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1、
空間向量在求空間角及距離中的應(yīng)用
【考點梳理】
1.異面直線所成的角
設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
(0,π)
求法
cos β=
cos θ=|cos β|=
2.求直線與平面所成的角
設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos〈a,n〉|=.
3.求二面角的大小
(1)如圖①,AB,CD是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=〈,〉.
(2)如圖②③,n
2、1,n2 分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).
4.利用空間向量求距離
(1)兩點間的距離
設(shè)點,點,則
.
(2)點到平面的距離
如圖所示,設(shè)為平面的一條斜線段,為平面的法向量,則點到平面的距離.
【教材改編】
1.(選修2-1 P111A組T1改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M為棱CC1上的中點,則A1M與D1C所成的角為( )
A.30° B.45°
C.60°
3、 D.90°
答案] B
解析] 以,,為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系,
設(shè)正方體棱長為2,則D1(0,0,2),C(0,2,0),A1(2,0,2),M(0,2,1),
∴=(-2,2,-1),=(0,2,-2),
設(shè)A1M與D1C所成角為θ,
∴cos θ=|cos〈,〉|===,
∴θ=45°.
2. (選修2-1 P118A組T10改編)如圖,棱長為a的正方體OEAC-BFGD中,P是AB上的一點,Q是CD上的一點.當點P為對角線AB的中點,點Q在棱CD上運動時,則PQ的最小值為( )
A.a(chǎn)
4、 B.a
C.a D.a
答案] B
解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,
當點P為對角線AB的中點時,點P的坐標是.
因為點Q在線段CD上,設(shè)Q(0,a,z).
PQ=
= .
當z=時,PQ的最小值為a.
即點Q在棱CD的中點時,PQ有最小值a.故選B.
3.(選修2-1 P112A組T4改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為( )
A.
5、 B.
C. D.
答案] B
解析] 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,
設(shè)棱長為1,則A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),
∴=(0,1,-1),=,
所以有,
即解得
∴=(1,2,2).
∵平面ABCD的一個法向量為=(0,0,1),
∴cos〈,〉==.
即所成的銳二面角的余弦值為.
4.(選修2-1 P97練習(xí)T3改編)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M是AB的中點,則D1B與CM所成角的余弦值為( )
A.
6、 B.
C. D.
答案] C
解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
設(shè)正方體棱長為2,則M(2,1,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),
∴=(2,-1,0),=(2,2,-2),
cos〈,〉===.
∴D1B與CM所成角的余弦值為,故選C.
5.(選修2-1 P111練習(xí)T3改編)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC1的中點,則DE與平面BCC1B1所成角的正切值為( )
A.
7、 B.
C. D.
答案] C
解析] 設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,
以D為原點,以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
∵E為BC1的中點,∴D(0,0,0),E(1,2,1),∴=(1,2,1),
設(shè)DE與平面BCC1B1所成角的平面角為θ,
∵平面BCC1B1的法向量=(0,1,0),
∴sin θ=|cos〈,〉|==,
∴cos θ==,
∴tan θ==,故選C.
6.(選修2-1 P98A組T4改編)正四面體
8、ABCD棱長為2,E,F(xiàn)分別為BC,AD中點,則EF的長為________.
答案]
解析] ||2=2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,
∴||=,∴EF的長為.
7.(選修2-1 P118A組T12改編)如圖將正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角,點E、F分別為AD、BC的中點,O是原正方形ABCD的中心,則折疊后∠EOF的大小為________.
答案]
解析] 如圖所示,以,,方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系,
設(shè)正方形邊長為2,則A(2,
9、0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,0,2)
∴E(1,0,1),F(xiàn)(-1,1,0),
∴=(1,0,1),=(-1,1,0),
∴cos〈,〉===-,
∴∠EOF=120°.
8.(選修2-1 P117A組T5改編)已知三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),則△ABC的面積為________.
答案]
解析] =(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴||=,||=.
∴cos〈,〉===.
則sin〈,〉=.
∴S△ABC=||·||sin〈,〉=×××=.
9. (選修2-1 P11
10、2A組T6改編)如圖,△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,則點A到平面MBC的距離為________,平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為________.
答案]
解析] 取CD的中點O,連接OB,OM,則OB⊥CD,
OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,則MO⊥平面BCD.
以O(shè)為原點,直線OC,BO,OM為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
OB=OM=,則各點的坐標分別為O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).
①設(shè)=(x,
11、y,z)是平面MBC的法向量,則=(1,,0),=(0,,).
由⊥,得x+y=0;
由⊥,得y+z=0.
?。?,-1,1),=(0,0,2),則距離d==.
②=(-1,0,),=(-1,-,2).
設(shè)平面ACM的法向量為=(x,y,z),
由得
解得x=z,y=z,取=(,1,1).
平面BCD的法向量為=(0,0,1),
則cos〈,〉==.
設(shè)所求二面角為θ,則sin θ==.
10.(選修2-1 P118A組T11改編)某幾何體ABC-A1B1C1的三視圖和直觀圖如圖所示.
(1)求證:A1C⊥平面AB1C1;
(2)求二
12、面角C1-AB1-C的余弦值.
解析] (1)證明:由三視圖可知,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,
B1C1⊥A1C1,且|AA1|=|AC|=4,|BC|=3.
以點C為原點,分別以CA、CB、CC1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.
由已知可得A(4,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,3,4),C1(0,0,4).
∴=(-4,0,-4),=(4,0,-4),=(0,3,0).
∴·=0,·=0.
∴A1C⊥C1A,A1C⊥C1B1.
又C1A
13、∩C1B1=C1,
∴A1C⊥平面AB1C1.
(2)由(1)得,=(4,0,0),=(0,3,4).
設(shè)平面AB1C的法向量為=(x,y,z),則⊥,⊥.
∴,即.
令y=4,得平面AB1C的一個法向量為=(0,4,-3).
由(1)知,是平面AB1C1的一個法向量.
∴cos〈,〉===.
故二面角C1-AB1-C的余弦值為.
11.(選修2-1 P119B組T3改編)在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠CDA=90°,SA⊥平面ABCD,CD=2AB,E為SC中點.
(1)求證:BE∥平面SAD;
(2)若SA=AD=2,且平面SBC與平面S
14、AD所成的二面角的余弦值為,求四棱錐S-ABCD的體積.
解析] (1)證明:設(shè)點F為SD的中點,連接AF,EF,
∵E點為SC的中點,
∴EF為△SDC的中位線,
∴EFDC,
又∵∠DAB=∠CDA=90°且CD=2AB,
∴ABCD,
∴ABEF,∴四邊形ABEF為平行四邊形,
∴BE∥AF,又∵AF?平面SAD,BE?平面SAD,
∴BE∥平面SAD.
(2)∵SA⊥平面ABCD,則可建以A為原點的空間直角坐標系(如圖所示),SA=AD=2,
∴A(0,0,0),D(-2,0,0),S(0,0,2),
設(shè)B(0,m,0),∴C(-2,2m,0),∴=(0,m,-2),=(-2,m,0),
設(shè)平面SBC的法向量為=(x,y,z)且SB∩BC=B,∴,∴=(,1,),
顯然,平面SAD的法向量為=(0,m,0),
又∵平面SBC與平面SAD所成的二面角的余弦值為,∴|cos〈,〉|=,
∴=,∴m=1,∴|AB|=1,|CD|=2,
∴S直角梯形ABCD=3,∴V四棱錐S-ABCD=×3×2=2.
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