2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題16 數(shù)列求和的方法規(guī)律

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1、 專題16 數(shù)列求和的方法規(guī)律 一.高考命題類型 1.倒序求合法 2.裂項求和法 3.錯位相減求和 4.分組求和 5.分奇偶數(shù)討論求和 6.利用數(shù)列周期性求和 7.含有絕對值的數(shù)列求和 二.命題陷阱及命題陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 設(shè),利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值是________. 【答案】 【方法規(guī)律總結(jié)】:倒序相加法求和,不僅應(yīng)用在等差數(shù)列中,而且在函數(shù)以及組合中也有應(yīng)用。等差數(shù)列中主要利用等差數(shù)列性質(zhì):若,則;函數(shù)中主要利用對稱中心性質(zhì):若關(guān)于對稱,則;組合中中主

2、要利用組合數(shù)性質(zhì): 練習(xí)1.已知,數(shù)列滿足,則__________. 【答案】1009 【解析】因為的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱, 的圖象由向上平移個單位,向右平移個單位, 故答案為. 練習(xí)2.已知函數(shù)為奇函數(shù), ,若,則數(shù)列的前項和為( ) 【答案】 【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱, ∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱, ∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對稱, ∴, ∵, ∴數(shù)列的前項之和為, 故選:。 練習(xí)3. 已知函數(shù),則的值為 _____. 【答案】 2.裂項求和 例2. 數(shù)列的前項和為,若,則等于(

3、) 【答案】 【解析】 選 練習(xí)1.數(shù)列的前項的和為( ) 【答案】 【解析】 故數(shù)列的前10項的和為 選。 練習(xí)2.在等差數(shù)列中, ,則數(shù)列的前項和為( ) 【答案】 練習(xí)3. 已知數(shù)列與的前項和分別為, ,且, , ,若恒成立,則的最小值是( ) 49 【答案】B 【解析】當(dāng)時, ,解得或. 由得.由,得. 兩式相減得. 所以. 因為,所以. 即數(shù)列是以3為首項,3為公差的等差數(shù)列

4、,所以. 所以. 所以. 要使恒成立,只需. 故選. 練習(xí)4.已知為數(shù)列的前項和,若且,設(shè),則的值是( ) 【答案】 . 故選B. 練習(xí)5.定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”,若已知數(shù)列的前項的“均倒數(shù)”為,又,則( ) 【答案】 練習(xí)6.數(shù)列滿足,且對于任意的都有,則等于( ?。? 【答案】D 【解析】由題意可得: ,則: , 以上各式相加可得: ,則: , 練習(xí)7.設(shè)數(shù)列滿足,且,若表示不超過的最大整數(shù),則 ( ) 【答

5、案】 解得, ∴, ∴, ∴ 則. 故答案為:. 練習(xí)8. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),令(),記數(shù)列的前項和為,則( ) 【答案】 【解析】函數(shù)的圖象過點(diǎn), 可得,解得, , 則, 則. 故選:. 練習(xí)9. 已知數(shù)列的首項為,且,若,則數(shù)列的前項和__________. 【答案】 練習(xí)10.設(shè)數(shù)列的前項為,點(diǎn), 均在函數(shù)的圖象上. (1)求數(shù)列的通項公式。 (2)設(shè), 為數(shù)列的前項和. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上, ∴ 當(dāng) (2) 練習(xí)11.已知等差數(shù)

6、列的前項和為,且. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足,且,求的前項和. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為, ,所以,解得。 練習(xí)12.已知等差數(shù)列的前項和為,且. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足,且,求的前項和. 【答案】(1) (2) 3.錯位相減求和 例3.已知數(shù)列的首項, , …. (1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)數(shù)列的前項和. 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】(1) , , ,又, , 數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知,即, .設(shè)…

7、, ① 則…,② 由①②得, .又…. 數(shù)列的前項和 . 練習(xí)1.已知數(shù)列, , 為數(shù)列的前項和, , , () (1)求數(shù)列的通項公式; (2)證明為等差數(shù)列; (3)若數(shù)列的通項公式為,令為的前項的和,求. 【答案】(1)(2)見解析(3) (3)令 ①②,得 練習(xí)2.已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前項和為. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)設(shè),求數(shù)列的前項和. 【答案】(1);(2). (2)由(1)知所以 所以 兩式相減,得 所以 練習(xí)3. 已知等差數(shù)列中, ,數(shù)列中, . (

