2018年高考數(shù)學(xué) 考點一遍過 專題54 二項分布及其應(yīng)用 理

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1、 專題54 二項分布及其應(yīng)用 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題. 一、條件概率與相互獨立事件的概率 1．條件概率及其性質(zhì) （1）對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為()． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則(n(AB)表示A，B共同發(fā)生的基本事件的個數(shù))． （2）條件概率具有的性質(zhì) ①； ②如果B和C是兩個互斥事件，則. 2．相互獨立事件 （1）對于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A

2、，B是相互獨立事件． （2）若A與B相互獨立，則． （3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立． （4）若，則A與B相互獨立． 【注】①中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B； ②都發(fā)生的事件為AB； ③都不發(fā)生的事件為； ④恰有一個發(fā)生的事件為； ⑤至多有一個發(fā)生的事件為. 二、獨立重復(fù)試驗與二項分布 1．獨立重復(fù)試驗 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗． 若表示第i次試驗結(jié)果，則. 【注】獨立重復(fù)試驗是各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中各事件發(fā)生的概率都是一樣的． 2．二項分布

3、 在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率. 在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為． 考向一 條件概率 條件概率的兩種解法： (1)定義法：先求和，再由求． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)，再求事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件數(shù)，得. 典例1 從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則等于 A． B．

4、 C． D． 【答案】B 解法二：，n(AB)=1，∴P(B|A)==，故選B． 1．如圖，四邊形是以為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，四邊形是正方形的內(nèi)接正方形，且分別為的中點.將一枚針隨機(jī)擲到圓內(nèi)，用表示事件“針落在正方形內(nèi)”，表示事件“針落在正方形內(nèi)”，則 A．???? B． C．???? D．? 考向二 相互獨立事件的概率 求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法 (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算． 典例2

5、 已知甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是．現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為 A． B． C． D． 【答案】A 2．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 （1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； （2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，

6、求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率． 考向三 獨立重復(fù)試驗與二項分布 獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略： (1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率即可． (2)根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率． 典例3 設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)=，則P(η≥2)的值為 A． B． C． D． 【答案】B 3．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))

7、A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. （1）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； （2）設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 1．已知隨機(jī)變量服從二項分布，則等于 A． B． C． D． 2．已知P(B|A)=，P(A)=，則P(AB)等于 A． B． C． D． 3．甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為 A．0.12

8、B．0.42 C．0.46 D．0.88 4．已知某品種的幼苗每株成活率為，則栽種3株這種幼苗恰好成活2株的概率為 A． B． C． D． 5．設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布，且期望，，則方差等于 A． B． C． D． 6．盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為 A． B． C． D． 7．如圖，現(xiàn)有一迷失方向的小青蛙在3處，它每跳動一次可以等機(jī)會地進(jìn)入

9、相鄰的任意一格（如若它在5處，跳動一次，只能進(jìn)入3處，若在3處，則跳動一次可以等機(jī)會進(jìn)入l，2，4，5處），則它在第三次跳動后，進(jìn)入5處的概率是 A． B． C． D． 8．集裝箱有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是 A． B． C． D． 9．如圖所示，在邊長為1的正方形內(nèi)任取一點，用表示事件“點恰好取自由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，表示事件“點恰好取自陰影

10、部分內(nèi)”，則等于 A． B． C． D． 10．為了響應(yīng)國家發(fā)展足球的戰(zhàn)略，某校在秋季運動會中，安排了足球射門比賽.現(xiàn)有10名同學(xué)參加足球射門比賽，已知每名同學(xué)踢進(jìn)的概率均為，每名同學(xué)有2次射門機(jī)會，且各同學(xué)射門之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：踢進(jìn)兩個得10分，踢進(jìn)一個得5分，一個未進(jìn)得0分，記為10個同學(xué)的得分總和，則的數(shù)學(xué)期望為 A．30 B．40 C．60 D．80 11．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過2個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，則這名學(xué)

11、生在上學(xué)路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率是__________． 12．某校高三年級要從名男生和名女生中任選名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是__________． 13．已知某智能手機(jī)制作完成之后還需要依次通過三道嚴(yán)格的審核程序，第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為，，，每道程序是相互獨立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機(jī)只有三道程序都通過才能出廠銷售． （1）求審核過程中只通過兩道程序的概率； （2）現(xiàn)有3部該智能手機(jī)進(jìn)入審核，記這3部手機(jī)可以出廠銷售的部數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

12、 14．甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是，乙猜對歌名的概率是，丙猜對歌名的概率是，甲、乙、丙猜對與否互不影響． （1）求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率； （2）記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 15．統(tǒng)計全國高三學(xué)生的視力情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的

13、頻率成等比數(shù)列，后6組的頻率成等差數(shù)列. （1）求出視力在[4.7，4.8)的頻率； （2）現(xiàn)從全國的高三學(xué)生中隨機(jī)地抽取4人，用表示視力在[4.3，4.7)的學(xué)生人數(shù)，寫出的分布列，并求出的期望與方差. 1．(2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為 A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 2．（2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為

14、優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 3．(2017年高考新課標(biāo)Ⅱ卷)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________． 4．(2016年高考四川卷)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 . 5．(2015年高考廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項分布，若，則

