2018年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題18 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 文
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1、 專題18 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 1.了解向量的實(shí)際背景 2.理解平面向量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義 3.理解向量的幾何表示 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義 熱點(diǎn)題型一 平面向量的有關(guān)概念 例1、給出下列命題: ①若|a|=|b|,則a=b;②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;③若a=b,b=c,則a=c;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b。 其中真命題的序號(hào)是__________。
2、 【答案】②③ 【解析】①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等,但它們的方向不一定相同。②正確.∵=,∴| 【提分秘籍】平面向量中常用的幾個(gè)結(jié)論 (1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性。 (2)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量。 (3)是與a同向的單位向量,-是與a反向的單位向量。 【舉一反三】 設(shè)a0為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0。上述命題中,假命題的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 熱點(diǎn)題型二 平面向量的
3、線性運(yùn)算 例2、【2017天津】在中,,,.若,,且,則的值為___________. 【答案】 【解析】 ,則 . 【變式探究】 (1)如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,+=λ,則λ=__________。 (2)已知P,A,B,C是平面內(nèi)四點(diǎn),且++=,那么一定有( ) A.=2 B.=2 C.=2 D.=2 【答案】(1)2 (2)D 【解析】(1)∵+==2,∴λ=2。 (2)∵++==-, ∴=-2=2。 【提分秘籍】 向量線性運(yùn)算的方法技巧 向量線性運(yùn)算,要轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則,
4、利用三角形中位線、相似三角形等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量(基底向量)來(lái)求解。 【舉一反三】 在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),=+λ,則實(shí)數(shù)λ=( ) A.- B.- C. D. 【答案】D 【解析】如圖,D是AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC,交BC 例3.【2017江蘇,16】 已知向量 (1)若a∥b,求x的值; (2)記,求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值. 【答案】(1)(2)時(shí),取得最大值,為3; 時(shí),取得最小值,為. 【解析】 【變式探究】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線, (1)若
5、=a+b,=2a+8b,=3(a-b)。 求證:A、B、D三點(diǎn)共線。 (2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線。 【解析】(1)證明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b), ∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5。∴、共線,又∵它們有公共點(diǎn)B, ∴A、B、D三點(diǎn)共線。 (2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ, 使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb。 ∴(k-λ)a=(λk-1)b。 ∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量, ∴k-λ=λk-1=0, ∴k2-1=0,∴k=±1。 【提分秘籍】 1.共線向量定理
6、及其應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線,也可以由向量共線求參數(shù)的值。 (2)若a,b不共線,則λa+μb=0的充要條件是λ=μ=0,這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛。 2.證明三點(diǎn)共線的方法 若=λ,則A,B,C三點(diǎn)共線。 【舉一反三】 已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c與d同向,則實(shí)數(shù)λ的值為__________。 【答案】1 1.【2017課標(biāo)3】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若= +,則+的最大值為 A.3 B.2 C. D.2 【答案】A 【解
7、析】如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系 點(diǎn)在圓上,所以圓心到直線的距離,即 ,解得,所以的最大值是3,即的最大值是3,故選A。 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;平面向量基本定理 2.【2017北京】設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的 (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若,使,即兩向量反向,夾角是,那么T,若,那么兩向量的夾角為 ,并不一定反向,即不一定存在負(fù)數(shù),使得,所以是充分不必要條件,故選A. 【考點(diǎn)】1.向量;
8、2.充分必要條件. 3.【2017課標(biāo)II,理12】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;函數(shù)的最值 4.【2017課標(biāo)1】已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則| a +2 b |= . 【答案】 【解析】利用如下圖形,可以判斷出的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度, 所以. 【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算. 5.【2017
9、天津】在中,,,.若,,且,則的值為___________. 【答案】 【解析】 ,則 . 【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積 6.【2017山東】已知是互相垂直的單位向量,若與的夾角為,則實(shí)數(shù)的值是 . 【答案】 【考點(diǎn)】1.平面向量的數(shù)量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量. 7.【2017浙江,15】已知向量a,b滿足則的最小值是________,最大值是_______. 【答案】4, 【解析】設(shè)向量的夾角為,由余弦定理有: , ,則: , 令,則, 據(jù)此可得: , 即的最小值是4,最大值是. 【考點(diǎn)】平面向量模長(zhǎng)運(yùn)算 8.【2017浙江,
10、10】如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O,記,,,則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?, ,所以,故選C。 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積運(yùn)算 9.【2017江蘇,12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 ▲ . A C B O (第12題) 【答案】3 , 所以. 【考點(diǎn)】向量表示 10.【2017江蘇,16】 已知向量 (1)若a∥b,求x的值; (2)記,求的最大值和最小值