8、1)分別求數(shù)列的通項公式; (2)定義, 是的整數(shù)部分, 是的小數(shù)部分,且.記數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和. 【答案】(1) ;(2) . 解析:(1), ,∴是首項為 ,公比為的等比數(shù)列,∴,∴. (2)依題意,當(dāng)時, ,∴, 所以, 令, 兩式相減,得 故. 4.分組求和 例4. 已知數(shù)列滿足, , . (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)求數(shù)列的前項和. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】試題分析: (Ⅰ)結(jié)合遞推關(guān)系可得是以為首項,公比為的等比數(shù)列,據(jù)此可得通項公式為. (Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論有,分鐘求和可得. 試題解析: (Ⅱ

9、)由(Ⅰ)可知, 故 . 練習(xí)1.數(shù)列,……的前項和為( ) 【答案】 【解析】分組求和: 。 本題選擇選項. 練習(xí)2.數(shù)列的前項和為=( ) 【答案】 故選 . 練習(xí)3. 已知數(shù)列{an}的通項公式是,則=(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】= ,選B. 5.分奇偶數(shù)討論求和 【中】6.已知函數(shù),且,則 ( ) 【答案】 【解析】當(dāng)為奇數(shù)時,為偶數(shù),則,所以, 當(dāng)為偶數(shù)時,為奇數(shù),則 ,

10、所以. 練習(xí)1. 已知在各項為正的數(shù)列中, , , ,則__________. 【答案】 【解析】因為,所以 ,即數(shù)列隔項成等比,所以 練習(xí)2. 已知函數(shù),且,則等于( ) A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019 【答案】D 【解析】若 是奇數(shù),則構(gòu)成等差數(shù)列, 則公差 則奇數(shù)項的和 若是偶數(shù),則 則公差 則前1008個偶數(shù)項和 則 , 故選D. 練習(xí)3. 已知數(shù)列的前項和為,且,(),若, 則數(shù)列的前項和_______________. 【答案】或 當(dāng)n為偶數(shù)時, ,當(dāng)n為奇數(shù)時, ,綜上所

11、述 ,故填或. 點(diǎn)睛:數(shù)列問題是高考中的重要問題,主要考查等差等比數(shù)列的通項公式和前項和,主要利用解方程得思想處理通項公式問題,利用分組求和、裂項相消、錯位相減法等方法求數(shù)列的和.在利用錯位相減求和時,要注意提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性,防止運(yùn)算錯誤 練習(xí)4. 設(shè)數(shù)列滿足:①;②所有項;③ . 設(shè)集合,將集合中的元素的最大值記為.換句話說, 是 數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的 伴隨數(shù)列.例如,數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3. (1)若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請寫出數(shù)列; (2)設(shè),求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和; (3)若數(shù)列的

12、前項和(其中常數(shù)),試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項和. 【答案】(1)1,4,7(2) 見解析(3) 試題解析:(1)1,4,7. (2)由,得 ∴ 當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, ∴ (3)∵ ∴ 當(dāng)時, ∴ 由得: ∵使得成立的的最大值為, ∴ 當(dāng)時: 當(dāng)時: 當(dāng)時: ∴ 練習(xí)5. 已知數(shù)列滿足: , . (1)求; (2)若,記.求. 【答案】(1)(2) 試題解析: (1) 是公差為的等差數(shù)列 . (2)由(1)知

13、, . 6.利用數(shù)列周期性求和 例1.數(shù)列的通項,其前項和為,則為 【答案】 7.含有絕對值的數(shù)列求和 例1.已知數(shù)列中,,且滿足 (1)求的通項公式 (2)設(shè),求. 【答案】(1) 最大為. (2) 【解析】(1)∵, ∴數(shù)列是等差數(shù)列 由知 ∴ (2)由(1)可得數(shù)列的前項和為。 當(dāng)時, 。 當(dāng)時, 。 綜上。 三.真題演練 1.【2017山東,理19】已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2 (Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式; (Ⅱ)如圖,在平面

14、直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1, 1),P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,所圍成的區(qū)域的面積. 【答案】(I)(II) (II)過……向軸作垂線,垂足分別為……, 由(I)得 記梯形的面積為. 由題意, 所以 ……+ =……+ ① 又……+ ② ①-②得 = 所以 【考點(diǎn)】1.等比數(shù)列的通項公式;2.等比數(shù)列的求和;3.“錯位相減法”. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣,對

15、考生計算能力要求較高.解答本題,布列方程組,確定通項公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵,易錯點(diǎn)是在“錯位”之后求和時,弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來,適當(dāng)增大了難度,能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等. 2.【2017北京,理20】設(shè)和是兩個等差數(shù)列,記, 其中表示這個數(shù)中最大的數(shù). (Ⅰ)若,,求的值,并證明是等差數(shù)列; (Ⅱ)證明:或者對任意正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時,;或者存在正整數(shù),使得是等差數(shù)列. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)分別代入求,觀察規(guī)律,再證明當(dāng)時,,所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以,即證明;

