2018年高考數(shù)學(xué) 100題系列 第12題 函數(shù)的周期性與對(duì)稱性 文
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1、 第12題 函數(shù)的周期性與對(duì)稱性 I.題源探究·黃金母題 【例1】容易知道,正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù),正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即原點(diǎn)是正弦曲線的對(duì)稱中心.除原點(diǎn)外,正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎?其坐標(biāo)是?正弦曲線是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,對(duì)稱軸的方程是? 你能用已學(xué)過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎? 對(duì)于弦函數(shù)和正切函數(shù),討論上述同樣的問題. 【解析】由周期函數(shù)的性質(zhì)知,T=2π 所以對(duì)稱中心為,正弦曲線是軸對(duì)稱圖形 同樣由周期函數(shù)的性質(zhì)知 其對(duì)稱軸方程緯.對(duì)于余弦函數(shù)同樣有類似的性質(zhì),因?yàn)閏osA=sin(A+) 所以對(duì)稱中心為,余弦曲線是軸對(duì)稱圖形 同樣由周期函數(shù)的性質(zhì)知 X=
2、Kπ(K為整數(shù)) .正切函數(shù)同樣有類似的性質(zhì),對(duì)稱中心為(kπ/2,0)(K為整數(shù))但不是軸對(duì)稱圖形,而是中心對(duì)稱圖形. 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修四第46頁A組第11題 【母題評(píng)析】本題以正弦函數(shù)是奇函數(shù)為依據(jù),讓你去探索正弦函數(shù)有沒有對(duì)稱中心、對(duì)稱軸,然后類比正弦函數(shù),在去探索總結(jié)余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對(duì)稱性,此題的結(jié)論也是高考常考的知識(shí)點(diǎn). 【思路方法】以舊探新是一種重要的學(xué)習(xí)、解題方法,這種類比推理思想是近幾年高考試題常常采用的命題形式. 【例2】已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,試回答下列問題: (1)求函數(shù)的周期; (2)畫出函數(shù)y=f(x+1)的圖
3、象; (3)你能寫出函數(shù)y=f(x)的解析式嗎? 考點(diǎn):函數(shù)的圖象,函數(shù)解析式的求解及常用方法 【解析】(1)從圖象得知,x從0變化到1,函數(shù)經(jīng)歷個(gè)周期,即,故函數(shù)的周期T=2; (2)函數(shù)y=f(x+1)的圖象可由函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到,因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(0,0)、點(diǎn)(1,1)所以y=f(x+1)的圖象經(jīng)過(-1,0)、點(diǎn)(0,1),再根據(jù)函數(shù)為周期函數(shù)畫出圖象: (3) 當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=-x, 當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)=x; 當(dāng)2n-1≤x<2n時(shí),f(x)=f(x-2n)=-(x-2n)=2n-x, 當(dāng)2n
4、≤x<2n+1時(shí),f(x)=f(x-2n)=x-2n, ∴(n為整數(shù)) 點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的圖象的變換,及求函數(shù)的解析式,屬于基礎(chǔ)題. 【試題來源】人教版A版必修四第47頁B組第3題 【母題評(píng)析】本題以y=f(x)的圖象為載體,考查函數(shù)周期的求法、函數(shù)圖像的平移及由圖定式(根據(jù)圖像求解析式)問題,此類問題是高考??嫉念}型之一. 【思路方法】數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中常用的解題思想之一,特別是在解決函數(shù)問題中起著舉足輕重中的作用,因此,通常說“解決函數(shù)問題,數(shù)形結(jié)合你準(zhǔn)備好了嗎?”. II.考場(chǎng)精彩·真題回放 【例1】【2017高考新課標(biāo)I卷】已知函數(shù),則
5、 ( ) A.在(0,2)單調(diào)遞增 B.在(0,2)單調(diào)遞減 C.y=的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.y=的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 【答案】C 【解析】由題意知,,所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,C正確,D錯(cuò)誤;又(),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,A,B錯(cuò)誤,故選C. 【例2】【2017高考山東卷】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當(dāng) 時(shí),,則f(919)= . 【答案】 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函數(shù),且,所以 .