11、以及對(duì)應(yīng)的的值. 【答案】(1)(2)時(shí),取得最大值,為3; 時(shí),取得最小值,為. 【解析】 【考點(diǎn)】向量共線,數(shù)量積 1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量,且,則( ) (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8 【答案】D 【解析】向量,由得,解得,故選D. 2.【2016高考江蘇卷】如圖,在中,是的中點(diǎn),是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),, ,則 的值是 ▲ . 【答案】 【2015高考新課標(biāo)1,理7】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn),則( ) (A) (B)
12、 (C) (D) 【答案】A 【解析】由題知=,故選A. 1.(2014·遼寧卷)設(shè)a,b,c是非零向量,已知命題p:若a·b=0,b·c=0,則a·c=0,命題q:若a∥b,b∥c,則a∥c,則下列命題中真命題是( ) A.p∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q) 【答案】A 【解析】由向量數(shù)量積的幾何意義可知,命題p為假命題;命題q中,當(dāng)b≠0時(shí),a,c一定共線,故命題q是真命題.故p∨q為真命題. 2.(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為________. 【答案】90° 【
13、解析】由題易知點(diǎn)O為BC的中點(diǎn),即BC為圓O的直徑,故在△ABC中,BC對(duì)應(yīng)的角A為直角,即AC與AB的夾角為90°. 3.(2014·四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】2 【解析】c=ma+b=(m+4,2m+2),由題意知=,即=,即5m+8=,解得m=2. 1.下列說(shuō)法正確的是 ( ) A.若a與b都是單位向量,則a=b B.若a=b,則|a|=|b|且a與b的方向相同 C.若a+b=0,則|a|=|b| D.若a-b=0
14、,則a與b是相反向量 2.已知點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn),則向量等于 ( ) A.-+ B.-- C.- D.+ 【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以=+=+=-+. 3.已知點(diǎn)P是四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若=(1+λ)-λ,其中λ∈R,則點(diǎn)P一定在 ( ) A.AB邊所在的直線上 B.BC邊所在的直線上 C.BD邊所在的直線上 D.四邊形ABCD的內(nèi)部 【解析】選C.因?yàn)?(1+λ)-λ,所以-=λ(-),所以= λ,所以B,D,P三點(diǎn)共線,因此點(diǎn)P一定在BD邊所在的直線上. 4.已知向量a與b共線反向,則下列結(jié)論正確的是 ( )[
15、 A.|a+b|=|a|+|b| B.|a+b|=|a|-|b| C.|a-b|=|a|+|b| D.|a-b|=|a|-|b| 【解析】選C.因?yàn)橄蛄縜與b共線反向,所以|a+b|<|a|+|b|,|a+b|≥0,而|a|-|b|的符號(hào)不確定,所以A,B不正確.同理,D不正確,C顯然正確. 5.已知下列結(jié)論 ①已知a是非零向量,λ∈R,則a與λ2a方向相同 ②已知a是非零向量,λ∈R,則|λa|=λ|a| ③若λ∈R,則λa與a共線 ④若a與b共線,則存在λ∈R,使a=λb 其中正確的個(gè)數(shù)為 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 6.在平行四邊形ABC
16、D中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若=m+n (m,n∈R),則的值為 ( ) A.-2 B.- C.2 D. 【解析】選A.如圖.設(shè)=a,=b, 7.已知D為△ABC的邊AB的中點(diǎn).M在DC上且滿足5=+3,則△ABM與△ABC的面積比為 ( ) A. B. C. D. 【解析】選C.如圖,由5=+3得 2=2+3-3, 即2(-)=3(-), 即2=3,故=, 故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5, 故S△ABM∶S△ABC=3∶5. 8.在△ABC中,N是AC邊上一點(diǎn),且=,P是BN上的一點(diǎn),若=m+,則實(shí)數(shù)m的值
17、為 ( ) A. B. C.1 D.3 9.O是△ABC所在平面外一點(diǎn)且滿足=+ λ,λ為實(shí)數(shù),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的 ( ) A.重心 B.內(nèi)心 C.外心 D.垂心 【解析】選B.如圖,設(shè)==,已知均為單位向量, 故?AEDF為菱形,所以AD平分∠BAC, 由=+λ 得=λ,又與有公共點(diǎn)A, 故A,D,P三點(diǎn)共線, 所以P點(diǎn)在∠BAC的平分線上,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心. 10.已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),O是△ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿足=,則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 ( ) A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的
18、三等分點(diǎn)(非重心) C.重心 D.AB邊的中點(diǎn) 近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn). 11.已知點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn),且=a,=b,給出下列命題: ①=a-b; ②=a+b; ③=-a+b; ④++=0. 其中正確命題的序號(hào)為 . 【答案】②③④ 【解析】=a,=b,=+ =-a-b,故①錯(cuò); =+=a+b,故②正確; 12.在?ABCD中,=a,=b,3=,M為BC的中點(diǎn),則= .(用a,b表示) 【答案】-a-b 13.在△ABC中,=c,=b,若點(diǎn)D滿足=2,則= . 【答案】b+c 【解析】如圖,因?yàn)樵凇?/p>
19、ABC中,=c,=b,且點(diǎn)D滿足=2, 所以+=2(+),=+=b+c. 14.在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),=+λ,則實(shí)數(shù)λ= . 【答案】 15.已知a,b不共線,=a,=b,=c,=d,=e,設(shè)t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】由題設(shè)知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得=k, 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b, 因?yàn)閍,b不共線, 所以有 解之得t=. 故存在實(shí)數(shù)t=使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上. 16.如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),N是線段OD的中點(diǎn),AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E,若=m+,求實(shí)數(shù)m的值. 17.已知△ABC中,=a,=b,對(duì)于平面ABC上任意一點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λa+λb,若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與邊BC的交點(diǎn)為M,試判斷M點(diǎn)的位置. 【解析】依題意,由=+λa+λb, 得-=λ(a+b), 即=λ(+). 如圖,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,對(duì)角線交于點(diǎn)M, 點(diǎn). 22
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