2)若 OA CE，求ACB 的大小.圖 10-3-63解：(1)如圖 D71，連接 AE，由已知，得 AEBC，ACAB.在

11、 RtAEC 中，由已知，得 DEADDC，DECDCE.連接 OE，OBEOEB，ACBABC90，DECOEB90.圖 D71OED90.DE 是圓 O 的切線.【規(guī)律方法】在解有關(guān)切線的問題時(shí)，要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行思考：見到切線，切點(diǎn)與圓心的連線垂直于切線；過切點(diǎn)有弦，應(yīng)想到弦切角定理；若切線與一條割線相交，應(yīng)想到切割線定理；若要證明某條直線是圓的切線，則證明直線與圓的交點(diǎn)與圓心的連線與該直線垂直.【互動(dòng)探究】2.(2014 年新課標(biāo))如圖 10-3-7，四邊形 ABCD 是O 的內(nèi)接四邊形，AB 的延長線與 DC 的延長線交于點(diǎn) E，且 CBCE.(1)證明：DE；(2)設(shè) AD 不是

12、O 的直徑，AD 的中點(diǎn)為 M，且 MBMC，證明：ADE 為等邊三角形.圖 10-3-7解：(1)由題設(shè)知，A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，所以DCBE，由已知，得CBEE.故DE.(2)如圖 D73，設(shè) BC 的中點(diǎn)為 N，連接 MN，則由 MBMC 知，MNBC，故 O 在直線 MN 上.又 AD 不是O 的直徑，M 為 AD 的中點(diǎn)，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.圖 D73由(1)知，DE，所以 ADE 為等邊三角形.考點(diǎn) 3 與圓有關(guān)的比例線段例 3：(2014 年新課標(biāo))如圖 10-3-8，P 是O 外一點(diǎn)，PA是切線，A 為切點(diǎn)，割線 PB

13、C 與O 相交于點(diǎn) B，C，PC2PA ，D 為 PC 的中點(diǎn)，AD 的延長線交O 于點(diǎn) E，證明：圖 10-3-8(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.證明：(1)如圖 10-3-9，連接 AB，AC.由題設(shè)知 PA PD，圖 10-3-9故PAD PDA.因?yàn)镻DADACDCA，PAD BADPAB，DCAPAB，所以DACBAD.因此 BEEC.(2)由切割線定理，得 PA 2PBPC.因?yàn)?PC2PA ，所以 PA 2BP.所以 PD2PB，所以 BDPB.所以 BDDCPB2PB.由相交弦定理，得 ADDEBDDC.所以 ADDE2PB2.【規(guī)律方法】相交弦定理為圓中證明等積式和有

14、關(guān)計(jì)算提供了有力的方法和工具，應(yīng)用時(shí)一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí)，要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分.在實(shí)際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到圓的兩條割線就要想到割線定理；見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.【互動(dòng)探究】3.(2015 年湖南)如圖 10-3-10，在圓 O 中，相交于點(diǎn) E 的兩弦 AB，CD 的中點(diǎn)分別是 M，N，直線 MO 與直線 CD 相交于點(diǎn) F，證明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.圖 10-3-10解：(1)如圖 D74，M，N 分別是弦 AB，CD 的中點(diǎn)，OMAB，ONCD，即OME90，ENO

15、90，OMEENO180.又四邊形的內(nèi)角和等于 360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N 四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得 FEFNFMFO.圖 D74易錯(cuò)、易混、易漏審題不清造成漏解例題：過不在O 上的一點(diǎn) A 作直線交O 于 B，C，且ABAC64，OA10，則O 的半徑等于_.正解：當(dāng)點(diǎn) A 在圓外時(shí)，由割線定理，得 ABAC 64 (OAr)(OAr)100r2，r236，r6；當(dāng)點(diǎn) A 在圓內(nèi)時(shí)，根據(jù)相交弦定理，有 ABAC 64 (OAr)(rOA)r2100，r2164，r .答案：或 6【失誤與防范】點(diǎn) A 不在O 上，則點(diǎn) A 有可能在圓外，也有可能在圓內(nèi)，對

16、于沒有給出圖形的問題要認(rèn)真審題，并想清楚各種可能，本題很容易思維定勢地認(rèn)為點(diǎn) A 在圓外而出錯(cuò).2 412 411.圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時(shí)有較普遍的應(yīng)用，尤其是利用定理進(jìn)行等角代換與傳遞.2.要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連接直線與圓的公共點(diǎn)和圓心證垂直；遇到直徑時(shí)，一般要引直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角解決有關(guān)問題.3.判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明.4.證明多點(diǎn)共圓的常用方法：(1)證明幾個(gè)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)距離相等；(2)如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對這條線段的張角相等；(3)證明凸四邊形內(nèi)對角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)角的對角).5.圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比.