6、【例3】【2017江蘇高考14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù),在區(qū)間上, 其中集合,則方程的解的個(gè)數(shù)是 ▲ . 【答案】8 【解析】解法一:由于則需考慮的情況,在此范圍內(nèi),時(shí),設(shè) ,且 互質(zhì).若 ,則由 ,可設(shè) ,且 互質(zhì).因此 ,則 ,此時(shí)左邊為整數(shù),右邊非整數(shù),矛盾,因此.因此 不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等, 只需考慮與每個(gè)周期的部分的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象,圖中交點(diǎn)除外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù),屬于每個(gè)周期的部分,且處,則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn),一次方程解的個(gè)數(shù)為8. 解法二:是有理數(shù)集,∴自變量,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為有理數(shù),且在函數(shù)上對(duì)應(yīng)的空心點(diǎn)函數(shù)值也為有理數(shù),令等于這些
7、函數(shù)值與空心點(diǎn)函數(shù)值所求得在區(qū)間內(nèi)皆為無理數(shù),故 不能與函數(shù)上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及空心點(diǎn)函數(shù)值相交,故答案為8 個(gè). 【例4】【2016年高考山東卷】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.,當(dāng)x<0時(shí), ;當(dāng) 時(shí),;當(dāng) 時(shí), .則f(6)= ( ) (A)?2 (B)?1 (C)0 (D)2 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)是周期為 的周期函數(shù),所以,又函數(shù)是奇函數(shù),所以,故選D. 【例5】【2016高考新課標(biāo)1卷】已知 為的零點(diǎn),為 圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則 的最大值為( ) (A)11????????(B)9?????(C)7????
8、????(D)5 【答案】B 【解析】因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,所以,即 ,所以,又因?yàn)樵趩握{(diào),所以,即,由此的最大值為9.故選B. 【例6】【2016高考浙江卷】設(shè)函數(shù) ,則的最小正周期( ) A.與b有關(guān),且與c有關(guān) B.與b有關(guān),但與c無關(guān) C.與b無關(guān),且與c無關(guān) D.與b無關(guān),但與c有關(guān) 【答案】B 【解析】 ,其中當(dāng)時(shí),,此時(shí)周期是;當(dāng)時(shí),周期為,而不影響周期.故選B. 【例7】【2016高考江蘇卷】設(shè)是定義在上且周 期為2的函數(shù),在區(qū)間上, (,若 ,則的值是 . 【答案】
9、 【解析】 ,因此 【命題意圖】本類題通常主要考查函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性與周期性,是高考??贾R(shí)內(nèi)容.本題具備一定難度.解答此類問題,關(guān)鍵在于利用分段函數(shù)的概念,發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)特征,進(jìn)行函數(shù)值的轉(zhuǎn)化.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力等. 【考試方向】這類試題包括確定函數(shù)周期性、對(duì)稱性、利用周期性求解析式或函數(shù)值、利用對(duì)稱性進(jìn)行圖像變換,都是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn).常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題.題型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn),函數(shù)的周期性、對(duì)稱性常與函數(shù)的其他性質(zhì),如與單調(diào)性、奇偶性相結(jié)合求函數(shù)值或參數(shù)的取值范圍.備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這部分內(nèi)容的訓(xùn)練. 【難點(diǎn)中心】對(duì)于函
10、數(shù)性質(zhì)的考查,一般不會(huì)單純地考查某一個(gè)性質(zhì),而是對(duì)奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查,主要考查學(xué)生的綜合能力、創(chuàng)新能力、數(shù)形結(jié)合的能力.這就要求學(xué)生對(duì)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性三者之間的關(guān)系了如指掌,并能靈活運(yùn)用. 分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性,即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時(shí),要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值. III.理論基礎(chǔ)·解題原理 考點(diǎn)一 函數(shù)的周期性 1.周期性:對(duì)任意的,都有,則叫做函數(shù)的周期. ①若,周期; ②若(相反),周期; ③若(
11、)(互倒),周期; ④若()(反倒),周期; ⑤若,周期; ⑥若,周期. 考點(diǎn)二 函數(shù)的稱性 1.一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系:若函數(shù)滿足,則關(guān)于直線對(duì)稱,若函數(shù)滿足,則關(guān)于直線對(duì)稱. 2.兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系: 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;(巧記:相等求) 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;(巧記:相等求) 考點(diǎn)三 周期與對(duì)稱的關(guān)系: 1.若的圖像有兩條對(duì)稱軸和(),則為周期函數(shù),為一個(gè)周期.(告知周期和其中一條對(duì)稱軸,可以寫出其他相鄰的對(duì)稱軸.) 2.若的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心和 (),則為周期函數(shù),為一個(gè)周期.(告知周期和其中一個(gè)對(duì)稱中心,可以寫出其他相鄰的對(duì)稱中心.) 3.
