2018年高考數(shù)學(xué) 專題33 復(fù)數(shù)熱點(diǎn)題型和提分秘籍 文
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1、 專題33 復(fù)數(shù) 1.理解復(fù)數(shù)的基本概念 2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件 3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義 熱點(diǎn)題型一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 例1、【2017課標(biāo)1,文3】下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是 A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 【答案】C 【解析】由為純虛數(shù)知選C. 【變式探究】(1)復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為( ) A.2+i B. 2-i C.5+i
2、 D.5-i (2)設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】(1)D (2)D 【提分秘籍】 處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問(wèn)題,關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,從定義出發(fā),把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理。 【舉一反三】 設(shè)a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a+為純虛數(shù)”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】ab=0?a=0或b=0,這時(shí)a+=a-bi不一定為純虛數(shù),但如果a+=a
3、-bi為純虛數(shù),則有a=0且b≠0,這時(shí)有ab=0,由此知選B。 熱點(diǎn)題型二 復(fù)數(shù)的幾何意義 例2、【2017課標(biāo)3,文2】復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由題意:,在第三象限. 所以選C. 【變式探究】(1)復(fù)數(shù)z=i·(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則|z|=( ) A.25 B. C.5 D. 【答案】(1)B (2)C 【提分秘籍】
4、 (1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?。 (2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問(wèn)題的解決更加直觀。 提醒:|z|的幾何意義:令z=x+yi(x,y∈R),則|z|=,由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義;|z1-z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1,z2的兩點(diǎn)之間的距離。 【舉一反三】 如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是( ) A.A B.B C.C D.D 【答案】B 熱點(diǎn)題
5、型三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 例3.【2017山東,文2】已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則= A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】由得,即,所以,故選A. 【變式探究】(1)已知復(fù)數(shù)z=,是z的共軛復(fù)數(shù),則z·=__________。 (2)=__________。 (3)已知復(fù)數(shù)z滿足=2-i,則z=__________。 【解析】(1)方法一:|z|==,z·=|z|2=。 =-4i。 (3)由=2-i,得z=-i=-i=i--i=--i。 【提分秘籍】 利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求復(fù)數(shù)的
6、一般思路 (1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足多項(xiàng)式的乘法法則,利用此法則后將實(shí)部與虛部分別寫出即可。 (2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)。 (3)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念解題時(shí),通常是設(shè)出復(fù)數(shù)或利用已知聯(lián)立方程求解。 【舉一反三】 設(shè)z=1+i,則+z2等于( ) A.1+i B.-1+i C.-i D.1-i 【答案】A 【解析】+z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i。 1.【2017課標(biāo)1,文3】下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是 A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+
7、i) 【答案】C 【解析】由為純虛數(shù)知選C. 2.【2017課標(biāo)II,文2】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意,故選B. 3.【2017課標(biāo)3,文2】復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由題意:,在第三象限. 所以選C. 4.【2017北京,文2】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (A) (B) (C)
8、 (D) 【答案】B 5.【2017山東,文2】已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則= A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】由得,即,所以,故選A. 1.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,則=( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】由得,,所以,故選C. 2. [2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]若,則=( ) (A)1 (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】,故選
9、D. 3.【2016高考四川文科】設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=( ) (A) 0 (B)2 (C)2 (D)2+2 【答案】C 【解析】由題意,,故選C. 4.【2016高考山東文數(shù)】若復(fù)數(shù),其中i為虛數(shù)單位,則 =( ) (A)1+i (B)1?i (C)?1+i (D)?1?i 【答案】B 【解析】,選B. 5.【2016高考天津文數(shù)】i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則的實(shí)部為_(kāi)______. 【答案】1 【解析】,所以的實(shí)部為1 1.【2015高考新課標(biāo)1,文3】已知復(fù)數(shù)滿足,則( ) (A) (B)
10、 (C) (D) 【答案】C 【解析】∴,∴,故選C. 2.【2015高考山東,文2】若復(fù)數(shù)Z滿足,其中為虛數(shù)單位,則Z=( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】 【解析】由題意所以,,故選. 3.【2015高考湖南,文1】已知=(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù) ( ) A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由題 ,故選D. 4.【2015高考湖北,文1】為虛數(shù)單位,( ) A. B.