15、. 6．（2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保 費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （1）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； （2）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費

16、高出60%的概率； （3）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 7．（2016年高考山東卷）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： （1）“星隊”至少猜對3個成語的概率； （2）“星隊”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望. 8．（2015年高考湖南卷）某商場舉行

17、有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球.在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎. （1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率； （2）若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 變式拓展 1．【答案】C? 2．【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設(shè)知，

18、， 因為利潤=產(chǎn)量×市場價格?成本， 所以X所有可能的取值情況為： ，. 則， ， ， 所以X的分布列為 X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為. 3．【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】（1）設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么，解得p=. （2）由題意得，ξ的所有可能取值為， 則P(ξ=0)=C3=， P(ξ=1)=C2×=， P(ξ=2)=C××2=， P(ξ=3)=C3=. 所以，隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P

19、 . （或，則） 考點沖關(guān) 1．【答案】C 【解析】由二項分布可知，選C. 2．【答案】C 【解析】由題意，又P(B|A)=，P(A)=，所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=. 3．【答案】D 【解析】至少有一人被錄取的概率為 4．【答案】D 5．【答案】C 【解析】由于二項分布的數(shù)學(xué)期望，所以二項分布的方差 ，應(yīng)選C. 6．【答案】B 【解析】設(shè)“第一次摸出新球”為事件，“第二次摸出新球”為事件，則，故選B. 7．【答案】C 【解析】小青蛙的跳動路線：第一次跳動后由3到1，2，4，5的任意位置，第二次跳回3，第三次跳回5，依據(jù)相互獨

20、立事件同時發(fā)生的概率可知所求概率為. 8．【答案】B 【解析】獲獎的概率為，記獲獎的人數(shù)為，則，所以4人中恰好有3人獲獎的概率為，故選B. 9．【答案】A ，故選A． 10．【答案】C 【解析】由題意知每個學(xué)生的進(jìn)球個數(shù)服從二項分布，即，其中，所以由二項分布的數(shù)學(xué)期望公式可得每個學(xué)生進(jìn)球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此10個同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望是，應(yīng)選C. 11．【答案】 【解析】根據(jù)題意，設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為. 12．【答案】 【解析】男生甲被選中記作事件A，男生乙和女生丙至少一個被選中記作事件B，則，，由條件概率公式可得：

21、 . 13．【答案】（1） ；（2）見解析. 【解析】（1）設(shè)“審核過程中只通過兩道程序”為事件，則. . 所以的分布列為： 故. (或，則). 【思路分析】（1）根據(jù)題意只通過兩道程序是指前兩道通過，第三道未通過，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求出結(jié)果； （2）計算出每部智能手機(jī)可以出廠銷售的概率為，的取值是，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率列出分布列，最后求出分布列和期望即可. 14．【答案】（1）；（2）見解析. ， ， ， ， ∴的分布列為 . 【思路點睛】（1）分別將甲、乙、

22、丙第次猜對歌名記為事件，，，則，，相互獨立，由此可得出該小組未能進(jìn)入第二輪的概率. （2）利用相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出． 15．【答案】（1）；（2）見解析. ， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列為： 0 1 2 3 4 ， . 【思路點睛】（1）結(jié)合頻率分布直方圖和題意，分別求出前4組的頻率以及后6組的頻率之和，由等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再算出視力在[4.7，4.8)內(nèi)的頻率； （2）求出視力在[4.3，4.7)內(nèi)的頻率，學(xué)生人數(shù)服從二項分布，由二項分布的概率計算公式求出分布列

23、，再算出期望與方差. 直通高考 1．【答案】A 【解析】根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0.648，故選A. 2．【答案】A 【解析】記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，P(AB)=0.6，由條件概率公式P(B|A)=，可得所求概率為=0.8，故選A． 3．【答案】 【名師點睛】判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，要看兩點： ①是否為n次獨立重復(fù)試驗，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均為p； ②隨機(jī)變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率． 4．【答案】

24、 【解析】由題意知，試驗成功的概率，故，. 5．【答案】 【解析】依題意可得且，解得. 6．【答案】（1）；（2）；（3）1.23. 【解析】（1）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 （3）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 【名師點睛】條件概率的求法： (1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求出P(B|A)； (2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，

25、先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟： (1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值； (2)求X取每個值時的概率； (3)寫出X的分布列； (4)由均值定義求出EX． 7．【答案】（1）；（2）分布列見解析，. 【解析】（1）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”. 由題意， 由事件的獨立性與互斥性，得 ， 所以“星隊

26、”至少猜對3個成語的概率為. . 可得隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 【名師點睛】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等. 8．【答案】（1）；（2）見解析. =×(1?)+(1?)×. 故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+. （2）顧客抽獎3次可視為3

27、次獨立重復(fù)試驗，由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為， 所以X~B(3，). 于是P(X=0)=()0()3=， P(X=1)=()1()2=， P(X=2)=()2()1=， P(X=3)=()3()0=. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×. 【思路分析】本題考查相互獨立事件、互斥事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查考生的運算求解能力及分析問題、解決問題的能力. 第（1）問利用相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；第（2）問離散型隨機(jī)變量服從二項分布，進(jìn)而利用公式得相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望. 22