12、若的圖像有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心 (),則為周期函數(shù),為一個(gè)周期. 考點(diǎn)四、如何計(jì)算一般形式的周期和對(duì)稱: 若(),則;(巧記:消去) 若,則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;(巧記:消去,相加除2) 若,則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;(巧記:消去,相加除2) 若,則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(巧記:消去,相加除2,除2) IV.題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題包括確定函數(shù)周期性、對(duì)稱性、利用周期性求解析式或函數(shù)值、利用對(duì)稱性進(jìn)行圖像變換,都是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn).常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題.題型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn),函數(shù)的周期性、對(duì)稱性常與函數(shù)的其他性質(zhì),如與單調(diào)性、奇偶性相結(jié)合求函數(shù)值
13、或參數(shù)的取值范圍.備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這部分內(nèi)容的訓(xùn)練. 【技能方法】 解決此類問題一般會(huì)在周期上設(shè)置障礙,要通過周期的定義或有關(guān)結(jié)論算出已知函數(shù)的周期,再進(jìn)行求值等相關(guān)運(yùn)算,若是抽象函數(shù),要求能夠熟練運(yùn)用賦值法.函數(shù)對(duì)稱性、周期性的考察,往往以三角函數(shù)為載體,考察其周期、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解,此類問題一般會(huì)在解析式上設(shè)置障礙,要求先對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,變形的過程就考察了三角函數(shù)的有關(guān)公式,化簡(jiǎn)常常借助輔助角公式把原函數(shù)解析式化為單一函數(shù). 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 (1)如果對(duì)于函數(shù)定義域中的任意,滿足,則得函數(shù)的周期是; (2) 如果對(duì)于函數(shù)定義域中的任意,滿足,則得函數(shù)的對(duì)稱軸是. V.舉
14、一反三·觸類旁通 考向1 函數(shù)周期性 【例1】【2018屆江蘇常州橫林高級(jí)中學(xué)月考】定義在上的函數(shù)滿足: ,當(dāng)時(shí), ,則=________. 【答案】 【例2】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足,若,則. 【答案】 【例3】設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上, 其中a,b∈R.若,則a+3b的值為________. 【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2,所以,即.又因?yàn)? ,所以.整理,得.① 又因?yàn)閒(-1)=f(1),所以,即b=-2a. ② 將②代入①,得a=2,b=-4.所以a+3b=2+3×(-4)=-10.