16、(Ⅱ)首先求的通項公式,分三種情況討論證明. 試題解析:解:(Ⅰ) , . 當(dāng)時,, 所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以. 所以對任意,于是, 所以是等差數(shù)列. (Ⅱ)設(shè)數(shù)列和的公差分別為,則 . 所以 ①當(dāng)時,取正整數(shù),則當(dāng)時,,因此. 此時,是等差數(shù)列. ②當(dāng)時,對任意, 此時,是等差數(shù)列. 【考點(diǎn)】1.新定義;2.數(shù)列的綜合應(yīng)用;3.推理與證明. 【名師點(diǎn)睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題,本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力,本題屬于偏難問題,反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力,本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明方法,即考查了數(shù)列(分段形

17、函數(shù))求值,又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究,考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力,本題屬于拔高難題,特別是第二兩步難度較大,適合選拔優(yōu)秀學(xué)生. 3.【2017天津,理18】已知為等差數(shù)列,前n項和為,是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,,,. (Ⅰ)求和的通項公式; (Ⅱ)求數(shù)列的前n項和. 【答案】 (1)..(2). 【解析】 試題分析:根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列首項和公差及等比數(shù)列的公比,寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項公式,利用錯位相減法求出數(shù)列的和,要求計算要準(zhǔn)確. (II)解:設(shè)數(shù)列的前項和為, 由,,有, 故, ,

18、上述兩式相減,得 得. 所以,數(shù)列的前項和為. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和 【名師點(diǎn)睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比,進(jìn)而寫出通項公式及前項和公式,這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求,數(shù)列求和方法有倒序相加法,錯位相減法,裂項相消法和分組求和法等,本題考查錯位相減法求和. 4.【2017浙江,22】(本題滿分15分)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(). 證明:當(dāng)時, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1? xn≤; (Ⅲ)≤xn≤. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;

19、(Ⅲ)見解析. 【解析】 試題解析:(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n=1時,x1=1>0 假設(shè)n=k時,xk>0,那么n=k+1時,若,則,矛盾,故. 因此,所以,因此 (Ⅱ)由得 記函數(shù) 函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以=0, 因此, (Ⅲ)因為,所以得, ,, 故, 【考點(diǎn)】不等式證明 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,不等式及其應(yīng)用,同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力,屬于難題.本題主要應(yīng)用:(1)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式;(3)由遞推關(guān)系證明. 5.【2017江蘇,

20、19】 對于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足 對任意正整數(shù)總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”. (1)證明:等差數(shù)列是“數(shù)列”; (2)若數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,證明:是等差數(shù)列. 【答案】(1)見解析(2)見解析 (2)數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,因此, 當(dāng)時,,① 當(dāng)時,.② 由①知,,③ ,④ 將③④代入②,得,其中, 所以是等差數(shù)列,設(shè)其公差為. 在①中,取,則,所以, 在①中,取,則,所以, 所以數(shù)列是等差數(shù)列. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列定義及通項公式 【名師點(diǎn)睛】證明為等差數(shù)列的方法: (1)用定義證明:為常數(shù)); (2)用等差中項證

21、明:; (3)通項法: 為的一次函數(shù); (4)前項和法: 6. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】為等差數(shù)列的前項和,且記,其中表示不超過的最大整數(shù),如. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求數(shù)列的前1 000項和. 【答案】(Ⅰ),, ;(Ⅱ)1893. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)先用等差數(shù)列的求和公式求公差,從而求得通項,再根據(jù)已知條件表示不超過的最大整數(shù),求;(Ⅱ)對分類討論,再用分段函數(shù)表示,再求數(shù)列的前1 000項和. 試題解析:(Ⅰ)設(shè)的公差為,據(jù)已知有,解得 所以的通項公式為 (Ⅱ)因為 所以數(shù)列的前項和為 考點(diǎn):等差數(shù)列的的性質(zhì),前項和公式,對數(shù)的運(yùn)算. 考點(diǎn)定位:

22、本題考查新定義信息題,考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力。 【名師點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力,本題屬于偏難問題,反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力,題目給出新的定義:{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an+1,an+2,…的最小值記為Bn,dn=An-Bn ,對于數(shù)列{an}給出這樣一個新的定義,首先要理解定義,題目的第一步,前一項的最大值為2,第一項后面的項的最小值為1,即,則,同理求出,通過第一步的計算應(yīng)用新定義,加深對定義的認(rèn)識進(jìn)入第二步就容易一些了,第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究,畢竟是一個新的信息題,在一個全新的環(huán)境下進(jìn)行思維,需要在原有的知識儲備,還需要嚴(yán)密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力,有得分的機(jī)會,但得滿分較難. 30

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