11、 C. D.1 【答案】. 【解析】因?yàn)?,所以?yīng)選. 5.【2015高考廣東,文2】已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,故選D. 6.【2015高考福建,文1】若(是虛數(shù)單位),則的值分別等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知得,所以,選A.
12、 7.【2015高考安徽,文1】設(shè)是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)( ) (A)3+3i (B)-1+3i (3)3+i (D)-1+i 【答案】C 【解析】因?yàn)?,故選 C. 8.【2015高考北京,文9】復(fù)數(shù)的實(shí)部為 . 【答案】 【解析】復(fù)數(shù),其實(shí)部為. 9.【2015高考重慶,文11】復(fù)數(shù)的實(shí)部為_(kāi)_______. 【答案】-2 【解析】由于,故知其實(shí)部為-2,故填:-2. 10.【2015高考四川,文11】設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=_________. 【答案】2i 【解析】 11.【2015高考天津,文9】i是虛數(shù)單位
13、,計(jì)算 的結(jié)果為 . 【答案】-i 【解析】. 12.【2015高考上海,文3】若復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則 . 【答案】 (2014·浙江卷)已知i是虛數(shù)單位,a,b∈R,得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】由a,b∈R,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i, 得所以或故選A. (2014·全國(guó)卷)設(shè)z=,則z的共軛復(fù)數(shù)為( ) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i
14、 【答案】D 【解析】z====1+3i,根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義,其共軛復(fù)數(shù)是1-3i. (2014·北京卷)復(fù)數(shù)=________. 【答案】-1 【解析】===-1. (2014·福建卷)復(fù)數(shù)z=(3-2i)i的共軛復(fù)數(shù)z等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 【答案】C 【解析】由復(fù)數(shù)z=(3-2i)i=2+3i,得復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=2-3i. (2014·廣東卷)已知復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=25,則z=( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i 【答案】D (2014·
15、湖北卷)i為虛數(shù)單位,=( ) A.-1 B.1 C.-i D.i 【答案】A 【解析】==-1.故選A. (2014·湖南卷)滿足=i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z=( ) A.+i B.-i C.-+i D.--i 【答案】B 【解析】因?yàn)椋絠,則z+i=zi,所以z===. 10.(2014·江西卷)是z的共軛復(fù)數(shù),若z+=2,(z-)i=2(i為虛數(shù)單位),則z=( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i 【答案】D 【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,所以2a=2,-2b=2,得a=1,b=-1,故z=
16、1-i. 11.(2014·遼寧卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=( ) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 【答案】A 【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i=,故z=2+3i. 12.(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] =( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】D 【解析】===-1-i. 13.(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z1=2+i,則z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 【答案】A 【解析
17、】由題知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 14.(2014·山東卷)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 【答案】D 【解析】因?yàn)閍-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故選D. 15.(2014·四川卷)復(fù)數(shù)=________. 【答案】-2i 【解析】==-2i. 16.(2014·天津卷)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)=( ) A.1-i B.-1+i C.+i
18、D.-+i 【答案】A 【解析】===1-i. 1.已知復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=25,則z=( ) A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 【答案】D 【解析】由(3-4i)z=25?z===3+4i,選D。 2.=( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 【答案】B 【解析】==-1+2i,故選B。 3.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i(i為虛數(shù)單位),則|z|=( ) A.1 B.2 C. D. 【答案】C 4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=( ) A.
19、2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 【答案】A 【解析】方法一:由題知(z-2i)(2-i)=5,所以z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i。 方法二:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),所以[a+(b-2)i](2-i)=5,利用復(fù)數(shù)相等即實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相等,得到解得所以z=2+3i,故選A。 5.i為虛數(shù)單位,2=( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】B 【解析】2==-1,選B。 6.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a+i=2-bi,則(a+bi)2=( ) A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+
20、3i 【答案】A 【解析】由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,則(a+bi)2=(2-i)2=3-4i。 7.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部等于__________。 【答案】-3 【解析】直接運(yùn)算得,=-(3+i)=-3-i,故實(shí)部為-3。 8.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),則x=__________。 【答案】2 【解析】(x+i)i=-1+xi=-1+2i,由復(fù)數(shù)相等的定義知x=2。 9.已知i是虛數(shù)單位,計(jì)算=__________。 【答案】 【解析】===。 10.要使復(fù)數(shù)z=a2-a-6+i為純虛數(shù),其中的實(shí)數(shù)a是否存在?若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由。 13
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