15、 【跟蹤練習(xí)】 1.x為實(shí)數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為( ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.增函數(shù) D.周期函數(shù) 【答案】D 【解析】由圖象可知選D. 2.設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù),且當(dāng)x∈[1,3)時(shí),f(x)=x-2,則f(-1)=__________. 【答案】-1 【解析】因?yàn)門=2,則f(x)=f(x+2),又f(-1)=f(-1+2)=f(1),因?yàn)閤∈[1,3)時(shí),f(x)=x-2,所以f(-1)=f(1)=1-2=-1. 3.設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)時(shí),,則 . 【答案】1 【解析】
16、. 考向2 周期性與奇偶性相結(jié)合 【例4】已知是上的奇函數(shù),對(duì)都有成立,若,則等于( ) A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.2013 【答案】A 【例5】【2016年高考四川卷】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),,則= . 【答案】 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù),所以,,即,. 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,周期性,屬于基本題,在求值時(shí),只要把和,利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可. 【跟蹤練習(xí)】 已知定義在上的奇函數(shù), 滿足,則的值為__________. 【答案
17、】0 【解析】∵是定義在上的奇函數(shù),∴ 又滿足,∴的周期為2,∴. 考向2 對(duì)稱性與單調(diào)性相結(jié)合 【例6】【2018河北衡水模擬】定義在上的函數(shù)對(duì)任意都有,且函數(shù)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱,若滿足不等式,則當(dāng)時(shí),的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【例7】下列函數(shù)中,其圖象既是軸對(duì)稱圖形又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D. 【解析】對(duì)于,函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且在和上單調(diào)遞減;對(duì)于,函數(shù)是關(guān)于軸對(duì)稱且在上單調(diào)遞減;對(duì)于,函數(shù)無對(duì)稱
18、性且在上單調(diào)遞增;對(duì)于,函數(shù)是關(guān)于對(duì)稱且在上單調(diào)遞增;故選. 【跟蹤練習(xí)】 1.【2018海南模擬】已知函數(shù)的圖像上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 2.已知定義在R上的函數(shù)滿足條件;①對(duì)任意的,都有;②對(duì)任意的;③函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.則下列結(jié)論正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,得,又, 所以,, ,由題意,在上是增函數(shù),所以.故選D 3.已知是定義在上的偶函數(shù),且,若在上單調(diào)遞減,則在上是 ( ) A
19、.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù) 【答案】D 考向3 周期性與命題的判斷相結(jié)合 【例8】【2016高考上海卷】設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù),對(duì)于命題:①若、、均為增函數(shù),則、、中至少有一個(gè)增函數(shù);②若、、均是以為周期的函數(shù),則、、均是以為周期的函數(shù),下列判斷正確的是( ) .①和②均為真命題 .①和②均為假命題 .①為真命題,②為假命題 .①為假命題,②為真命題 【答案】D 【解析】①不成立,可舉反例,, ② 前兩式作差,可得,結(jié)合第三式,可得, 也有,∴②正確,故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題
20、主要考查抽象函數(shù)下函數(shù)的單調(diào)性與周期性,是高考常考知識(shí)內(nèi)容.本題具備一定難度.解答此類問題,關(guān)鍵在于靈活選擇方法,如結(jié)合選項(xiàng)應(yīng)用“排除法”,通過舉反例應(yīng)用“排除法”等. 本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力等. 【跟蹤練習(xí)】 1.【2018河北邯鄲模擬】已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),有,且當(dāng)時(shí),,給出下列命題:①;②函數(shù)在定義域上是周期為2的函數(shù);③直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn);④函數(shù)的值域?yàn)椋渲姓_的是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.①②③④ 【答案】C 【綜合點(diǎn)評(píng)】充分利用周期函
21、數(shù)的定義將所求函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的求值問題是解題關(guān)鍵. 2.已知實(shí)數(shù),對(duì)于定義在上的函數(shù),有下述命題: ①“是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”; ②“是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱”; ③“是的一個(gè)周期”的充要條件是“對(duì)任意的,都有”; ④ “函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱”的充要條件是“” 其中正確命題的序號(hào)是 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【答案】A 【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性與函數(shù)圖象的對(duì)稱性,函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱與函數(shù)的圖象關(guān)于
22、點(diǎn)對(duì)稱是等價(jià)的,故①正確,同理②也是正確的,那么本題只能選A了,對(duì)于③,我們知道函數(shù)滿足“對(duì)任意的,都有”時(shí),是周期為的周期函數(shù),但反過來一一定成立,如滿足“對(duì)任意的,都有”時(shí),也是周期為的周期函數(shù),③錯(cuò)誤,而函數(shù)與函數(shù)的圖象是關(guān)于直線對(duì)稱,而還是軸,故④錯(cuò)誤. 考向4 奇偶性、周期性與單調(diào)性 【例9】【2018海南模擬】已知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,且周期為2,當(dāng)時(shí),,則( ) A.0 B. C. D.1 【答案】B 【解析】由題意可得,故選B. 【例10】【2018黑龍江大慶
23、模擬】若偶函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且在上為單調(diào)遞減函數(shù),則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【跟蹤練習(xí)】 1.【2018浙江聯(lián)考】定義在上的偶函數(shù)滿足,且在上單調(diào)遞增,設(shè),,,則,,的大小關(guān)系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由,得函數(shù)的周期為2;由為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增可得,函數(shù)在上單調(diào)遞減.而,所以;因?yàn)椋?,所以,因?yàn)?,而,所以? 綜上,即.故選C. 2.【2017安徽亳州二中質(zhì)檢】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足下列三個(gè)條件: ①對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),都有; ②
24、; ③是偶函數(shù); 若, , ,則的大小關(guān)系正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 考向5 周期性、對(duì)稱性與單調(diào)性 【例11】【2018呼倫貝爾模擬】已知函數(shù)滿足,關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)時(shí),,則下列結(jié)論中正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵關(guān)于y軸對(duì)稱,∴是以4為周期的周期函數(shù),其圖象的對(duì)稱軸為,∵當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間是增函數(shù);∴ ,∵,且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),∴,即,故選:A. 【跟蹤練習(xí)】 1.【2018浙江寧波模擬】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,且是奇函?shù),是偶函數(shù),設(shè),則下列結(jié)論中正確的
25、是( ) A.關(guān)于對(duì)稱 B.關(guān)于對(duì)稱 C.關(guān)于對(duì)稱 D.關(guān)于對(duì)稱 【答案】C 2.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),對(duì)任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且f(1)=2,則f(2011)等于( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 【答案】A 【解析】是偶函數(shù),所以f(2)=f(-2),在f(x+4)=f(x)+2f(2)中,令x=-2得f(2)=f(-2)+2f(2),所以f(2)=0,于是f(x+4)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期等于4,于是f(2011)=f(-1)=f(1)=2,故選A
26、. 3.已知函數(shù)與的定義域?yàn)?,有下?個(gè)命題: ①若,則的圖象自身關(guān)于直線軸對(duì)稱; ②與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱; ③函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱; ④為奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則周期為2; ⑤為偶函數(shù), 為奇函數(shù),且,則周期為2. 其中正確命題的序號(hào)是____________. 【答案】①②③④ 對(duì)于③,設(shè)F(x)=f(x+2),則f(2?x)=F(?x),由于F(x)與F(?x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱, 所以函數(shù)y=f(x+2)與y=f(2?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,得③正確; 對(duì)于④,因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以f(?x)=f(1+x), 結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù),得f(?x)
27、=?f(x),故f(x+1)=?f(x) 由此可得f(x+2)=?f(x+1)=f(x),得f(x)是周期為2的周期函數(shù),故④正確; 對(duì)于⑤,f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),且g(x)=f(x?1), 則由于g(x)+g(?x)=0,得f(x?1)+f(?x?1)=0, 又因?yàn)閒(?x?1)=f(x+1),所以f(x?1)+f(x+1)=0, 由此可證出f(x+4)=f(x),得f(x)是周期為4的周期函數(shù),故⑤不正確 故答案為:①②③④ 考向6 三角函數(shù)與對(duì)稱性、周期性相結(jié)合 【例12】【2018湖北咸寧模擬】若函數(shù)的最大值為3,其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,則=_
28、_______________; 【答案】3 【解析】∵函數(shù)f(x)的最大值為3,∴A+1=3,即A=2;∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,即,∴最小正周期T=π,∴ω=2,∴函數(shù)f(x)的解析式為:y=2sin(2x-)+1; . 【例13】【2017江蘇無錫模擬】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值是 【答案】 【解析】,所以向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后變換為,由題意得因此的最小值是 【跟蹤練習(xí)】 【2015高考天津卷文】已知函數(shù),,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則的值為 . 解法二:由
29、在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可得,當(dāng)時(shí), 恒成立,由,可得,且,解得,又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,所以是的最大值,,由可得, 考向7 周期性、對(duì)稱性與函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根及函數(shù)圖象的交點(diǎn) 【例14】【2018河南豫南九校之間】定義在上的函數(shù),滿足,且,若,則方程在區(qū)間上所有實(shí)根之和為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 又∵關(guān)于(2,2)中心對(duì)稱,故方程f(x)=g(x)在區(qū)間[?1,5]上的根就是函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的交點(diǎn)橫坐標(biāo),共有三個(gè)交點(diǎn),自左向右橫坐標(biāo)分別為,,,其中和關(guān)于(2,2)中心對(duì)稱,∴+=4,=1
30、,故+=5,故選C. 【例15】【2017湖南瀏陽一中6月考】已知定義在上的偶函數(shù)滿足:時(shí),,且,若方程恰好有12個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) A.(5,6) B.(6,8) C.(7,8) D.(10,12) 【答案】B 【解析】 時(shí),, ,故 在[0,1]上單調(diào)遞增,且 ,由 可知函數(shù) 是周期為2的周期函數(shù),而函數(shù) 與 都是偶函數(shù),畫出它們的部分圖象如圖所示,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知,只需這兩個(gè)函數(shù)在 有6個(gè)不同交點(diǎn),顯然 ,結(jié)合圖象可得 ,即 ,故 ,故選B. 【例16】已知周期函
31、數(shù)的定義域?yàn)?,周期?,且當(dāng)時(shí),.若直線與曲線恰有2個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為( ) A.或 B.或 C.或 D. 【答案】C 【綜合點(diǎn)評(píng)】函數(shù)周期性的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面,其一是求函數(shù)值,理論依據(jù)是周期性的定義,通過加減周期的整數(shù)倍,使得自變量變到適合已知解析式的范圍內(nèi),進(jìn)而求值;其二是利用周期函數(shù)圖象重復(fù)出現(xiàn)的特征,先畫出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象,然后依次向左向右平移周期的整數(shù)倍即得整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)圖象. 【例17】【2016高考新課標(biāo)II卷】已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則( ) (A)0 (B)
32、 (C) (D) 【答案】C 【解析】由于,不妨設(shè),與函數(shù)的交點(diǎn)為,故,故選C. 【跟蹤練習(xí)】 1.若f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),且f(2)=0,則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)至少是( ) A.1 B.4 C.3 D.2 【答案】B 2.奇函數(shù)f(x)定義在R上,且對(duì)常數(shù)T>0,恒有f(x+T)=f(x),則在區(qū)間[0,2T]上,方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)至少有
33、 ( ) A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè) 【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函數(shù),得f(0)=0x1=0.再由f(x+T)=f(x)得f(2T)=f(T)=f(0)=0x2=T,x3=2T.即在區(qū)間[0,2T]上,方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè). 【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯.即……①……②解時(shí)要把抽象性質(zhì)用足,不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程,還要注意方程①和②互動(dòng). 3.已知,方程在[0,1]內(nèi)有且只有一個(gè)根,則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為( ) A.2011 B.1006 C.2013 D.1007 【答案】C 4.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí), ,若方程()恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得周期為T=2,原方程可變形為,則為y=f(x)與y=a(x+1)()曲線交點(diǎn)恰有三個(gè).由圖可知斜率k=a,選A. 23
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